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第10章《二元一次方程组》复习题--二元一次方程组与新定义问题
一．解答题
1．阅读材料并回答下列问题：已知m，n都是实数，且满足m﹣n＝17，就称点T（m﹣1，2n+1）为“卓越点”．例如：点P（4，2），令得，，所以P（4，2）不是“卓越点”，点Q（20，9），令得，m﹣n＝21﹣4＝17，所以Q（20，9）是“卓越点”．
（1）请判断点A（22，13），B（27，10）是否为“卓越点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点F（x，y）是“卓越点”，求s的值．
2．对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|＝1，则称这个方程组为“开心”方程组．
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　 （只填写序号）；
①；②；③．
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值．
3．规定；形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为　 　 ，它们组成的“共轭一方程组”的解为　 　 ．
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
4．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“关联方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组是否为“关联方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值．
5．数学乐园：解二元一次方程组，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝c1b2﹣c2b1，当a1b2﹣a2b1≠0时，，同理：．
符号称之为二阶行列式，规定：．
设，，，那么方程组的解就是．
（1）求二阶行列式的值；
（2）用二阶行列式解方程组．
6．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”．
（1）判断方程组是不是“关联方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值．
7．规定：形如关于x、y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 　 　 ；
（2）若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（3）若方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 　 　 ；
x ﹣1 0
y 0 2
（4）拓展：求共轭方程组的解．
8．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．
（1）判断点A（2，﹣4）　 　 奇异点；（填“是”或“不是”）
（2）已知关于x、y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是奇异点？并说明理由．
9．阅读材料：对于有理数a，b，c，d，我们规定：ad﹣bc．
例如：1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）计算的值；
（2）当5时，求x的值．
10．我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“最佳”方程例如：方程3x+4y＝7，其中a＝3，b＝4，c＝7，满足a+b＝c，则方程3x+4y＝7是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．
根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程3x+5y＝8 　 　 “最佳”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“最佳”方程，求k的值．
（3）若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求2p+q的值．
11．对于实数x，y，定义新运算：x y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中，a，b是常数．已知2 3＝9，3 4＝5．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程﹣3x+3y＝8，求m的值．
12．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点；
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
13．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知：3*2＝﹣1，2 1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程 x﹣y＝6，求m的值．
14．如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断方程组是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“奇妙方程组”，求a的值．
15．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由．
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
16．当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
（2）已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x0，y0）是“巧妙点”？
17．阅读与思考
对于未知数是x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
18．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“奇妙方程组，求a的值．
19．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点E（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令，
得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“友好点”．
（1）请判断点A（7，1），B（6，4）是否为“友好点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“友好点”，求t的值．
20．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵形式为：　 　 ；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
21．对于有理数x，y，定义新运算：x∞y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1∞1＝1，3 2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
22．已知关于x，y的方程组．
（1）若原方程组的解也是二元一次方程3x﹣y＝8的一个解，求m的值；
（2）当a，b都是实数，且满足2a+b＝4，就称点P为完美点．当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
参考答案
一．解答题
1．解：（1）令，
解得，
∵m﹣n＝17，
∴A（22，13）是“卓越点”；
令，
解得，
∴B（27，10）不是“卓越点”；
（2），
①+②得4x＝3+s，
解得，
把代入①得，
解得，
∴二元一次方程组的解为，
∴，
由条件可令，解得，
∴，整理得，
解得s＝109．
2．解：（1）①解方程组得，则|x+y|≠1，它不是“开心”方程组，
②解方程组得，则|x+y|＝1，它是“开心”方程组，
③解方程组得，则|x+y|≠1，它不是“开心”方程组，
故答案为：②；
（2）将两个方程相加得：7x+7y＝3k+8，
解得：，
∵是“开心”方程组，
∴|x+y|＝1，
∴，
解得：或k＝﹣5；
