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第10章《二元一次方程组》复习题--二元一次方程组与含参问题
一．解答题
1．已知x＝6，y＝﹣1与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解．
（1）求k与b的值；
（2）当x＝2时，求|y|的值．
2．已知和都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
（1）请用含n的代数式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
3．已知关于x，y的二元一次方程kx+y＝2﹣k，k是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
4．（1）已知，是方程ax﹣3y＝1的解，求a的值；
（2）已知，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（2﹣a，2b+6）．若点P在x轴上，求a、b的值．
5．已知方程mx+ny＝10有两个解分别是和，求m与n的值．
6．若和都是关于x，y的二元一次方程ax+by+2＝0的解，试求a与b的值，并判断不是这个方程的解．
7．若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
8．已知关于x，y的方程组（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为．
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值．
（2）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
9．已知关于x，y的方程组．
（1）方程2x+y＝5有一个正整数解，还有一个正整数解为　 　 ．
（2）若方程组的解满足x+y＝1，求m的值；
（3）无论实数m取何值，关于x，y的方程mx﹣2y＝3总有一个固定的解，请求出这个解为　 　 ．
10．已知关于x，y的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程2x+y＝7的一个解，求m的值．
11．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算a（b﹣8）+ba的值．
12．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2025的值．
13．已知方程组和的解相同，求代数式（2a+b）200的值．
14．关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2024的值．
15．已知方程组和方程组的解相同．
（1）求xy的值；
（2）求（a+b）2024的值．
16．已知方程组与方程组的解相等，试求a、b的值．
17．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求（a+2b）2024的值．
18．已知方程组和方程组有相同的解，求a2﹣b2的值．
19．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）若（1）中的解也是关于x，y的方程（3﹣a）x+（2a+1）y＝3的解，求a的值．
20．已知方程组与有相同的解，求m和n值．
21．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．
例如，解方程组．
解：把②代入①，得x+2×1＝3，解得x＝1，
把x＝1代入②，得y＝0．
所以方程组的解为．
（1）请用同样的方法解方程组；
（2）已知方程组的解为．可以运用整体思想，解方程组直接得出x+y＝ 　 　 ，x﹣y＝ 　 　 ，所以该方程组的解为 　 　 ．
22．阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小明：利用消元法解方程组，得出x，y的值后，再分别代入x﹣4y和7x+5y求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②，可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2，可得7x+5y＝19．
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．
请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题．
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ 　 　 ，5x+4y＝ 　 　 ．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足x﹣y＝﹣1，求k的值．
23．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便．
解：①﹣②得，2x+2y＝2，所以x+y＝1，③
将③×16，得16x+16y＝16，④
②﹣④，得x＝﹣1，由③，得y＝2，
所以方程组的解是．
（1）解方程组．
（2）猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？
24．阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．解：②﹣①得，3x+3y＝3，所以x+y＝1③，
将③×21，得21x+21y＝21④，
①﹣④，得y＝2，从而可得x＝﹣1，
所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜测关于x、y的方程组，（m≠n）的解，并说明理由．
25．已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，由①+②×2可得　 　 ；
（2）用“整体思想”解答：已知方程组，求5x+3y的值；
