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代数组
题1.设山，心，心为正实数.证明存在（仙，”，w)的循环置换（亿，z,使得不等式：
a
b
3
ra+yb+se+xb+ye+za+xe+ya+s2+y+:
对所有正实数a,b和c成立.
题2.证明存在正整数n,使得数：
8k的十进制表示以2023个数字8结尾.
3k
题3.求所有满足方程组的正实数三元组(@，b,c
11bc-366-15c abc
12ca -10c-28a abc
13ab 21a -6b abc
题4.设a≥b≥c≥0为实数且满足ab+bc+ca=3.证明：
3+2-v周b+V8-1)
(b-c2
≤a+b+c
并确定所有等号成立的情况：
题5.设R+=(0,+o∞)为正实数集合.求所有非负实数c≥0，使得存在函数f:R+→R+
满足对所有x,y∈R+,均有：
f(y2f(r)+y+c)=xf(+2)
题6.设R+=(0,+o)为所有正实数的集合.求所有函数f:R+→R+及具有非负系数且
g(0)=0的多项式g(x),使得对于所有正实数x>y,均有：
f(f(x)+9(y)=f(x-)+2y
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组合组
题1.设m.k为正整数.朱莉娅和弗洛里安在2m×2m棋盘上玩游戏.朱莉娅已用隐形多米
诺骨牌秘密铺满整个棋盘.弗洛里安选择k个格子后，所有覆盖这些格子的骨牌将显形.求k
的最小值，使得弗洛里安总能据此策略推断出完整铺法
注：每个多米诺骨牌为2×1的矩形，
题2.设n≥2和S={1.2..,n2},对任意函数f:S→S,令Fix(f)={x∈S
f(x)=x}·求当f遍历所有∫：S→S函数时，下列表达式可能的值
IFix(f川+Im(f川+eF(k
题3.设n≥3.甲乙两人进行如下游戏：甲选择k∈{3,4，.，n}并绘制3×k表格，在第一行
k个格子中填入{1,2，..，n}的不同数字.乙在第二行部分格子（可能全空填入{1,2，..，n}
的相异数字，其余填0.最后在第三行每个格子写入上方两格之和，证明无论甲如何操作，乙都
能确保第三行数字经排列后形成一个非常数列的等差数列，
题4.证明对每个正整数k,存在整数n和不同质数p1,p2,,P%,若用A()表示{1,2，.，n}
中与P12…p互质的整数数量，则
n(-)(-)(-)-a>2*
题5.设n≥3为自然数.甲和乙在正n边形顶，点上游戏：甲先将标记置于某顶，点，乙再选不
同顶点放置标记.随后甲先手，双方交替移动标记共2轮：甲在第k轮可顺时针或逆时针移
动k个位置：乙在第k轮每次移动1个位置
若某回合结束时两标记重合，甲获胜；否则乙获胜.对每个值，判定谁有必胜策略
题6.设D为平面直线集合，A为平面17个点集.对d∈D,令na(A)表示A在d上投影
的不同点数.求以下集合元素个数的最大值：
VA={na(A)|d∈D}.
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