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济南市章丘区 2025 年初中学业水平考试数学模拟试题（二）
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.－2025 的绝对值是（ ）
A．2025 B．－2025 C． D．
2.我国古代数学家刘徽用 “牟合方盖” 找到了球体体积的计算方法。“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体。如图所示的几何体是可以形成 “牟合方盖” 的一种模型，它的左视图是（ ）
3．明水古城作为章丘区重点发展旅游项目，凭借文化赋能、业态创新和精准营销，已成为济南市乃至山东省文旅新引擎，2025年春节假期期间，明水古城累计接待游客129200人次，位列济南市重点景区前列，数据129200用科学记数法表示为（ ）
A．0.1292×106 B．12.92×104 C．1.292×104 D．1.292×105
4.如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=12，AC=16，△A′B′C′与△ABC 关于点 O 中心对称，则B′C′的长度为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
5.剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则 ∠a 的大小为（ ）
A．72° B．70° C．60° D．54°
6.下列运算结果正确的是（ ）
A．(a+b)3=a3+b3 B．a2+a3=a5 C．4a3·3a2=12a5 D．(2a2)3=6a6
7.若关于x的方程ax ﹣2x+=0有解，则a的值不可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8.圆周率π是无限不循环小数，历史上，祖冲之（中国）、刘徽（中国）、韦达（法国）、欧拉（瑞士）等数学家对π都有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在△ABC 中， AB= AC ,∠A =36°．按照如下步骤作图：①分别以点 A , B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M , N ;②连接直线MN ，交AC 于点D ;③以点D 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 的延长线于点 E ;④连接BD 、BE．下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BC ＝AC·CD C．∠ABE＝90° D．∠CBE=∠DEB
10.定义：在平面直角坐标系中，我们将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点沿对称轴向它的开口方向平移个单位得到点F，则点F为抛物线的焦点；将其顶点沿对称轴向它的开口方向的反方向平移个单位得到点F′，再过点F′作抛物线对称轴的垂线l，则直线l为抛物线的准线。例如，抛物线y=x2的焦点为F(0,1)，准线为l:y= 1；抛物线y= (x 1)2的焦点为
F(1, )，准线为l:y=。抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等。有下列结论：
①以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切
②抛物线y= (x 2)2 1的焦点为F(2, )，准线为直线l:y=
③若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的焦点和准线间的距离为 2，则a=
④已知点P为抛物线y=x2 2x+1(a≠0)上一点，点Q(2,1)，连接PQ，过P作PH⊥x轴，垂足为点H，则PQ+PH的最小值为 1。其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①③④
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11. 计算﹣的结果为 。
12.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为 。
13.如图所示，向△ABC内部任意投掷一点P，连接PB，PC，若△ABC的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S1≥2S2的概率为 。
14.甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 20s，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 30s，甲乙两车与甲车出发点的距离y(m)与行驶时间x(s)的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s 可与乙车相遇。
15.如图，四边形ABCD是菱形，AC是对角线，E是边AB上的一点，连接CE，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，若AB=5，AC=，则BE = 。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本小题满分 7 分）计算：（﹣）﹣2+4cos30°﹣+（）0+
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
18.（本小题满分 7 分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF。求证：AE=CF。
19.（本小题满分 8 分）
某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动。
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活 动 过 程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下
测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，测得EF=4米； ③在点F处测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40。
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1) 求线段CE和BC的长度；
(2) 求底座的底面ABCD的面积。
20.（本小题满分 9 分）
2024 年 4 月 24 日 “中国航天日” 的主题是 “极目楚天，共襄星汉”，这是自 2016 年以来的第九个 “中国航天日”。为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：