（3）∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
∴|x+y|＝1，
联立得：，
∴或，
解得：或，
①把代入2amx+（b﹣1）y＝m得：﹣4am+3（b﹣1）＝m，
整理得（﹣4a﹣1）m+3b﹣3＝0，
∵m为任意有理数，
∴﹣4a﹣1＝0，3b﹣3＝0，
解得：，b＝1，
∴；
②把代入2amx+（b﹣1）y＝m得：﹣12am+5（b﹣1）＝m，
整理得（﹣12a﹣1）m+5b﹣5＝0，
∵m为任意有理数，
∴﹣12a﹣1＝0，5b﹣5＝0，
解得：，b＝1，
∴；
综上所述，ab的值为．
3．解：（1）∵形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为x+3y＝5，
由题意，得，
解得：，
故答案为：x+3y＝5；；
（2）由二元一次方程组为“共轭方程组”，
得，
解得，
故，
故此“共轭方程组”的共轭系数为﹣3，﹣6．
4．解：（1）关于x，y的方程组是“关联方程组”，理由如下：
，
②﹣①得：x+y＝0，
∴关于x，y的方程组是“关联方程组”；
（2），
①﹣②×2得：5y＝4﹣3a，
∴y，
将y代入②得：x2a，
∴x，
∴原方程组的解为．
又∵原方程组是“关联方程组”，
∴x+y＝0，
∴0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
5．解：（1）∵，
∴，
∴的值是﹣2．
（2）由题意可得，
，
，
，，
∴方程组的解为：．
6．解：（1）方程组是“关联方程组”，理由如下：
，
（①﹣②）÷2得：x+y＝0，
∴方程组是“关联方程组”；
（2），
（①+②）÷2得：x+y＝2+a．
又∵关于x，y的方程组是“关联方程组”，
∴x+y＝2+a＝0，
解得：a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
7．解：（1）由题意得，方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是x+3y＝5，
故答案为：x+3y＝5；
（2）∵关于x、y的方程组为共轭方程组，
∴1﹣a＝2a﹣2，b+2＝4﹣b，
∴a＝1，b＝1．
故答案为：1；1；
（3）由题意得，
∴，
∴原方程为，
∴方程的共轭二元一次方程是．
故答案为：；
（4），
①×n﹣②×m得：（n2﹣m2）y＝b（n﹣m），解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴共轭方程组的解是．
故答案为：．
8．解：（1）∵A（2，﹣4），
∴2×2﹣（﹣4）＝8≠6，
∴点A（2，﹣4）不是奇异点，
故答案为：不是；
（2）解方程组，得，
∴以方程组的解为坐标的点B（，），
∵点B是奇异点，
∴a，b，
∵2a﹣b＝6，
∴10+3m﹣（）＝6，
解得，
当时，以方程组的解为坐标的点B是奇异点．
9．解：（1）∵，
∴
＝﹣1+8
＝7；
（2）∵，
∴，
∴，
去括号，得﹣9x﹣6﹣x+2＝5，
移项、合并同类项，得﹣10x＝9，
将系数化为1，得．
10．解：（1）3根据“友好方程”的定义可知，x+5y＝8中3+5＝8，
所以方程是最佳方程．
故答案为：是；
（2）因为二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“最佳”方程，
所以k+2k﹣1＝8，
解得：k＝3，
故k的值是3；
（3）因为方程组是“最佳”方程组，
所以n+（m﹣3）＝2﹣m，m+（n+1）＝2m+3，
解得：m＝1，n＝3，
所以原方程组为，
因为是方程组 的解，
所以，
解得，
所以2p+q＝3．
故2p+q的值为3．
11．解：由题意，得方程组，
①×3，得6a+9b＝27③，
②×2，得6a﹣8b＝10④，
③﹣④，得17b＝17，
解得：b＝1，
把b＝1代入①，得2a+3×1＝9，
解得：a＝3，
∴a，b的值分别为3，1；
（2）由新定义，结合a＝3，b＝1可得方程组，
①+②，得6x＝5+m，
解得：，
把x代入②，得，
解得：，
∵x，y满足方程﹣3x+3y＝8，
∴，
解得：．
12．解：（1）由题意得：，
解得：，
∵2a﹣b＝2×3﹣4≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）m时，点B（x，y）是完美点．理由如下：
解关于x的方程组：，
解得：，
解关于a，b的方程组：，
解得：，
∵2a﹣b＝6，
∴2×3﹣（2﹣4m）＝6，
解得：m，
∴当m时，点B（x，y）是完美点．
13．解：（1）由题意可得：，
∴．
（2）∵，
∴，
∵x﹣y＝6，
∴3m+4﹣（m﹣2）＝6，
解得：m＝0，
∴m的值为0．
14．解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
，
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
∴原方程组可化为，
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
15．解：（1）具有“邻好关系”，
∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1．
∴方程组的解x，y具有“邻好关系”，
（2）方程组，
②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m，
把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4，
∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m．
∵方程组的解x，y具有“邻好关系”，
∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1，
∴m＝6或m＝4．
16．解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
解得：ab+4，
∵a＞2，
∴b+4＞2，
解得b＞﹣4；
（2）∵，
∴，
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，B（2t+1+2，1﹣t）
∴2（﹣1+2t）﹣（1﹣t）＝8，
∴t．
∴当t时，B是“巧妙点”．
17．解：（1）方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由：
，
由②+2×①得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：
y＝1．
∴原方程组的解为：．
∵|2﹣1|＝1，
∴方程组的解x与y具有“邻好关系”；
（2），
解方程组得：．
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴，
解得：m＝5或m＝9．
18．解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
，
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
∴原方程组可化为，
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
19．解：（1）点A（7，1），令，
得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“友好点”，
点B（6，4），令，
得，
∵m﹣n＝6，
∴B（6，4）是“友好点”；
（2）方程组的解为，
∵点C（，）是“友好点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴6，
解得t＝10
∴t的值为10．
20．解：（1）将变形为，
写成矩阵形式为，
故答案为：；
（2）根据题意得，矩阵所对应的方程组为，
将代入方程组得，
解得，
即a的值是2，b的值是1．
21．解：（1）由题意得，解得；
（2）依题意得，解得，
∵x+y＝5，
∴m+1+3m﹣2＝5，
解得m；
（3）由题意得的解为，
由方程组得，
整理，得，
即，
解得．
22．解：（1）∵关于x，y的方程组的解也是二元一次方程3x﹣y＝8的一个解，
∴，
②﹣①得：2x+y＝3，
∵2x+y＝5m，
∴5m＝3，
解得：；
（2）m＝1时，B点为完美点，理由如下：
∵，
①×2得：4x+2y＝10m③，
②+③得：5x＝5+10m，
x＝2m+1，
把x＝2m+1代入②得：y＝m﹣2，
∴方程组解为：，
∴B为完美点（2m+1，m﹣2），
又∵a+1＝2m+1，，
∴a＝2m，b＝2m﹣2，
∵2a+b＝4，
∴4m+2m﹣2＝4，
6m＝6，
∴m＝1，
∴m＝1时，B点为完美点．

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