资源简介

四川省内江市第二中学2025年九年级中考数学第一次模拟考试卷
1．（2025·内江模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．（2025·内江模拟）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学计算法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n是小数点向右移动位数的相反数．
3．（2025·内江模拟）下列事件为随机事件的是（　　）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故答案为：D．
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解题即可．
4．（2025·内江模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．（2025·内江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项法则逐项判断解题即可．
6．（2025·内江模拟）在函数中，自变量x的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】根据分式的分母不为零和二次根式根式的被开方数是非负数解答即可．
7．（2025·内江模拟） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
8．（2025·内江模拟）若关于的不等式组的解集为，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】解不等式组，利用不等式组的解集得到，，求出a，b的值，然后代入计算解题．
9．（2025·内江模拟）若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
10．（2025·内江模拟）已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围为（　　）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且 ，
故答案为： 。
【分析】将k作为常数解出该方程，由于该方程的解是正数，故该解不等于1，且该解大于0，从而列出不等式组，求解即可。
11．（2025·内江模拟）如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
12．（2025·内江模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，其中．结合图象给出下列结论：
①；②；③当时，随增大而增大；
④当；
⑤关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是．
其中正确结论的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知，，，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，
∵二次函数的图象与轴交于，，其中，
∴，
∴当时，先随的增大而减小，再随的增大而增大，故③错误；
由图象可知，当时，，故④正确；
∵，
∴，
设方程的另一个根为，则，
∴，
∴，故⑤正确；
综上，正确的结论有个，
故答案为：．
【分析】根据图象可对称轴的位置得到a，b的值判断①；把代入函数解析式求出a+b判断②；根据对称轴的位置和二次函数的性质判断③；借助图象得到x>0时的函数值判定④；设方程的另一个根为，利用根于系数的关系得到，求出m值判定⑤解答即可．
13．（2025·内江模拟）若 ＝ ，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ＝ ，
设a＝5k，b＝2k，
把a＝5k，b＝2k代入得 ，
故答案为： .
【分析】由 ＝ ，可设a=5k，则b=2k，将它们代入，就是即可求出其值.
14．（2025·内江模拟）分解因式： =　 　．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。
15．（2025·内江模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　.
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得.
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
即k的取值范围是且.
故答案为：且
【分析】根据方程解的情况得到且，求出k的取值范围即可.
16．（2025·内江模拟）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个全等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，根据勾股定理列方程求出a和b的值，然后根据勾股定理计算DG长，根据余弦的定义解答即可．
17．（2025·内江模拟）（1）计算：．
（2）先化简代数式，再从四个数中选择一个数代入求值．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
∵，
∴当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、绝对值、零指数次幂和还见二次根式，代入特殊交的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解题；
（2）先把括号内的分式通分，再把除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分化简，再选择符合分式有意义的数值代入计算解题．
18．（2025·内江模拟）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠B＝62°，∠ACB＝24°，求∠FGC的度数．
【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△BAC和△EAF中，
，
∴△BAC≌△EAF（SAS），
∴EF＝BC．
（2）解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝62°，
∴∠BAE＝56°，
∴∠CAF＝∠BAE＝56°，
∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠C＝24°，
∴∠FGC＝∠FAC+∠F＝56°+24°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到∠BAC＝∠EAF，然后利用SAS证明△BAC≌△EAF，根据全等三角形的对应边相等解题即可；
（2）先根据等边对等角和三角形的内角和得到∠CAF的度数，然后根据全等得到∠F的值，再根据三角形的外角解题即可.
