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沅澧共同体 2025 年上学期高三第一次模拟考试（答案）
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A C B B D A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ABD BD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
5 1
12． 1 13． 2 14．
3e3
,
e
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分 13分)
解：（1）因为从全班 50人中随机抽取 1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为50 0.6 30，其中女生 10人，则男生 20人.
不喜欢哪吒角色的人数为50 30 20，其中男生 5人，则女生 15人（含填表）………………3 分
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10 15 25
男生 20 5 25
总计 30 20 50
零假设为H 0 :学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
50 10 5 15 20 2
2 8.333 6.635 = x0.01，…………………………………………………5分
30 20 25 25
根据小概率值 =0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，
此推断犯错误的概率不大于 0.01. …………………………………………………………………6 分
20 10
（2）由题意，按分层随机抽样抽取的 6人中，男生人数为 6 4，女生人数为 6 2 .……7 分
30 30
X 表示从这 6人中随机选出 3人中男生的人数，所以 X 的所有可能取值为1,2,3 . ……………8 分
数学参考答案第 1 页 (共 4页)
{#{QQABaQSlxwg4wBYACJ66Qw0SCwiQkJISJSomxRAUuAwKQQFABCA=}#}
1 2
P X 1 C4C2 1 P X 2 C
2C1 3 C3 1
则 3 ，
4 2 4
C 5 C3
， P X 3
5 C3
. …………………………11 分
6 6 6 5
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
数学期望 E X 1 2 3 2 . ……………………………………………………………13 分
5 5 5
16. (本小题满分 15分)
bsinC bc
解：（1）由正弦定理及 a b c，得 a b c，……………………2 分
sinA sinB sinC a b c
bc (a b c)(a b c) a 2 (b c) 2 2bc b 2 c 2 a 2 ，……………………………………4 分
b2 c2 2
b2 c2 a2 bc , cosA a 1 ，………………………………………………………6 分
2bc 2
A (0, ), A …………………………………………………………………………………7分
3
（2）设 ABC的外接圆半径为 R，
由b 2c 2 3sinB 4 3sinC及正弦定理，得 2RsinB 4RsinC 2 3sinB 4 3sinC …………8分
R 3, a 2 3sin A π 2 3 sin 3．………………………………………………………10 分
3
由余弦定理得， a2 b2 c2 bc (b c)2
3 1
3bc (b c)2 (b c)2 (b c)2 ，…………………13 分
4 4
(b c)2 36，当且仅当b c 3时取等号， b c 6， ABC周长的最大值为 9．……15 分
17. (本小题满分 15分)
解：（1） PB PC， AB AC，D为BC的中点， PD BC， AD BC， ………………2分
PD AD=D, PD 平面 PAD， AD 平面 PAD， BC 平面 PAD． ………………………4分
又 BC 平面 PBC ， 平面 PAD 平面 PBC ．………………………………………………… 6 分
（2）
如图，以点A为坐标原点，分别以 AB, AC所在直线为 x轴 y轴，过点A且与平面 ABC垂直的直线为 z轴，
建立空间直角坐标系．取 AD中点 E，连接 PE， PA PD，∴PE AD．
数学参考答案第 2 页 (共 4页)
{#{QQABaQSlxwg4wBYACJ66Qw0SCwiQkJISJSomxRAUuAwKQQFABCA=}#}
由（1）可知 BC 平面 PAD， PE 平面PAD ， BC PE ………………………………7 分
又 AD BC D ,AD 平面 ABC， BC 平面 ABC，故 PE 平面 ABC………………………8分
AB AC， AB AC 2，D为 BC的中点， AD 2 ．
又 PA PD
3
2， E为 AD的中点， PE 2．
2
则 A 0,0,0 ， B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 1,1,0 ， E 1 ,
1 ,0 1 1 ， P , , 2 ，
2 2 2 2

所以 AB 2,0,0 , AP 1 1 , , 2 , AC 0,2,0 ， …………………………………………………9分
2 2

设平面 PAB的一个法向量为 n1 x1, y1, z1 ，

n1 AB 2x1 0
则 ，令 z1 1，则 x1 0, y1 4，所以 n1 0,4, 1 ．…………………11 分
n1 AP
x y
1 1 2z 0
2 2 1

设平面 PAC的一个法向量 n2 x2 , y2 ,z2 ，

n2 AC 2y2 0
则 ，令 z2 1，则 x2 4, y 0 n 4,0, 1x y 2 ，所以 2 .…………………13 分 n AP 2 22 2z2 0 2 2

n1 n2 1
设平面 PAB 12 2与平面 PAC的夹角为 ，则 cos cos n1, n2 ，所以sin .
n n 171 2 17
12 2
所以，平面 PAB与平面 PAC的夹角的正弦值是 ．…………………………………………15 分
17
18. (本小题满分 17分)
a 1,
c
解：（1）由题意可得 2, …………………………………………………………………3分
a
c2 a2 2 b ,
解得 c 2,b 2 3，……………………………………………………………………………………5分
y2
所以双曲线Γ的方程为 x2 1.…………………………………………………………………6 分
3
3
（2）证明：设直线 l : x my 2 m ，点 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，则 R x2 , y3 2 .
x my 2
2 2
联立 2 y2 ，得 3m 1 y 12my 9 0，…………………………………………………9 分
x 1 3
y1 y
12m
2 2 , y
9
1y2 2 .…………………………………………………………………………11 分3m 1 3m 1

