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大同中学2024-2025学年第二学期高一年级数学周练
2025.4
一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）
1．已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则________．
2．已知函数,的最小正周期为，则________．
3．已知，，则向量在向量方向上的数量投影为________．
4．已知，则________．
5．若函数，的图象（部分）如图所示，则函数的表达式为________．
6．已知向量、，，，则的取值范围是________．
7．已知函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且．则的最小正周期为________．
8．已知，是方程的两个实数根，则________．
9．函数的图像向左平移个单位后与函数的图像重合，写出所有真命题的序号________．
①的一个周期为; ②的图像关于对称;
③是的一个零点; ④在上严格递减；
10．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为________．
11．已知向量，满足，，，若向量满足，则的取值范围________．
12．设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是________．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．在中，“”是为钝角三角形的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
15．如图，已知为的外接圆，弦，，则的值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
16．在中，为中点，为中点，则以下结论：
①存在，使得；
②存在三角形，使得，则（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、简答题（共5题，10+10+12+15+15=62分）
17．（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和严格递减区间；
（2）若，，求函数的值域．
18．（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
已知，，
（1）若与垂直，求与的夹角．
（2）当向量与的夹角为，若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
19．（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
已知向量，，且．
（1）若，求值；
（2）求与的夹角的最大值．
20．（本题12分，第（1）题6分，第（2）题6分）
如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．
（1）若，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．
21．（本题15分，第（1）题4分，第（2）题5分，第（3）题6分）
已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为；若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为；
（1）已知函数是上的周期为1的2级递减周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是上的级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，当时，求函数的解析式，并求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.①②③; 10.； 11. 12.
11．已知向量，满足，，，若向量满足，则的取值范围________．
【答案】
【解析】由题意可得则，设与c的夹角为，
则
即，即．
由方程有解可得，解得或（舍去）．
又，即，解得
综上可得.故答案为
12．设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，，因为在上单调递增，
所以，解得，又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，当时，令，
由时，，当时，，
此时，，结合图象，所以时，函数与的图象只有
一个交点，综上所述，．
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.B
16．在中，为中点，为中点，则以下结论：
①存在，使得；
②存在三角形，使得，则（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【解析】不妨设
①，
若，则，
即，满足条件的存在，
例如，满足上式，所以①成立；
②为中点，与的交点即为重心，
因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：B．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题12分，第（1）题6分，第（2）题6分）
如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．
（1）若，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．
【答案】（1）养殖区域面积的最大值为． （2）
【解析】（1）时，，
所以，又因为（当且仅当时等号成立），所以，于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
（2）由题意，，
所以
所以的周长
其中．设，则，
所以．所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为．
21．（本题15分，第（1）题4分，第（2）题5分，第（3）题6分）
已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为；若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为；
（1）已知函数是上的周期为1的2级递减周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是上的级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，当时，求函数的解析式，并求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
【答案】（1） （2），
（3）存在，符合题意，其中满足.
【解析】（1）由题意，函数是上的周期为1的2级递减周期函数可知：，即对恒成立，
也即对恒成立，
上单调递减，
，
（2）已知是上级周期函数，
且是上的单调递增函数，当时，，
∴当时，，
当时，
即时，，
∵在上单调递增，∴且
（3）由已知，应有对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
也即对一切实数恒成立，
当时，∵，于是，
故要使恒成立，只有，
①当时，即时，
由函数与的图象存在交点，故方程有解；
此时恒成立，则，；
②当时，类似①中分析可得，方程无解；
综上，存在，符合题意，其中满足.

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