A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。下面给出部分信息：
a: C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79。
b: 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分；
（5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2:8，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数。
21.（本小题满分 8 分）
如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠CAD，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，DB=2，求AE的长。
22.（本小题满分 10 分）
某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包5kg，其中甲型营养土中颗粒土含量为60%，乙型营养土中颗粒土含量为40%。每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍。
（1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话：
请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量；
（2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备50kg营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于50%，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？
23.（本小题满分 10 分）如图，直线y= 2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段AB的中点，将线段直线AB向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数y= (x>0)的图象上。
（1）求m的值和反比例函数的关系式；
（2）连接OD、OE，求△ODE的面积；
（3）若点P是直线OE下方反比例函数y=(x>0)图象上的点，点Q在x轴上，连接EP，EQ，PQ，是否存在点P、Q使△QPE∽△AOB？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由。
24.（本小题满分 12 分）如图所示，二次函数y=ax2+2x+c图象的对称轴为直线x=2，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点C(4,2)，直线l：y=x+4与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接PA，过点P作直线PM∥y轴，与直线l交于点M。
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接AM，当△PMQ与△PMA面积相等时，求m的值；
（3）如图 2，当025.（本小题满分 12 分）在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题。
如图 1，点E是正方形ABCD的边CD上的点，以CE为边，在正方形ABCD右侧作正方形CEFG，连接AF，M为线段AF的中点，连接BM，GM。
（1）猜想：图 1 中线段BM和线段GM的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）；
（2）以C为旋转中心将正方形CEFG顺时针旋转，旋转角为α(0<α<360°)，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由；
（3）若正方形ABCD的边长为2，正方形CEFG的边长为1，则在正方形CEFG旋转一周的过程中，当点G、点F、点A三点共线时，直接写出BM的长。
答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.－2025 的绝对值是（ A ）
A．2025 B．－2025 C． D．
2.我国古代数学家刘徽用 “牟合方盖” 找到了球体体积的计算方法。“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体。如图所示的几何体是可以形成 “牟合方盖” 的一种模型，它的左视图是（ B ）
3．明水古城作为章丘区重点发展旅游项目，凭借文化赋能、业态创新和精准营销，已成为济南市乃至山东省文旅新引擎，2025年春节假期期间，明水古城累计接待游客129200人次，位列济南市重点景区前列，数据129200用科学记数法表示为（ D ）
A．0.1292×106 B．12.92×104 C．1.292×104 D．1.292×105
4.如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=12，AC=16，△A′B′C′与△ABC 关于点 O 中心对称，则B′C′的长度为（ C ）
A．12 B．16 C．20 D．25
5.剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则 ∠a 的大小为（ A ）
A．72° B．70° C．60° D．54°
6.下列运算结果正确的是（ C ）
A．(a+b)3=a3+b3 B．a2+a3=a5 C．4a3·3a2=12a5 D．(2a2)3=6a6
7.若关于x的方程ax ﹣2x+=0有解，则a的值不可能是（ D ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8.圆周率π是无限不循环小数，历史上，祖冲之（中国）、刘徽（中国）、韦达（法国）、欧拉（瑞士）等数学家对π都有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ B ）
A． B． C． D．
9.如图，在△ABC 中， AB= AC ,∠A =36°．按照如下步骤作图：①分别以点 A , B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M , N ;②连接直线MN ，交AC 于点D ;③以点D 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 的延长线于点 E ;④连接BD 、BE．下列说法错误的是（ D ）
A．AD＝BD B．BC ＝AC·CD C．∠ABE＝90° D．∠CBE=∠DEB
10.定义：在平面直角坐标系中，我们将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点沿对称轴向它的开口方向平移个单位得到点F，则点F为抛物线的焦点；将其顶点沿对称轴向它的开口方向的反方向平移个单位得到点F′，再过点F′作抛物线对称轴的垂线l，则直线l为抛物线的准线。例如，抛物线y=x2的焦点为F(0,1)，准线为l:y= 1；抛物线y= (x 1)2的焦点为
