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湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
1．（2025九下·长沙月考）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．（2025九下·长沙月考）某科技公司2024年的全年营收约为3600亿元，将数据360000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据360000000000用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题．
3．（2025九下·长沙月考）火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道夏季昼夜温差最大为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：这一天的温差为：，
故答案为：C．
【分析】利用有理数的减法解答即可．
4．（2025九下·长沙月考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，本选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减运算法则逐项判断解题即可．
5．（2025九下·长沙月考）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为50，51，55，55，61，64，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：B．
【分析】
根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数”解答即可．
6．（2025九下·长沙月考）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”解题即可．
7．（2025九下·长沙月考）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　）
A．的值随着值的增大而减小
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第一、二、四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、，的值随着值的增大而增大，本选项不符合题意；
B、当时，，函数图象与轴的交点坐标为，本选项不符合题意；
C、当时，，且，则当时，，本选项符合题意；
D、，，函数图象经过第一、三、四象限，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质逐项判断解题．
8．（2025九下·长沙月考）如图，是的外角，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
9．（2025九下·长沙月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得出的长，然后根据勾股定理求出长，即可得到AE长解题即可．
10．（2025九下·长沙月考）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　）
A．D2 B．2D C．F5 D．E0
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：由于，
则，
所以用十六进制表示为，
故答案为：A．
【分析】先转化为十进制求出E与F的乘积，然后将结果转化成十六进制解题．
11．（2025九下·长沙月考）甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，．，
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据“方差越小，乘积越稳定”解答即可．
12．（2025九下·长沙月考）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为总共有5人，
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是．
故答案为：．
【分析】直接利用概率公式解答．
13．（2025九下·长沙月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可．
14．（2025九下·长沙月考）已知圆锥的底面半径为4，母线长为12，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积公式求解即可．
15．（2025九下·长沙月考）如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据中位线定理可得，，根据平行线的性质得到，然后根据等角对等边解题即可．
16．（2025九下·长沙月考）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为　 　（写出自变量的取值范围）．
【答案】（）
【知识点】列反比例函数关系式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
四边形为矩形，点是上与不重合的任意一点，
，，
，，
，
，点到的距离为，
，整理得，
点是上与不重合的任意一点，即，
又，
，即．
故答案为：（）．
【分析】连接，，根据矩形的性质得到，然后根据，到关于的反比例函数关系式，然后根据勾股定理求得的长，利用求出的取值范围解题．
17．（2025九下·长沙月考）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂及负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．（2025九下·长沙月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法约分化为最简，再把a的值代入计算解题．
19．（2025九下·长沙月考）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的长为8．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先证明，即可利用AAS得到解题；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据线段的和差解题即可．
（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的长为8．
20．（2025九下·长沙月考）为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
组别 A B C D
成绩（单位：分）
人数 94 16
【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________；
【应用数据】
（4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品．
【答案】（1），；
（2）解：补全条形统计图如下：
（3）；
（4）解：，
答：估计该校需准备大约份奖品．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（）解：抽取的学生人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）解：，
故答案为：；
【分析】（）根据组人数除以其占比求出抽取的学生人数，然后根据学生人数乘以A组的占比求出A组的人数，再利用学生总人数减去其它组的人数求出C组的人数；
（）根据的值补全条形统计图即可；
（）用×D组人数的占比解答即可；
（）用4000×样本中分以上(含分)的人数占比解答即可．
21．（2025九下·长沙月考）近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5.5米，与水平线的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作，在中，根据余弦的定义求出的长解题即可，
（2）作，分别求出，，的长，在中，利用正弦的定义求出的长，然后根据线段的和差解题．
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
22．（2025九下·长沙月考）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．
（1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？
（2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？
【答案】（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元；
（2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得：
，
解得：，
答：最多购进A种奖品40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进m个A种奖品，根据题意列一元一次不等式，求出m的最大整数解即可．
（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元；
（2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得：
，
解得：，
答：最多购进A种奖品40个．
23．（2025九下·长沙月考）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；
②作直线交于点，连接；
③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．
（1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：根据作图可得，垂直平分，∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得到垂直平分，即可得到，根据四条边相等的四边形是菱形；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据题意得到，根据勾股定理求出BD长，根据菱形的性质解答．
（1）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
24．（2025九下·长沙月考）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，与交于点，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的半径．
