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北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷
考生须知:
1．本试卷共8页，共4道大题，26道小题；答题纸共3页．满分110分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
命题人：刘中国 韩璐 胡波平 审题人：杨洁
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
1. 下列图象中，不是的函数的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列各等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，学校的旗杆垂直立于地面，当阳光与地面夹角为时，旗杆的影子长9米，则学校旗杆的高度为（ ）米．
A. 4.5 B. C. D. 18
4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知一次函数随的增大而减小，且图象与轴交于正半轴，则的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D.
6. 如图，在中，交于点，经过点的直线分别交直线于点，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，点E在BD上，.如果，那么等于（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
8. 如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（ ）
A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 一直变短 D. 始终保持不变
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
10. 把化为最简二次根式，结果是______ ．
11. 正比例函数图象过点，那么它的函数解析式为：_____________．
12. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______．
13. 如图，在中，于平分，则_____________，若点是线段的中点，则_____________．
14. 如图，点和在数轴上，它们所对应的数分别为0和2，以为直角边，为直角顶点向上作等腰，再以为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则在数轴上所对应的数为_________．
15. 如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为_____________米．
16. 对于点，若满足，则称该点为“完备点”．已知点是直线上的“完备点”：①当时，则_____________；②当时，则的取值范围是_____________．
三、解答题（本题共8小题，第17、19、22、24题各8分，第18、20、21、23题各9分，共68分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家1小时20分钟后，妈妈从家驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程与小萌离家时间的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．请根据相关信息，回答下列问题：
（1）小萌在甲地游玩时间是_____________h；
（2）小萌骑车的速度是_____________；
（3）求直线的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
（4）小萌出发_____________h后被妈妈追上．
19. 在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数且）．
（1）若，
①当时，的取值范围是_____________；
②当时，的取值范围是_____________；
（2）若，点为，点为，直线与线段有交点：则的取值范围是_____________．
20. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点．
（1）点的坐标是_____________，点的坐标是_____________；
（2）求的面积；
（3）直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的取值范围．
21. 如图，菱形对角线交于点O，E为中点．连接并延长至点，使得．连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长度．
22. 小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究：
（1）完成表格，画出函数图象：
…… 0 1 2 3 4 ……
…… 1
0 3 ……
（2）根据函数图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而_____________；
②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________；
③观察图象可知，不等式的解集是_____________．
23. 小远同学从“对角线平分对角”的角度探究菱形的判定方法，请你帮助小远完成下面的问题：
（1）小远认为“三个角被对角线平分四边形是菱形”，并写出了这个命题的已知和求证，请你帮他完成证明：
如图，在四边形中，对角线和交于点，．求证：四边形是菱形．
（2）小远将（1）中的条件弱化为“两个角被对角线平分”，发现不能证出四边形是菱形，请你帮他画出一个反例．（画出一个凸四边形满足两个角被对角线平分，却不是菱形，并注明条件）
（3）小远在以“四边形一个或两个内角被对角线平分”为条件基础上加入边相等的条件，给出了下列四组条件（如图），其中能判定四边形是菱形的有_____________．
①；
②；
③；
④．
24. 如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N．
（1）求证：；
（2）如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明．
四、附加题（本题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分）
25. 在解决“已知三角形三边长，求三角形的面积”的问题中，某些情况下，我们可以在边长为1的正方形格点中构造三角形，再利用割补法计算该三角形的面积．
例如：，由于，故可以画为格点中矩形的对角线，同理可以画为矩形的对角线，可以画为矩形的对角线，如图1，由割补法可求出面积为3.5．
根据材料回答下列问题：
（1）请在图2中画出三边长度分别为的三角形（长度为的边已在图中给出），该三角形的面积是_____________；
（2）如果三角形三边的边长分别为（其中），用含的代数式表示三角形的面积为_____________．
26. 在平面直角坐标系中，图形和图形的“中位形”的定义如下：点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取中点，取中点，由所有线段所组成的图形叫做图形和图形的“中位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点）已知点、点．
（1）点和点的“中位形”的长度是______________；
（2）已知点，若点和线段的“中位形”面积为2，求的值．
（3）已知点、点，以线段为边作两条对角线都在坐标轴上的菱形，将菱形沿着直线平移得到菱形，设菱形的对角线交点坐标为．若线段和菱形的“中位形”与菱形有公共点，直接写出的取值范围．
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷
考生须知:
1．本试卷共8页，共4道大题，26道小题；答题纸共3页．满分110分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
命题人：刘中国 韩璐 胡波平 审题人：杨洁
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
【9题答案】
【答案】x≥1
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. 3 ②.
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】2
【16题答案】
【答案】 ①. 1或3 ②.
三、解答题（本题共8小题，第17、19、22、24题各8分，第18、20、21、23题各9分，共68分）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）1
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【19题答案】
【答案】（1）①；②
（2）
【20题答案】
【答案】（1），
（2）6 （3）
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【22题答案】
【答案】（1）表格见解析，图见详解
（2）①减小；②2；小；；③
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）答案不唯一，见解析
（3）②③④
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
四、附加题（本题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分）
【25题答案】
【答案】（1）图见解析，7
（2）
【26题答案】
【答案】（1）
（2）或12
（3）

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