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高2023级数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．3
2．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．3 C． D．1
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．已知在上递增，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，则（ ）
A．87 B．88 C．89 D．90
7.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式
的解集为（ ）
A. B． C． D．
8．已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．该数列为递增数列
10．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有三个极值点
B．
C．函数在上单调递增
D．是的极小值点
11．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A．
B．是等比数列
C．函数单调递增
D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款 万元.
13．已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 .
14．已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知等差数列的前项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
16.设函数.
(1)求在处的切线方程与坐标轴围成的三角形面积；
(2)求在区间上的最大值与最小值
17．已知数列满足，.
(1)证明数列为为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18.已知函数，
(1)令函数,
① 讨论函数的单调性.
② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围．
(2)证明：．
19．若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
(1)若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列．
(2)已知函数，存在，使得．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：．
高2023级数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B B A A D C B C ABD BCD ACD
1.B【详解】因为，所以.故选：B.
2.B【详解】.故选：B
3.A【详解】因为，所以，
所以函数在R上单调递增，所以，等价于，解得.
4.A【详解】数列中，，，则，
因此数列是周期数列，其周期为3，所以
5.D【详解】根据题意，在上恒成立，即恒成立，
易知，当时，， 所以，使得恒成立，则.
6.C【详解】由题意知，设等差数列的首项为，等比数列的首项为，
则，，所以.故选：C
7.B【详解】根据题意可令，
所以在上单调递减，则原不等式等价于，
由，解之得
8.C【详解】设点的横坐标为，则由可得，
又可得， 且两条曲线在点处的切线重合，
所以切线的斜率，解得或（舍去），
即点的横坐标为，由点为曲线与曲线的交点，
所以，即，令，
则，令可得，由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当，则实数的取值范围为.故选：C.
【答案】ABD【详解】，由，得，故，得该数列为递增数列,， ，
10.【答案】BCD
【详解】由图知，时，即在上单调递增，
时，即在上单调递减，故，
时，即在上单调递增，易知在上单调递增，
所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点，
综上，A错，B、C、D对.故选：BCD.
11.ACD【详解】依题意，每层的果子数分别为，
则数列的通项，
对于B，时，，为等差数列，对于A，，
对于C，
，则，单调递增，C正确；
对于D，，D正确.
12.【详解】依题意，且，
，
所以函数在，函数递增；在，函数递减.
所以当万元时，函数取得最大值.
13.【答案】
【详解】当 时，；当 时，.
,
代入通项公式：,
验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示.
因此，通项公式为分段形式：.
14.【答案】
法一 同构
法二 【详解】由，得，且
由，则
若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.
若，设，则，所以在上单调递增
由，所以有唯一实数根，设为，即
则当时，，，则在单调递减，
当时，，，则在单调递增，
所以当时，
由可得，即，即
所以，
又当时，，当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得
所以函数有两个不同零点，则
设，则
当时，有，则在上单调递增.
当时，有，则在上单调递减.
又当时，，所以当时，，当时，，
所以的解集为 故答案为：
15.【答案】(1) (2)20
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，..................4分
所以...................6分
（2）由（1）可得，
所以.................13分
【详解】（1）由题意可知，，则，
又， ..................2分
则在处的切线方程为：，即，
所以在处的切线方程；..................4分
.................6分
（2）令，解得：或，.................7分
则，，变化如表，
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；.................10分
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；.................11分
又，，，，
所以，．.................15分
17.【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为所以； .....................3分
又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， .....................5分
故， ..................7分
（2）由（1）可得， ..................8分
则，
所以，
两式相减得， ..................13分
所以 ..................15分
18.【详解】（1）①因为 所以
所以 ，
当时，当时，单调递增；时，单调递减；
当时，当时，单调递增；当时，单调递减．
当时，当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，在单调递增．.................5分
② 1.当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，，且，
所以，即.
2.当时，在，上单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，且 ，
因为，所以，则，
所以在只有一个零点.
综上，的取值范围为. .................11分
（2）证明：方法一 ，，则．
要证，即证，．
令，，则．.................13分
令，，则，
所以当时，，所以在上单调递增．
因为，，
所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．.................15分
所以．
由，得，所以．
两边取对数，得，所以，
所以，即．
因为，所以，即． .................17分
方法二 要证，即证，即证．
令，，，．
易得，则令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以． ................14分
易得．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，故． .................17分
方法三、 令φ(x)=ex-x-1，所以φ'(x)=ex-1，
当x∈(-∞，0)时，φ'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即ex≥x+1，
当且仅当x=0时等号成立.当x>0时，xex>x(x+1)， .................13分
要证f(x)>g'(x)，即证xex>ln x+1，
若x(x+1)>ln x+1，即x(x+1)-ln x-1>0，则f(x)>g'(x).
令h(x)=x(x+1)-ln x-1，x>0，所以h'(x)=2x+1-=
当x∈时，h'(x)<0，当x∈时，h'(x)>0，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h(x)≥h=-ln -=ln 2->0，
所以x(x+1)-ln x-1>0，即证得f(x)>g'(x)成立. .................17分
19.【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意知.
因为，
又，
所以，即，所以成等差数列..................4分
（2）（i），
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减..................6分
故，且当时，，当时，.
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
若，则在和上分别存在一个零点，记为，.................8分
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
故存在，满足.
所以的取值范围是. .................10分
（ii）因为，所以中值点满足，
由（i）知当时，即有两个零点，
所以在区间上所有可能的中值点即..................12分
先证明：
由，得.
要证，即证.
设，
则.
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减.
所以当时，，即.
因为，所以，即，
又，再结合在上单调递减，
可得，从而 ..................15分
令，得，
所以. .................17分

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