（3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值．x+y的值始终不变．
26．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①﹣②，得3x+3y＝3，即x+y＝1，③
③×14，得14x+14y＝14，④
②﹣④，得，从而可得，
∴方程组的解是
（1）请你仿上面的解法解方程组；
（2）猜测关于x，y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．
27．数学方法：
解方程组：，若设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：　 　 ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
28．已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数．
（1）当a＝2时，求方程组的解；
（2）求x+y的值（用含a的代数式表示）；
（3）试说明无论a取何数时，代数式6x﹣3y的值始终不变．
29．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）已知方程组的解为，如何解大于m，n的方程组呢，我们可以把分别m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组的解为 　 　 ；
（2）若方程组的解是，求方程组的解．
（3）已知m，n为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，求m+n的值．
30．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为．
（1）若方程组的解为，则方程组的解为　 　 ；
（2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解．
参考答案
一．解答题
1．解：（1）根据题意可得：，
解得：．
（2）由（1）可得yx﹣4，
将x＝2代入，得y＝﹣3，
∴|y|＝3．
2．解：（1）将和代入方程得，
，
即4＝2n+m﹣2，即m＝6﹣2n，
∴n的代数式表示m为m＝6﹣2n．
（2）由（1）可得，，
则m﹣2n＝2b﹣2，
则m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，
整理得b2＝5，解得，
∴b的值为．
3．解：（1）把代入方程kx+y＝2﹣k，得﹣2k+5＝2﹣k，
解得：k＝3．
（2）任取两个k的值，不妨取k＝1，k＝2，得到两个方程并组成方程组．
解得．
即这个公共解是．
4．解：（1）把代入方程ax﹣3y＝1，得
2a﹣3×1＝1，
所以，a＝2．
（2）当点P（2﹣a，2b+6）在x轴上时，a为任意实数，2b+6＝0，
∴b＝﹣3．
5．解：∵方程mx+ny＝10有两个解分别是和，
∴，
解得：，
答：m＝10，n＝10．
6．解：把和代入方程得：，
①×5+②得：8a+12＝0，
解得：a，
把a代入①得：b+2＝0，
解得：b，
∴方程为xy+2＝0，
把代入方程得：左边48+2＝﹣6+4+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴是这个方程的解．
7．解：（1）∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
①+②得3x﹣y+2x+y＝7+8，解得x＝3，
将x＝3代入①得y＝2，
∴方程组的解为．
（2）∵方程组和方程组有相同的解，
∴可得新方程组，
解得：，
把，代入，得，
解得．
故a的值是，b的值是．
8．解：（1）①∵x，y为非负整数，
∴方程x+2y＝3的所有非负整数解为，；
②根据题意得，
①﹣②得，y＝1，
把y＝1代入②得，x＝1，
∴方程组的解是，
将代入x﹣2y+mx＝﹣5中，得m＝﹣4；
（2）当n＝3时，原方程组可化为，
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得，（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m为整数，
∴5+2m＝±1或5+2m＝±5，
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解是；
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解是（舍去）；
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解是；
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解是（舍去）；
综上，整数m的值为﹣2或0．
9．解：（1）∵方程2x+y＝5的正整数解满足x＞0且y＞0，
∴当x＝1时，y＝5﹣2×1＝3，已知此解，
当x＝2时，y＝5﹣2×2＝1，仍为正整数，符合题意，
当x≥3时，y为负数，不符合题意，
∴方程2x+y＝5的另一个正整数解为．
故答案为：．
（2）若方程组的解满足x+y＝1，
联立方程组，
①﹣②，得x＝4，
把x＝4代入②，得4+y＝1，
解得：y＝﹣3，
把x＝4，y＝﹣3分别代入mx﹣2y＝3，得4m﹣2×（﹣3）＝3，
解得：；
（3）由题意，可得方程mx﹣2y＝3中，若解与m无关，则x必须为0，
∴当x＝0时，方程为﹣2y＝3，
解得：，
∴方程mx﹣2y＝3的固定解为．
故答案为：．
10．解：关于x，y的方程组标号得，
①+②得2x+y＝2+m，
∴2+m＝7，
∴m＝5．
11．解：∵甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，
∴﹣12+b＝﹣4，
解得：b＝8，
∵乙看错了方程中的b，得到方程的解为，
∴5a+28＝23，
解得：a＝﹣1，
则a（b﹣8）+ba
＝（﹣1）（8﹣8）+8﹣1
＝1
．
12．解：（1）由题意得：，