F(1, )，准线为l:y=。抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等。有下列结论：
①以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切
②抛物线y= (x 2)2 1的焦点为F(2, )，准线为直线l:y=
③若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的焦点和准线间的距离为 2，则a=
④已知点P为抛物线y=x2 2x+1(a≠0)上一点，点Q(2,1)，连接PQ，过P作PH⊥x轴，垂足为点H，则PQ+PH的最小值为 1。其中正确结论的序号为（ B ）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①③④
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11. 计算﹣的结果为 1﹣m 。
12.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为 15° 。
13.如图所示，向△ABC内部任意投掷一点P，连接PB，PC，若△ABC的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S1≥2S2的概率为 。
14.甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 20s，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 30s，甲乙两车与甲车出发点的距离y(m)与行驶时间x(s)的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 30 s 可与乙车相遇。
15.如图，四边形ABCD是菱形，AC是对角线，E是边AB上的一点，连接CE，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，若AB=5，AC=，则BE = 。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本小题满分 7 分）计算：（﹣）﹣2+4cos30°﹣+（）0+
=4+2﹣3+1+﹣1
=4
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
解不等式①得：x≥-2
解不等式②得： x <3
原不等式组的解集为﹣2≤x＜3
其正整数解有1,2
18.（本小题满分 7 分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF。求证：AE=CF。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB = CD , OA = OC , OB = OD
∴△ABO≌△CDO ( SSS )
∵E , F 分别为 OB , OD 的中点
∴AE , CF为△ABO 和△CDO 对应边上的中线
∴AE = CF
19.（本小题满分 8 分）
某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动。
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活 动 过 程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下
测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，测得EF=4米； ③在点F处测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40。
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1) 求线段CE和BC的长度；
(2) 求底座的底面ABCD的面积。
(1）解：∵GH⊥CE , EF =4米，∠CFG =60.3°
∴tan∠CFE =tan60.3°=≈1.75
SUOYI5CE =7米
∵∠BFG =45°
∴BE = EF =4米
∴CB = CE - BE =3米
(2）过点 A作AM⊥GH于点M
∵∠AFG =21.8°
∴tan∠AFG =tan21.8°==0.4.
∵AM = BE =4米
∴MF =10米
∴AB = ME =10-4=6米
∴底座的底面 ABCD 的面积为：3x6=18平方米．
20.（本小题满分 9 分）
2024 年 4 月 24 日 “中国航天日” 的主题是 “极目楚天，共襄星汉”，这是自 2016 年以来的第九个 “中国航天日”。为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：
A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。下面给出部分信息：
a: C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79。
b: 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分；
（5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2:8，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数。
（1）50
（2）略
（3）36°
（4）77
（5）1500××=48人
估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数约为48人．
21.（本小题满分 8 分）
如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠CAD，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，DB=2，求AE的长。
解：(1）证明：如图，连接 OC
∵OC = OA
∴∠OCA =∠CAD .
∵∠DCB =∠CAD
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCA+∠BCO =∠DCB +∠BCO ，即∠BCA =∠DCO
∵AB 为直径
∴∠ACB =90°
∵∠DCO =90°，即 CD⊥OC
∵OC 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线
（2）∵∠DCO=90°, OC = OB
∴OC2 +CD2=OD2
∴OB2+42=(OB +2)2，解得OB =3
∴OB = OC =3, AD = BD+2OB=2+2x3=8
∵AE⊥AO
∴∠DCO =∠DAE =90°
又：∠D =∠D
∴△DCO∽△DAE
∴=，即=
∴AE =6.