【答案】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，则，，，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
设，则，，，
∵内切于四边形，
∴，，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的半径．
【知识点】圆周角定理；切线长定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，然后根据线段和差解题即可；
（2）连接，即可得到，，根据圆周角定理得到，，解答即可；
（3）连接，，求得，设，然后根据两角对应相等可得，，然后根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x值即可．
（1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，则，，，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
设，则，，，
∵内切于四边形，
∴，，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的半径．
25．（2025九下·长沙月考）在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”；
III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”．
请你根据该约定，解决下列问题：
（1）若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围；
（2）若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系；
（3）若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为．
①求的长度的取值范围；
②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段）
【答案】（1）解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根；
∴，
解得：；
（2）解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，∴即有两个相等的实根，
∴，
∴，
当（）时，
∴，
∴函数与轴没有交点，
∴函数与轴为“水平相离”．
（3）解：①如图，
∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根，
∴，
∴，
∴即有两个不相等的实根，，
∴，，
∴
，
∴；
②∵三角形的三个内角的大小之比为，
∴三角形的三个内角的大小分别为，，，
∴该三角形是等腰直角三角形；
结合①同理可得：有两个不相等的实根，，
∴，，
∴，
同理：有两个不相等的实根，
∴，
而，
由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
解得：，
∴函数的最小值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据“水平相交”的定义得到有两个不相等的实根，即可得到，求出p的值即可；
（2）根据水平相切”的定义可得有两个相等的实根，即可得到<0，解答即可；
（3）①如图，根据新定义可得，，，求解，解题即可；
②先得到三角形是等腰直角三角形；然后把，，求出，，，根据题意可得，然后求出k的值解题即可．
（1）解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根；
∴，
解得：；
（2）解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，
∴即有两个相等的实根，
∴，
∴，
当（）时，
∴，
∴函数与轴没有交点，
∴函数与轴为“水平相离”．
（3）解：①如图，
∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根，
∴，
∴，
∴即有两个不相等的实根，，
∴，，
∴
，
∴；
②∵三角形的三个内角的大小之比为，
∴三角形的三个内角的大小分别为，，，
∴该三角形是等腰直角三角形；
结合①同理可得：有两个不相等的实根，，
∴，，
∴，
同理：有两个不相等的实根，
∴，
而，
由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
解得：，
∴函数的最小值为．
1 / 1湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
1．（2025九下·长沙月考）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·长沙月考）某科技公司2024年的全年营收约为3600亿元，将数据360000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·长沙月考）火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道夏季昼夜温差最大为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·长沙月考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·长沙月考）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
6．（2025九下·长沙月考）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·长沙月考）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　）
A．的值随着值的增大而减小
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第一、二、四象限
8．（2025九下·长沙月考）如图，是的外角，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·长沙月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
10．（2025九下·长沙月考）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　）
A．D2 B．2D C．F5 D．E0
11．（2025九下·长沙月考）甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
12．（2025九下·长沙月考）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是　 　．
13．（2025九下·长沙月考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
14．（2025九下·长沙月考）已知圆锥的底面半径为4，母线长为12，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为　 　．
15．（2025九下·长沙月考）如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
16．（2025九下·长沙月考）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为　 　（写出自变量的取值范围）．
17．（2025九下·长沙月考）计算：．
18．（2025九下·长沙月考）先化简，再求值：，其中．
19．（2025九下·长沙月考）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（2025九下·长沙月考）为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
组别 A B C D
成绩（单位：分）
人数 94 16
【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________；
【应用数据】
（4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品．
21．（2025九下·长沙月考）近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5.5米，与水平线的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，）
22．（2025九下·长沙月考）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．
（1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？
（2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？
23．（2025九下·长沙月考）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；
②作直线交于点，连接；
③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．
（1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；
（2）若，，，求四边形的面积．
24．（2025九下·长沙月考）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，与交于点，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的半径．
25．（2025九下·长沙月考）在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”；
III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”．
请你根据该约定，解决下列问题：
（1）若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围；
（2）若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系；
（3）若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为．
①求的长度的取值范围；