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
原方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴原式＝（2×1﹣1）2025
＝12025
＝1．
13．解：∵方程组和的解相同，
∴两方程组的解与方程组的解相同．
（①+②）÷5得：x＝2，
将x＝2代入①得：2×2+5y＝﹣6，
解得：y＝﹣2，
∴两方程组的解为．
将代入得：，
解得：，
∴（2a+b）200＝（2×1﹣3）200＝1．
14．解：（1）联立，
解得：，
∴这两个方程组的相同解为．
（2）联立，将代入，得：
，
①﹣②，得：8a+4b＝4，
∴2a+b＝1，
∴（2a+b）2024＝1．
15．解：（1）∵方程组和方程组的解相同，
∴方程2x+y＝8和方程x﹣y＝1有相同的解，
联立，解得，
∴xy＝32＝9；
（2）由（1）可知方程组，
解得，
∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝1．
16．解：由已知可得，解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得．
故a、b的值为．
17．解：（1）根据题意得，
解得，
即这两个方程组的相同解是；
（2）把分别代入方程bx+ay＝﹣8和ax﹣by＝﹣4中，得，
解得，
∴（a+2b）2024＝（1﹣2）2024＝1．
18．解：由题知，
，
解得，
所以，
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣5×1＝﹣5．
19．解：（1）由题意可得：，
解得；
（2）将代入含有m，n的方程得，
解得；
（3）将代入（3﹣a）x+（2a+1）y＝3，
得（3﹣a）×3+（2a+1）×（﹣1）＝3，
解得：a＝1．
20．解：由已知可得，
解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得m＝﹣1，n＝﹣4．
21．解：（1）由①，得3m﹣n＝﹣6，
将3m﹣n＝﹣6代入②，得2n＝7，
解得n＝3，
将n＝3代入3m﹣n＝﹣6，得3m﹣3＝﹣6，
解得m＝﹣1，
∴原方程组的解为．
（2）x+y＝3，x﹣y＝﹣1，
∴，
①+②，得2x＝2，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得1+y＝3，
解得y＝2，
∴原方程组的解为．
故答案为：3，﹣1，．
22．解：（1）因为，
①﹣②得：x﹣y＝2；
①×2得：4x+2y＝12③，
②+③得：5x+4y＝16．
故答案为：2；16．
（2）因为，
①﹣②得：2x﹣2y＝k+2，
所以，
因为x﹣y＝﹣1，
所以，
解得：k＝﹣4．
23．解：（1），
①﹣②得，2x+2y＝2，
所以，x+y＝1③，
将③×2016，得2016x+2016y＝2016④，
②﹣④，得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入③得，y＝2，
∴方程组的解是；
（2）猜想：关于x、y的方程组的解是．
理由：，
①﹣②得，2x+2y＝2，
所以，x+y＝1③，
将③×a，得ax+ay＝a④，
②﹣④，得y＝2，
把y＝2代入③得，x＝﹣1，
∴方程组的解是；
24．解：（1），
①﹣②，得6x+6y＝6，
∴x+y＝1③，
③×2019，得2019x+2019y＝2019④，
④﹣②，得2y＝4，
解得 y＝2，
把y＝2代入③，得x+2＝1，
解得 x＝﹣1，
∴原方程组的解是；
（2）猜想关于x、y的方程组的解为，
理由如下：
，
①﹣②得，（m﹣n）x+（m﹣n）y＝m﹣n，
∴x+y＝1③，
③×m，得mx+my＝m④，
①﹣④，得y＝2，
把 y＝2 代入③，得x+2＝1，
解得 x＝﹣1，
∴原方程组的解是．
25．解：（1），
由①+②×2可得2x+y+2（x+2y）＝4+10，
整理得：4x+5y＝14，
故答案为：4x+5y＝14；
（2），
①×2﹣②得：5x+3y＝7；
（3），
①+②得：3x＝3a+1，
∴x，
把x代入②得，2y＝2﹣a，
∴y，
∴x+y，
无论a取何值，x+y的值始终不变．
26.解：（1），
②﹣①得x+y＝1③，
①﹣③×2022得2x＝1解得，
把代入③得解得，
∴；
（2）猜测方程组的解是；
，
①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，
∴x+y＝1③，
③×（a﹣1）﹣①得﹣2x＝﹣1解得，
把代入③得解得，
∴x＝y．
27．解：（1）设m+n＝x，m﹣n＝y，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：．
故方程组的解为：．
28．解：（1）把a＝2代入关于x，y的二元一次方程组得：，
①+②得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，
∴方程组的解为：，
∴当a＝2时，方程组的解为：；
（2），
①﹣②得：2x+2y＝6a﹣4，
2（x+y）＝6a﹣4，
x+y＝3a﹣2；
（3）证明：，
②×5得：5x﹣5y＝﹣5a③，
①+③得：8x﹣4y＝﹣4，
2x﹣y＝﹣1，
∴6x﹣3y＝3（2x﹣y）＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴无论a取何数时，代数式6x﹣3y的值始终不变．
29．解：（1）由题意可得，
∴，
故答案为：；
（2）原方程组可化为：，
令x＝3m﹣2，y＝2n﹣1，则，
解得：；
（3）去分母得：2kx+2m＝6﹣x﹣nk，
把x＝2代入，得4k+2m＝6﹣2﹣nk，
∴（n+4）k+2m﹣4＝0恒成立，
∴，
即，
∴m+n＝﹣2．
30．解：（1）∵的解为，
∴的解为，
设x﹣2＝m，y+2＝n，
则方程组可变为：，
∴，
解得：．
故答案为：．
（2）设，，
则原方程组可变为：，
∵的解为，
∴的解为，
即，
解得：．

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