22.（本小题满分 10 分）
某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包5kg，其中甲型营养土中颗粒土含量为60%，乙型营养土中颗粒土含量为40%。每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍。
（1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话：
请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量；
（2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备50kg营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于50%，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？
解：(1）设每包甲型营养土含有机质 xg ，则每包乙型营养土含有机质1.5xg根据题意可得：
=+1
解得：x =1200
经检验得，x =1200是原方程的解．
1.5x=1.5x1200=1800g
答：每包甲型营养土含有机质1200g，每包乙型营养土含有机质1800g分
设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土（10- m ）包，根据题意得5mx60%+5(10- m )x40%≥50x50%
解得：m ≥5
设配成营养土中有机质总含量为y g，根据题意得：
y =1200m+1800(10- m )
整理得：y =-600m+18000
∵-600<0
∴当 m = S 时, y 值最大,此时10-m=5
答:应准备甲乙两种型号营养土各5包。
23.（本小题满分 10 分）如图，直线y= 2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段AB的中点，将线段直线AB向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数y= (x>0)的图象上。
（1）求m的值和反比例函数的关系式；
（2）连接OD、OE，求△ODE的面积；
（3）若点P是直线OE下方反比例函数y=(x>0)图象上的点，点Q在x轴上，连接EP，EQ，PQ，是否存在点P、Q使△QPE∽△AOB？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解:(1)将x=0代入y=﹣2x+4得y=4
∴B (0,4)
将y=0代入 y=﹣2x+4得0=2x+4,解得x=2
∴A (2,0)
∵C 为 AB 的中点
∴C (1,2)
∵将B , C 向右平移 m 个单位得点D , E
∴D ( m,4),E (1+ m,2)
∵D , E 均在反比例函数y=(x>0)的图象上
∴m ×4=(1+ m )x2= k
解得m=1，k=4
反比例函数得关系式为 y =
（2）3
（3）P（4，1）
24.（本小题满分 12 分）如图所示，二次函数y=ax2+2x+c图象的对称轴为直线x=2，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点C(4,2)，直线l：y=x+4与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接PA，过点P作直线PM∥y轴，与直线l交于点M。
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接AM，当△PMQ与△PMA面积相等时，求m的值；
（3）如图 2，当0解：(1）二次函数 y =ax2+2x+ c 图象的对称轴为直线 x =2
∴﹣=2
∴a=﹣
将C (4,2）代入 y =﹣x2-+2x+ c得，2=﹣x42+2x4+ c
解得 c =2
∴抛物线的表达式为 y =﹣x2+2x+2
（2）m-﹣1+或﹣1﹣
（3）AM+BN的最小值为2 m=
25.（本小题满分 12 分）在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题。
如图 1，点E是正方形ABCD的边CD上的点，以CE为边，在正方形ABCD右侧作正方形CEFG，连接AF，M为线段AF的中点，连接BM，GM。
（1）猜想：图 1 中线段BM和线段GM的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）；
（2）以C为旋转中心将正方形CEFG顺时针旋转，旋转角为α(0<α<360°)，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由；
（3）若正方形ABCD的边长为2，正方形CEFG的边长为1，则在正方形CEFG旋转一周的过程中，当点G、点F、点A三点共线时，直接写出BM的长。
（1）BM⊥GM BM=GM
（2）(1）中的结论仍成立，理由如下
如图，连接 AC , CF , BG ,作AC 的中点N ，连接MN ,BN .
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均为正方形
∴易证△BCN 与△CGF 均为等腰直角三角形．
∴= =
∵ MN 是△ACF 的中位线
∴MN∥CF
设∠MNC = a ，则∠NCF =180°- MNC =180°-α.
∴∠BCG =360°-∠NCB -∠NCF -∠FCG =360°-45°-(180- a )-45°=90+ a .
∵∠BNM =∠BNC +∠MNC =90+ a
∴∠BNM =∠BCG
∵=
∴△BNM∽△BCG .
∴=,∠NBM =∠CBG
∴∠NBM +∠MBC =∠CBG +∠MBC，即∠NBC=∠MBG.
∴△NBC∽△MBG
∵△NBC为等腰直角三角形
∴∠BNC =90°，=1
∴∠BMG=∠BNG =90°,==1
即 BM⊥GM , BM= GM
(3）当 G , F , A 三点共线时，BM=或

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