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福州三牧中学2024—2025学年第二学期期中考试卷
八年级数学
（考试时间：120分钟，满分：150分，必须在答题卷对应位置答题）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 要使有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A. 且． B. 且．
C. 且 D. 且．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 每一条对角线都能平分所在一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等四边形是正方形
5. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC=3，AC=4，则线段CD的长是（　　）
A. 2 B. 3 C. D. 5
6. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与图象分别为直线和直线，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
8. 如图，函数与函数的图象相交于点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9. 定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论：
①是等腰直角三角形；
②面积的最小值是1；
③四边形的面积始终不变；
④长度的最小值是；
⑤存在两个，使得的周长是．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. _____．
12. 2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，为了弘扬航天精神，激发初中生的爱国热情，某校开展航天知识竞赛，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示：
成绩（分） 84 88 92 96 100
人数 2 4 9 10 5
这30名参赛同学成绩众数是_____．
13. 若函数是正比例函数，则的值为_____．
14. 如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上若，，则的长为______．
15. 当时，代数式的值为_________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形．使得点、、、…、均在直线l上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是______．
三、解答题：（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．
19. 已知与成正比例，且时．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）请判断点是否在这条直线上，并说明理由．
20. 2025年3月28日14时20分，缅甸发生7.9级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次抽取的学生捐款的众数是_____元，中位数是_____元；
（3）求本次抽取的学生捐款的平均金额；
（4）若该校有2000名学生，根据以上信息，估计该校本次活动捐款金额为20元的学生有多少人．
21. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）请直接写出的对偶式_____；
（2）已知，，求的值；
22. 如图，四边形是矩形．
（1）在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点，垂足为点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形；
（3）如图2，点在矩形的边上，且，延长到点，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？
23. 某文具店准备购进甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
甲水笔 乙水笔
每支进价（元）
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
24. 把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象．
（1）请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____；
（2）在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积；
（3）函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围．
25. 如图1，中，，平分，，延长使得，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：为等腰直角三角形；
②试探究：的数量关系，并证明．
福州三牧中学2024—2025学年第二学期期中考试卷
八年级数学
（考试时间：120分钟，满分：150分，必须在答题卷对应位置答题）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
【11题答案】
【答案】3
【12题答案】
【答案】96
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】6
【16题答案】
【答案】
三、解答题：（本大题有9小题，共86分）
【17题答案】
【答案】2
【18题答案】
【答案】见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）点不在这条直线上，理由见解析
【20题答案】
【答案】（1）图见解析
（2）10，15 （3）16元
（4）400人
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析 （3）20
【23题答案】
【答案】（1）甲种水笔每支进价为5元，乙种水笔每支进价为10元
（2）该文具店购进甲种水笔132支，乙种水笔34支能使利润最大，最大利润是366元
【24题答案】
【答案】（1）见解析，
（2）2 （3）或
【25题答案】
【答案】（1）四边形矩形，理由见解析
（2）①证明见解析；②，证明见解析

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