（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△BAC和△EAF中，
，
∴△BAC≌△EAF（SAS），
∴EF＝BC．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝62°，
∴∠BAE＝56°，
∴∠CAF＝∠BAE＝56°，
∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠C＝24°，
∴∠FGC＝∠FAC+∠F＝56°+24°＝80°．
19．（2025·内江模拟）2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级一共______人，其中B类所对应的圆心角为______；并将条形统计图补充完整．
（2）若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．
（3）现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．
【答案】（1）解：九年级一共学生数为：（名），
B类所对应的圆心角为，
C类的人数为：（名），
将条形统计图补充完整：
故答案为：200；；
（2）解：（人）
答：估计全校有D类学生100人；
（3）解：列表：设三名男生分别为，二名女生分别为，
第一人
第二人
共有20个等可能的结果，恰好抽到一名男生一名女生的结果有12个，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据A类的人数除以占比求出总人数，然后用乘B类人数的占比求出圆心角度数，再用200减去A，B，D类的人数和求得C类的人数，补充条形统计图；
（2）用500×D类人数占比估计全校D类学生数；
（3）列表得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解题．
（1）解：九年级一共学生数为：（名），
B类所对应的圆心角为，
C类的人数为：（名），
将条形统计图补充完整：
故答案为：200；；
（2）解：（人）
答：估计全校有D类学生100人；
（3）解：列表：设三名男生分别为，二名女生分别为，
第一人 第二人
共有20个等可能的结果，恰好抽到一名男生一名女生的结果有12个，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
20．（2025·内江模拟）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为52°，观测旗杆底部的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，）．
【答案】解：在中，∵，
∴m，
在中，∵，
∴m．
∴m．
答：旗杆的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中分别利用正切函数，表示BC、AC，然后根据线段的和差求出AB解题．
21．（2025·内江模拟）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，得：
，
反比例函数的解析式是，
将代入，得：
，
的坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为：
或；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或，
理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由，等腰三角形三线合一的性质可得：
，
，
；
②当时，
根据题意，可得：，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
；
③当时，
当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，；
综上所述，点的坐标为：或或或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）借助图象，得到直线在双曲线下方时自变量x的取值范围解题；
（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角爱哦行的定义和勾股定理求出点P的坐标即可．
（1）解：将代入，得：
，
反比例函数的解析式是，
将代入，得：
，
的坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为：
或；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或，
理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由，等腰三角形三线合一的性质可得：
，
，
；
②当时，
根据题意，可得：，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
；
③当时，
当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，；
综上所述，点的坐标为：或或或．
22．（2025·内江模拟）若实数x满足，则　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先得到，然后整体代入降次，计算求值即可．
23．（2025·内江模拟）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，，
把代入得，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
则代数式的最大值与最小值的差是：
故答案为：．
【分析】利用加减消元法用含y的式子表示的值，根据非负实数求出z的取值范围，然后把代入代数式，得到关于z的二次函数，利用二次函数的性质求出最大值与最小值，解题即可．
24．（2025·内江模拟）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 　 　
【答案】4或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4或．
【分析】分，两种情况，根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，然后根据两角对应相等得到，即可求出的长，过点作于点，设，利用勾股定理解出的值即可．
25．（2025·内江模拟）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，若，则等于　 　．（用含有正整数的式子表示）．
【答案】．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形，正方形，且，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和，
∴
∵
∴，
设的边的高分别为，
∴
∴；
同理求得：；
；
…
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线分线段成比例得到CD=，，然后证明△△，即可求出边D上的高为，得到S1的值，依次类推得到S2，S3的值，总结规律解题即可.
26．（2025·内江模拟）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，
则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______．
（2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
【答案】（1）3，
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4）解：，，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后通分化，整体代入计算解题；
（3）由题可得、是方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入分式解答即可；
（4）由题可得、是方程的两实数根；利用根的判别式可得，求出c的取值范围解题即可．
（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
（2）一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4），，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
27．（2025·内江模拟）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS得到，即可得到，然后根据三角形的内角和解题即可；
（2）利用两角相等得到，然后根据对应边成比例解题即可；
（3）在上取一点F，使得，连接，即可得到，得到对应边、对应角相等，然后证明，，根据对应边成比例解答即可．
28．（2025·内江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．
又∵tan∠OAC=4，
∴OC=4，
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°，
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），
则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．
∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；
（3）存在
点G的坐标为（，0）或（，0）．
附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）
①如图1，
若时，△AOC∽△EGN．
则，整理得：a2+a﹣8=0．
得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）
②如图2，
若=时，△AOC∽△NGE．
则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
得：a=（负值舍去）
∴点G为（，0）．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
【知识点】解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求得C的坐标，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴是直线x=-，根据对称性得到点D（3，-4），求出直线AD的解析式，即可得到∠BAD=45°，当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，配方得到顶点式可求得PM的最大值解题即可；
（3）设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4），分为△AOC∽△EGN和△AOC∽△NGE两种情况，分局对应边成比例列方程解题即可.
