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湖南省祁阳市黎家坪镇二中2025年中考一模数学试卷及答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．比较4，，的大小，正确的是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
2．湖南省第二次文物普查时，省考古研究所在冷水滩钱家州征集到一个宋代“青釉瓜棱形瓷执壶”如图所示，该壶为盛酒器，瓷质，侈口，喇叭形长颈，长立把，则该“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．函数y中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
4．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90° B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
5．化简a2 a3的结果是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a8
6．某网店今年1﹣4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．据图中信息作如下推断，其中不合理的是（　　）
A．这4个月，电子产品销售总额为290万元
B．平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C．这4个月中，平板电脑售额最低的是3月
D．平板电脑销售额占当月电子产品销售总额的百分比，4个月中1月最高
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（　　）
A．30° B．45° C．36° D．60°
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
10．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
第8题图 第9题图 第13题图 第15题图
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．计算：2（2）2024（2）2025＝　 　 ．
12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　 ．
13．转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是 　 　 ．
14．已知函数f（x），其中f（a）表示当x＝a时对应的函数值，如f（1），f（2），f（a），则f（1）+（2）+f（3）+…+f（2025）＝　 　 ．
15．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是　 　 ．
16．如图所示，∠AOB＝70°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧分别交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上取点M，连接MC、MD．若测得∠CMD＝40°，则∠MDB＝ 　 　
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC、AC上一点，BD＝AC，DC＝AE，BE与AD交于点P，则∠ADC+∠BEC＝　 　 度．
第16题图 第17题图 第18题图
18．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|．
20．（8分）（1）计算：[x（x2y2+xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（2）先化简，再求值：（a﹣2）2+2（a+1），其中：a2﹣3＝2a．
21．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有　 　 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为　 　 %．
（2）被调查学生的总人数为　 　 人，统计表中m的值为　 　 ，统计图中n的值为　 　 ；
（3）在统计图中，B类所对应扇形圆心角的度数为　 　 ；
（4）该校共有1000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱A类节目的人数．
22．（6分）为中华人民共和国成立76周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
23．（8分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
24．（8分）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732）
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D B B B B C C
8．解析：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，
∴∠COD＝∠DOE60°，∠DOQ＝∠EOQ∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ∠COQ＝45°，
9．C解析：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．
故选：C．
10．C解析：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x1，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
11．4．
12．m＜0．
13．．
14．解析：∵f（1），f（2），f（a），
∴f（1）+（2）+f（3）+f（2025）
＝1＝1．
15．：∵点O是AC的中点，点F是DE的中点
∴OF∥DG，DG＝2OF＝4
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠ACD＝∠BAC且AO＝CO，∠AOE＝∠COG
∴△AEO≌△CGO（ASA）
∴AE＝CG，且AB＝CD
∴BE＝DG＝4
∵BE＝3CG
∴AE＝CG
16．55°．
17．135 解析：如图，过点B作BF⊥BC，且BF＝AE＝CD，连接AF，
∠FBC＝90°
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，∠FBC＝∠DCA．
∴BF∥AC，
∴四边形AFBE为平行四边形．
∴∠BFA＝∠AEB．
在△BDF和△CAD中，
，
∴△BDF≌△CAD（SAS）．
∴∠BFD＝∠ADC，∠BDF＝∠DAC，DF＝DA．
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠ADC+∠BDF＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴∠DFA＝∠DAF＝45°．
∵∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠AFB+∠BEC＝180°，
∴∠BFD+∠DFA+∠BEC＝180°，
∴∠ADC+∠AFD+∠BEC＝180°，
∠ADC+∠BEC＝135°．
18． 解析：∵a＝1，b＝2，c，
∴S．
19．解：原式＝43+2﹣2＝23+2﹣2＝5．
20．解：（1）原式＝（x3y2+x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y＝2x3y2÷3x2yxy；
（2）原式＝a2﹣4a+4+2a+2＝a2﹣2a+6，
∵a2﹣3＝2a，
∴a2﹣2a＝3，
∴原式＝3+6＝9．
21．
解：（1）最喜爱体育节目的有30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为20%．
故答案为30，20．
（2）总人数＝30÷20%＝150人，
m＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45，
n%100%＝36%，即n＝36，
故答案为：150，45，36．
（3）B类所对应扇形圆心角的度数为360°×20%＝72°．
故答案为：72°
（4）估计该校最喜爱A类节目的学生数为100080人．
答：估计该校最喜爱A类节目的学生数为80人．
22．解：设原计划每天加工x个，
根据题意，得，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天加工400个．
23．（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴AD（cm）．
24．解：设AB＝x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠C＝30°，∠ADB＝45°，CD＝80米
∴DB＝x，AC＝2x，BCx，
∵CD＝BC﹣BD＝80米，
x﹣x＝80，
∴x＝40（1）≈109.3．
答：该大厦的高度是109.3米．
25．解：（1）∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB10cm，
①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴t，
∴t＝1或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝PBsinB＝3t，BM＝4t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，
解得：t；
（3）如图，作PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∵∠ACB＝90°，
∴DF为梯形PECQ的中位线，
∴DF，
∵QC＝4t，PE＝8﹣BM＝8﹣4t，
∴DF4，
∵BC＝8，过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC＝DF＝4成立，
∴D在过R的中位线上，
∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
26．解：（1）由题意得：
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），
∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，
由翻折得C′B＝CB＝4，
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H2，
∴点C′的坐标为（1，2），tan∠C′BH，
∴∠C′BH＝60°，
由翻折得∠DBH∠C′BH＝30°，
在Rt△BHD中，DH＝BH tan∠DBH＝2 tan30°，
∴点D的坐标为（1，）．
（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，
∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，
∴∠BCQ＝∠C′CP，
∴△BCQ≌△C′CP（SAS），
∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ＝CQ，
∴C′P＝CQ＝CP，
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b1，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．
∴∠BCP＝∠C′CQ，
∴△BCP≌△C′CQ（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q，
∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，
∴∠CC′Q∠CC′B＝30°．
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB tan∠CBP＝OB tan30°＝1，
∴点E的坐标为（0，）．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y．
综上所述，直线BP的函数表达式为y或y．
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