A1R x2 1, y2 , A2P x1 1, y1 ，

则 A1R A2P x2 1 x1 1 y1y2 ，………………………………………………………………13 分
数学参考答案第 3 页 (共 4页)
{#{QQABaQSlxwg4wBYACJ66Qw0SCwiQkJISJSomxRAUuAwKQQFABCA=}#}
my2 2 1 my1 2 1 y1y2 m2 1 y1y2 3m y1 y2 9，
m2 1 9 3m 12m 2 2 9 0，…………………………………………………………16 分3m 1 3m 1
所以 A1R A2P .………………………………………………………………………………………17 分
19. (本小题满分 17分)
x 0 x x
解：（1）因为 f x e sinx，所以 f 0 e sin0=0， f x e sinx e cosx，………………2分
0
所以切线斜率为 f 0 e sin0 e0cos0 1， ……………………………………………………4分
所以函数 f x 的在 x 0处的切线方程为 y 0 1 x 0 ，即 x y 0；……………………5分
x π
（2）要证 f x e g x ，只需要证明 sinx ln(x 1)，其中 x 0, ，
2
设m(x) sinx ln(x 1) m x cosx 1， ，…………………………………………………6 分
x 1
1
设 n(x) m (x)， n x sinx x 1 2 …………………………………………………………7 分
2
因为函数 y sinx、 y
π
x 1 2 在 0, 上均为减函数， 2
则 n x sinx
1
0, π
x 1 2 在区间 内单调递减 ……………………………………………8分 2
n π 1 1 0
因为 n (0) 1
π
0 2 ， π
2
，所以， x1 0, ，使得 n x1 01 ， 2
2
当0 x x1时， n (x) 0
π
；当 x1 x 时， n (x) 0 .2
所以m (x)在区间 0, x x , π 1 内单调递增，在区间 1 内单调递减 ……………………………9 分
2
π 1
又因为m (0) 0，m x1 0 m π 0， 2 ， x
x , π 2 1 ，使得m 1 x 0 2 2 ，
2
π
当0 x x 2 时，m (x) 0；当 x2 x 时，m (x) 0 .2
所以m(x)在区间 0, x π 2 内单调递增，在区间 x2 , 内单调递减．…………………………10 分
2
因为m(0) 0
π π ，m 1 ln 1 0，
2 2
π
所以 sinx ln(x 1)在区间 0, 内恒成立．…………………………………………………11 分
2
(3)令 x
1
，所以 sin
1 ln 1 1 ln 2n 1 ，
2n 2n 2n 2n
数学参考答案第 4 页 (共 4页)
{#{QQABaQSlxwg4wBYACJ66Qw0SCwiQkJISJSomxRAUuAwKQQFABCA=}#}
所以 sin
1
ln 3 sin 1 ln 5 sin 1 ln 7 sin 1 2n 1， ， ，…， ln ，
2 2 4 4 6 6 2n 2n
所以 sin
1
sin 1 sin 1 ln 3 5 2n 1 ln ln ．…………………………………13 分
2 4 2n 2 4 2n
2n 1 2n 2 1 2n 1 2n 2
对 n N*， 02n 2n 1 2n 2n 1 ，所以 ln ln ，2n 2n 1

所以 2 sin
1
sin 1 sin 1 2
ln 3 ln
5
ln 2n 1
2 4 2n 2 4 2n
ln 3 ln 4 ln 5 ln 6 ln 2n 1 ln 2n 2
2 3 4 5 2n 2n 1
ln3 ln2 ln4 ln3 ln(2n 2) ln(2n 1) ln(n 1)，
1 1 1 1
所以 sin sin sin ln n 1 得证．…………………………………………15 分
2 4 2n 2
设 p x sinx x 0 x
1
，则 p (x) cosx 1 0，则 p(x)
1
在区间 0, 2 上单调递减， 2
所以 p(x) sinx x p(0) 0．
x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1令 ， sin ，所以 sin ， sin ，所以 sin ，…， sin ，
2n 2n 2n 2 2 4 4 6 6 2n 2n
sin 1 sin 1 1 1 sin 所以 1
1 1 1
．
2 4 2n 2 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1
综上， ln n 1 sin sin sin 1 n N* ……………17 分2 2 4 2n 2 2 3 n
数学参考答案第 5 页 (共 4页)
{#{QQABaQSlxwg4wBYACJ66Qw0SCwiQkJISJSomxRAUuAwKQQFABCA=}#}沅澧共同体2025届高三第一次模拟考试（试题卷）
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数为实数，则实数a等于
A．-2 B． C．1 D．2
2．设集合，，则集合中元素的个数为
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知幂函数在上单调递增，则m的值为
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
4．已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则m的值为
A． B． C． D．
5．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于
A． B． C． D．
6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则
A． B．0 C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
10.中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是
A． B． C． D．
11.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则
A．时，满足的点有2个 B．的周长等于
C．时，满足的点有4个 D．的最大值为a2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若非零向量满足，，则 ．
13.已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10
男生 5
总计 50
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；
（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，.
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（本小题满分15分）
已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
17．（本小题满分15分）
如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：.
19．（本小题满分17分）
已知函数,．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）求证：.

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