1 / 1四川省内江市第二中学2025年九年级中考数学第一次模拟考试卷
1．（2025·内江模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·内江模拟）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学计算法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·内江模拟）下列事件为随机事件的是（　　）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．（2025·内江模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·内江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·内江模拟）在函数中，自变量x的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．且
7．（2025·内江模拟） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·内江模拟）若关于的不等式组的解集为，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
9．（2025·内江模拟）若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
10．（2025·内江模拟）已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围为（　　）
A． B． 且
C． D． 且
11．（2025·内江模拟）如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·内江模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，其中．结合图象给出下列结论：
①；②；③当时，随增大而增大；
④当；
⑤关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是．
其中正确结论的个数为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·内江模拟）若 ＝ ，则 的值为　 　.
14．（2025·内江模拟）分解因式： =　 　．
15．（2025·内江模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　.
16．（2025·内江模拟）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于　 　
17．（2025·内江模拟）（1）计算：．
（2）先化简代数式，再从四个数中选择一个数代入求值．
18．（2025·内江模拟）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠B＝62°，∠ACB＝24°，求∠FGC的度数．
19．（2025·内江模拟）2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级一共______人，其中B类所对应的圆心角为______；并将条形统计图补充完整．
（2）若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．
（3）现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．
20．（2025·内江模拟）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为52°，观测旗杆底部的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，）．
21．（2025·内江模拟）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2025·内江模拟）若实数x满足，则　 　．
23．（2025·内江模拟）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是　 　．
24．（2025·内江模拟）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 　 　
25．（2025·内江模拟）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，若，则等于　 　．（用含有正整数的式子表示）．
26．（2025·内江模拟）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，
则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______．
（2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
27．（2025·内江模拟）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长．
28．（2025·内江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n是小数点向右移动位数的相反数．
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故答案为：D．
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解题即可．
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项法则逐项判断解题即可．
6．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】根据分式的分母不为零和二次根式根式的被开方数是非负数解答即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】解不等式组，利用不等式组的解集得到，，求出a，b的值，然后代入计算解题．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且 ，
故答案为： 。
【分析】将k作为常数解出该方程，由于该方程的解是正数，故该解不等于1，且该解大于0，从而列出不等式组，求解即可。
11．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知，，，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，
∵二次函数的图象与轴交于，，其中，
∴，
∴当时，先随的增大而减小，再随的增大而增大，故③错误；
由图象可知，当时，，故④正确；
∵，
∴，
设方程的另一个根为，则，
∴，
∴，故⑤正确；
综上，正确的结论有个，
故答案为：．
【分析】根据图象可对称轴的位置得到a，b的值判断①；把代入函数解析式求出a+b判断②；根据对称轴的位置和二次函数的性质判断③；借助图象得到x>0时的函数值判定④；设方程的另一个根为，利用根于系数的关系得到，求出m值判定⑤解答即可．
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ＝ ，
设a＝5k，b＝2k，
把a＝5k，b＝2k代入得 ，
故答案为： .
【分析】由 ＝ ，可设a=5k，则b=2k，将它们代入，就是即可求出其值.
14．【答案】a（b+1）（b﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得.
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
即k的取值范围是且.
故答案为：且
【分析】根据方程解的情况得到且，求出k的取值范围即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个全等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，根据勾股定理列方程求出a和b的值，然后根据勾股定理计算DG长，根据余弦的定义解答即可．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
∵，
∴当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、绝对值、零指数次幂和还见二次根式，代入特殊交的三角函数值，然后合并同类二次根式即可解题；
（2）先把括号内的分式通分，再把除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分化简，再选择符合分式有意义的数值代入计算解题．
18．【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△BAC和△EAF中，
，
∴△BAC≌△EAF（SAS），
∴EF＝BC．
（2）解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝62°，
∴∠BAE＝56°，
∴∠CAF＝∠BAE＝56°，
∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠C＝24°，
∴∠FGC＝∠FAC+∠F＝56°+24°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到∠BAC＝∠EAF，然后利用SAS证明△BAC≌△EAF，根据全等三角形的对应边相等解题即可；
（2）先根据等边对等角和三角形的内角和得到∠CAF的度数，然后根据全等得到∠F的值，再根据三角形的外角解题即可.
