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建平中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若，则正整数 .
2．已知向量，且，则 .
3．曲线在处的切线斜率为 .
4．的二项展开式中的常数项为 .
5．函数在区间上的最大值是 .
6．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 .
7．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有 种.
8．已知函数，若，则 .
9．4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有 种.
10．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 .
11．已知＂＂为＂的一个全排列．设是实数，若＂＂可推出＂或＂，则满足条件的排列＂＂共有 个.
12．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分）第13,14题每题4分，第15，16题每题5分．
13．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）.
A． B． C． D．
14．根据组合数的性质可知，（ ）.
A． B． C． D．
15．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
16．若为非负整数，则方程的解有（ ）.
A．83组 B．84组 C．85组 D．以上答案都不对
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第2小题满分6分.
（1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列；
（2）已知正整数满足，求正整数的值；
（3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设
（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
20．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当为偶数时，求．
21．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂．
（1）判断函数是否是上的＂函数＂，请说明理由；
（2）若函数是上的＂函数＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数是上的＂函数＂．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知＂＂为＂的一个全排列．设是实数，若＂＂可推出＂或＂，则满足条件的排列＂＂共有 个.
【答案】
【解析】分析题意，得出结论为包含于．
首先对于类似可能是这种，有种情况（包括
由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离，交叉，包含3种
①分离：此时只能在内部，或者在内部；
再考虑到，谁左谁右，总共种情况；
②交叉：比如此时由小到大的顺序为，那么实际上就是，
所以之间应该有个数字，选择4个位置中的两个给有；
再考虑到谁左谁右，总共种情况；
③包含：跟交叉无甚区别，也是12种情况；
故总情况数：个．故答案为：224个．
12．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，不等式恒成立
等价于恒成立；
因为，所以，
设且
当时，
当时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；所以；
设，则，
所以在上单调递增，且
要使恒成立，需使恒成立，即，所以的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.C
15．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数，则，
由图象可知，是函数的极小值点，则，解得，
当时，；当时，，则是函数的极小值点，，
不等式，解得，
所以不等式的解集为．故选C.
16．若为非负整数，则方程的解有（ ）.
A．83组 B．84组 C．85组 D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】显然是满足条件的一组解，
且只要中有0，则剩余的必须全为0，
下面只考虑为非零的情形：
不妨设，则，即有，
显然此时必有，否则，矛盾，
于是命题等价于，且由，可得，
情形，
则，即，满足条件的解有；
情形，则或3，
时，（舍），时，（舍），故此类情况无解；
综上，
考虑的轮换性，故有组．故选C.
三．解答题
17.（1） （2） （3）
18.（1） （2）
19.（1） （2）时，容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值
20．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当为偶数时，求．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意可得，当时，范数为奇数时，的个数为偶数，
中0的个数为0或2，
由加法原理和乘法原理可得
（2）由题意可得，当为奇数时，在维向量中要使范数为奇数，
则0的个数一定为偶数，其余位置为1或-1，所以可按0的个数为分情况讨论，根据加法原来和乘法原理可得
因为，
，两式相加除以2，
可得，则；
（3）当为偶数时，在维向量中要使范数为奇数，
则0的个数一定为奇数，其余位置为1或-1，所以可按0的个数为分情况讨论，所以
由
可得
21．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂．
（1）判断函数是否是上的＂函数＂，请说明理由；
（2）若函数是上的＂函数＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数是上的＂函数＂．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）6
【解析】（1）不是，理由如下：因为，则，
由于，即对任意的不恒成立，
所以函数不是上的＂函数＂．
（2）因为，所以，
因为函数是上的＂（1）函数＂，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以实数的取值范围为．
（3）因为，所以，
因为函数是上的＂（2）函数＂，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，即；
当时，恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，即；
综上所述，.
若对任意的，当时，都有成立；
不妨设，则，于是有，
即，
令，
则存在，使得在上为增函数，
于是存在，使得即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
而函数在上单调递增，所以，即，
另一方面，当时，，，
可得知恒成立，满足题意，所以实数p的最大值为6．

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