资源简介

　变力做功
求变力做功的常用方法
1.“微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功。如图所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…＝Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)＝Ff·2πR。
例1　(多选)(2025·福建福州市段考)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后静止释放摆球。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小Ff不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力做功为－mgL
D.空气阻力做功为－FfπL
2.“平均力”求变力做功
当力的方向不变而大小随位移线性变化时，可先求出力在这段位移中的平均值，再由W＝lcos α计算，如弹簧弹力做功。
例2　野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k为比例常数)，则野山鼠打到洞深d的过程中，需要克服阻力做的功为(　　)
A.kd2 B. C.2kd2 D.
3.“图像法”求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。如图所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x1。
例3　一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为(　　)
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
4.“转化法”求变力做功
通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过光滑轻质定滑轮拉物体运动过程中拉力做功问题。如图所示，恒力F把放在光滑水平面上的物体从A拉到B，因轻绳对物体做的功等于拉力F对轻绳做的功，故轻绳对物体做功W＝F()。
例4　如图所示，一辆拖车通过光滑轻质定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，不计空气阻力，求此过程中拖车对绳子所做的功。
其他求变力做功的方法
(1)当发动机功率一定，求发动机做功用W＝Pt。
(2)利用动能定理求变力做功WF+W其他力＝ΔEk。
1.(2025·山东烟台市龙口市段考)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
2.(2024·江西南昌市第十九中学期中)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(　　)
A.(－1)d B.(－1)d
C. D.d
3.(2024·山西省怀仁一中期中)如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，不计空气阻力，则该物体在0~4 m的运动过程中(　　)
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功为80 J
D.推力做功为200 J
答案精析
例1　ABD　[根据W＝Flcos α，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，使用微元法得空气阻力做功为－Ff·πL＝－FfπL，C错误，D正确。]
例2　B　[由于打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，则野山鼠打到洞深d的过程中，需要克服阻力做的功为W＝·d＝d＝，故选B。]
例3　B　[力F对物体做的功等于F－x图线与横轴所围面积的代数和，0~4 s这段时间内力F对物体做的功为W1＝×(3+4)×2 J＝7 J，4~5 s这段时间内力F对物体做的功为W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，全过程中，力F对物体做的功为W＝W1+W2＝7 J－1 J＝6 J，故选B。]
例4　Gs
解析　拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功，以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所以绳子的拉力大小FT＝G。物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA，即l＝，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝Gs，则拖车对绳子做的功等于Gs。
跟踪训练
1.A　[将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，
W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1+W2+…+Wn
＝Fcos 37°(l1+l2+…+ln)
＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J
＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·＝8π J，故C、D错误。]
2.B　[铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d，W＝d'＝d'，联立解得d'＝－1)d，故A、C、D错误，B正确。]
3.D　[物体所受滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，由题图乙可知，推力大小一直减小，当推力大于摩擦力时，物体做加速运动，当推力小于摩擦力时，物体做减速运动，又摩擦力大小恒定，故该物体在0~4 m的运动过程中，摩擦力的功率先增大后减小，故A错误；当推力等于摩擦力时，物体速度达到最大，此后随着物体速度减小，则推力的功率也减小，故B错误；摩擦力做功W1＝－Ffx＝－80 J，故C错误；F－x图像中图线与x轴所围的面积表示推力做的功，推力做的功W2＝×100×4 J＝200 J，故D正确。](共20张PPT)
物理
大
一
轮
复
习
第六章
机械能守恒定律
微点突破4
变力做功
求变力做功的常用方法
1.“微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上
作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化
为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功。如图所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。
(多选)(2025·福建福州市段考)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后静止释放摆球。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小Ff不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力做功为－mgL
D.空气阻力做功为－FfπL
例1
√
√
√
根据W＝Flcos α，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，
A正确；
悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；
空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，使用
微元法得空气阻力做功为－Ff·πL＝－FfπL，C错误，D正确。
2.“平均力”求变力做功
当力的方向不变而大小随位移线性变化时，可先求出力在这段位移中的
平均值，再由W＝lcos α计算，如弹簧弹力做功。
野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k为比例常数)，则野山鼠打到洞深d的过程中，需要克服阻力做的功为
A.kd2 B.
C.2kd2 D.
例2
√
由于打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，则野山鼠打到洞深d的过
程中，需要克服阻力做的功为W＝·d＝d＝，故选B。
3.“图像法”求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力
F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正
功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便
于求图线与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。如图所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图
线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x1。
一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为
A.3 J B.6 J
C.7 J D.8 J
例3
√
力F对物体做的功等于F－x图线与横轴所围面积的代数和，0~4 s这段时间内力F对物体做的功为W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，4~5 s这段时间内力F对物体做的功为W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，全过程中，力F对物体做的功为W＝W1＋W2＝7 J－1 J＝6 J，故选B。
4.“转化法”求变力做功
通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过光滑轻质定滑轮拉物体运动过程中拉力做功问题。如图所示，恒力F把放在光滑水平
面上的物体从A拉到B，因轻绳对物体做的功等于拉力F对轻绳做的功，
故轻绳对物体做功W＝F()。
如图所示，一辆拖车通过光滑轻质定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，不计空气阻力，求此过程中拖车对绳子所做的功。
例4
答案　Gs
拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功，以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所以绳子的拉力大小FT＝G。物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳
长OB减去开始时的绳长OA，即l＝，所以绳
子对物体做的功W＝FTl＝Gs，则拖车对绳子做的功等于Gs。
其他求变力做功的方法
(1)当发动机功率一定，求发动机做功用W＝Pt。
(2)利用动能定理求变力做功WF＋W其他力＝ΔEk。
跟踪训练
1.(2025·山东烟台市龙口市段考)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
√
将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J＝16π J，故A正确，B错误；
同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·＝8π J，故C、D错误。
2.(2024·江西南昌市第十九中学期中)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为
A.(－1)d B.(－1)d
C. D.d
√
铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与
深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝d＝d，W＝d'＝d'，联立解得d'＝(－1)d，故A、C、D错误，B正确。
3.(2024·山西省怀仁一中期中)如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，不计空气阻力，则该物体在0~4 m的运动过程中
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功为80 J
D.推力做功为200 J
√
物体所受滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，由题图乙可知，推力大小一直减小，当推力大于摩擦力时，物体做加速运动，当
推力小于摩擦力时，物体做减速运动，又摩擦力大小恒定，故该物体在0~4 m的运动过程中，摩擦力的功率先增大后减小，故A错误；
当推力等于摩擦力时，物体速度达到最大，此后随着物体速度减小，则推力的功率也减小，故B错误；
摩擦力做功W1＝－Ffx＝－80 J，故C错误；
F－x图像中图线与x轴所围的面积表示推
力做的功，推力做的功W2＝×100×4 J
＝200 J，故D正确。

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