（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△BAC和△EAF中，
，
∴△BAC≌△EAF（SAS），
∴EF＝BC．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝62°，
∴∠BAE＝56°，
∴∠CAF＝∠BAE＝56°，
∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠C＝24°，
∴∠FGC＝∠FAC+∠F＝56°+24°＝80°．
19．【答案】（1）解：九年级一共学生数为：（名），
B类所对应的圆心角为，
C类的人数为：（名），
将条形统计图补充完整：
故答案为：200；；
（2）解：（人）
答：估计全校有D类学生100人；
（3）解：列表：设三名男生分别为，二名女生分别为，
第一人
第二人
共有20个等可能的结果，恰好抽到一名男生一名女生的结果有12个，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据A类的人数除以占比求出总人数，然后用乘B类人数的占比求出圆心角度数，再用200减去A，B，D类的人数和求得C类的人数，补充条形统计图；
（2）用500×D类人数占比估计全校D类学生数；
（3）列表得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解题．
（1）解：九年级一共学生数为：（名），
B类所对应的圆心角为，
C类的人数为：（名），
将条形统计图补充完整：
故答案为：200；；
（2）解：（人）
答：估计全校有D类学生100人；
（3）解：列表：设三名男生分别为，二名女生分别为，
第一人 第二人
共有20个等可能的结果，恰好抽到一名男生一名女生的结果有12个，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
20．【答案】解：在中，∵，
∴m，
在中，∵，
∴m．
∴m．
答：旗杆的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中分别利用正切函数，表示BC、AC，然后根据线段的和差求出AB解题．
21．【答案】（1）解：将代入，得：
，
反比例函数的解析式是，
将代入，得：
，
的坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为：
或；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或，
理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由，等腰三角形三线合一的性质可得：
，
，
；
②当时，
根据题意，可得：，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
；
③当时，
当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，；
综上所述，点的坐标为：或或或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）借助图象，得到直线在双曲线下方时自变量x的取值范围解题；
（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角爱哦行的定义和勾股定理求出点P的坐标即可．
（1）解：将代入，得：
，
反比例函数的解析式是，
将代入，得：
，
的坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为：
或；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或，
理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由，等腰三角形三线合一的性质可得：
，
，
；
②当时，
根据题意，可得：，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
；
③当时，
当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，；
综上所述，点的坐标为：或或或．
22．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先得到，然后整体代入降次，计算求值即可．
23．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，，
把代入得，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
则代数式的最大值与最小值的差是：
故答案为：．
【分析】利用加减消元法用含y的式子表示的值，根据非负实数求出z的取值范围，然后把代入代数式，得到关于z的二次函数，利用二次函数的性质求出最大值与最小值，解题即可．
24．【答案】4或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4或．
【分析】分，两种情况，根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，然后根据两角对应相等得到，即可求出的长，过点作于点，设，利用勾股定理解出的值即可．
25．【答案】．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形，正方形，且，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和，
∴
∵
∴，
设的边的高分别为，
∴
∴；
同理求得：；
；
…
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线分线段成比例得到CD=，，然后证明△△，即可求出边D上的高为，得到S1的值，依次类推得到S2，S3的值，总结规律解题即可.
26．【答案】（1）3，
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4）解：，，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后通分化，整体代入计算解题；
（3）由题可得、是方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入分式解答即可；
（4）由题可得、是方程的两实数根；利用根的判别式可得，求出c的取值范围解题即可．
（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
（2）一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4），，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
27．【答案】（1）证明：∵平分，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS得到，即可得到，然后根据三角形的内角和解题即可；
（2）利用两角相等得到，然后根据对应边成比例解题即可；
（3）在上取一点F，使得，连接，即可得到，得到对应边、对应角相等，然后证明，，根据对应边成比例解答即可．
28．【答案】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．
又∵tan∠OAC=4，
∴OC=4，
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°，
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），
则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．
∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；
（3）存在
点G的坐标为（，0）或（，0）．
附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）
①如图1，
若时，△AOC∽△EGN．
则，整理得：a2+a﹣8=0．
得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）
②如图2，
若=时，△AOC∽△NGE．
则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
得：a=（负值舍去）
∴点G为（，0）．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
【知识点】解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先根据正切的定义求得C的坐标，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴是直线x=-，根据对称性得到点D（3，-4），求出直线AD的解析式，即可得到∠BAD=45°，当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，配方得到顶点式可求得PM的最大值解题即可；
（3）设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4），分为△AOC∽△EGN和△AOC∽△NGE两种情况，分局对应边成比例列方程解题即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