②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据360000000000用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题．
3．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：这一天的温差为：，
故答案为：C．
【分析】利用有理数的减法解答即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，本选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减运算法则逐项判断解题即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为50，51，55，55，61，64，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：B．
【分析】
根据中位数的定义“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数”解答即可．
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”解题即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、，的值随着值的增大而增大，本选项不符合题意；
B、当时，，函数图象与轴的交点坐标为，本选项不符合题意；
C、当时，，且，则当时，，本选项符合题意；
D、，，函数图象经过第一、三、四象限，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质逐项判断解题．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得出的长，然后根据勾股定理求出长，即可得到AE长解题即可．
10．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：由于，
则，
所以用十六进制表示为，
故答案为：A．
【分析】先转化为十进制求出E与F的乘积，然后将结果转化成十六进制解题．
11．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，．，
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据“方差越小，乘积越稳定”解答即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为总共有5人，
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是．
故答案为：．
【分析】直接利用概率公式解答．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积公式求解即可．
15．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据中位线定理可得，，根据平行线的性质得到，然后根据等角对等边解题即可．
16．【答案】（）
【知识点】列反比例函数关系式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
四边形为矩形，点是上与不重合的任意一点，
，，
，，
，
，点到的距离为，
，整理得，
点是上与不重合的任意一点，即，
又，
，即．
故答案为：（）．
【分析】连接，，根据矩形的性质得到，然后根据，到关于的反比例函数关系式，然后根据勾股定理求得的长，利用求出的取值范围解题．
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂及负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法约分化为最简，再把a的值代入计算解题．
19．【答案】（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的长为8．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先证明，即可利用AAS得到解题；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据线段的和差解题即可．
（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的长为8．
20．【答案】（1），；
（2）解：补全条形统计图如下：
（3）；
（4）解：，
答：估计该校需准备大约份奖品．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（）解：抽取的学生人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）解：，
故答案为：；
【分析】（）根据组人数除以其占比求出抽取的学生人数，然后根据学生人数乘以A组的占比求出A组的人数，再利用学生总人数减去其它组的人数求出C组的人数；
（）根据的值补全条形统计图即可；
（）用×D组人数的占比解答即可；
（）用4000×样本中分以上(含分)的人数占比解答即可．
21．【答案】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作，在中，根据余弦的定义求出的长解题即可，
（2）作，分别求出，，的长，在中，利用正弦的定义求出的长，然后根据线段的和差解题．
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
22．【答案】（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元；
（2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得：
，
解得：，
答：最多购进A种奖品40个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进m个A种奖品，根据题意列一元一次不等式，求出m的最大整数解即可．
（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元；
（2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得：
，
解得：，
答：最多购进A种奖品40个．
23．【答案】（1）解：根据作图可得，垂直平分，∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得到垂直平分，即可得到，根据四条边相等的四边形是菱形；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据题意得到，根据勾股定理求出BD长，根据菱形的性质解答．
（1）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
24．【答案】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，则，，，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
设，则，，，
∵内切于四边形，
∴，，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的半径．
【知识点】圆周角定理；切线长定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，然后根据线段和差解题即可；
（2）连接，即可得到，，根据圆周角定理得到，，解答即可；
（3）连接，，求得，设，然后根据两角对应相等可得，，然后根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x值即可．
（1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，则，，，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
设，则，，，
∵内切于四边形，
∴，，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的半径．
25．【答案】（1）解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根；
∴，
解得：；
（2）解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，∴即有两个相等的实根，
∴，
∴，
当（）时，
∴，
∴函数与轴没有交点，
∴函数与轴为“水平相离”．
（3）解：①如图，
∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根，
∴，
∴，
∴即有两个不相等的实根，，
∴，，
∴
，
∴；
②∵三角形的三个内角的大小之比为，
∴三角形的三个内角的大小分别为，，，
∴该三角形是等腰直角三角形；
结合①同理可得：有两个不相等的实根，，
∴，，
∴，
同理：有两个不相等的实根，
∴，
而，
由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
解得：，
∴函数的最小值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据“水平相交”的定义得到有两个不相等的实根，即可得到，求出p的值即可；
（2）根据水平相切”的定义可得有两个相等的实根，即可得到<0，解答即可；
（3）①如图，根据新定义可得，，，求解，解题即可；
②先得到三角形是等腰直角三角形；然后把，，求出，，，根据题意可得，然后求出k的值解题即可．
（1）解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根；
∴，
解得：；
（2）解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，
∴即有两个相等的实根，
∴，
∴，
当（）时，
∴，
∴函数与轴没有交点，
∴函数与轴为“水平相离”．
（3）解：①如图，
∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，
∴即有两个不相等的实根，
∴，
∴，
∴即有两个不相等的实根，，
∴，，
∴
，
∴；
②∵三角形的三个内角的大小之比为，
∴三角形的三个内角的大小分别为，，，
∴该三角形是等腰直角三角形；
结合①同理可得：有两个不相等的实根，，
∴，，
∴，
同理：有两个不相等的实根，
∴，
而，
由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
解得：，
∴函数的最小值为．
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