资源简介

小题限时练1
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪B＝(　　)
A．[－1，0) B．(－∞，0)
C．[－1，1] D．(－∞，1]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2＜X＜4)＝m，P(1＜X＜5)＝n，则P(2＜X＜5)的值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　)
A．－1 B．
C．－1 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊几何图形，即441个点．根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．10117万年 B．10120万年
C．10123万年 D．10125万年
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，1)为抛物线E：x2＝2py(p＞0)上一点，若抛物线E在点M处的切线恰好与圆C：x2＋(y－b)2＝2(b＜0)相切，则b＝(　　)
A．－ B．－2
C．－3 D．－4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin (ωx＋φ)的图象，若－是f(x)的一个零点，则φ的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．(0，2)
C．[－1，0) D．(－∞，－2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0 ，则下列等式正确的是(　　)
A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A)
B．P(B|A)＋P(|A)＝1
C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B互斥，则P(A|B)＝P(B|A)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5
B．若a2＋a13＝4，则S14＝28
C．若S15＜0，则S7＞S8
D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an＞0　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱OO′中椭圆长轴长|AB|＝4，短轴长|CD|＝2，F1，F2分别为下底面椭圆的左、右焦点，F′2为上底面椭圆的右焦点，|AA′|＝4, P，E分别为线段BB′，A′B′上的动点，MN为下底面过点F2的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是(　　)
A．当F1F′2∥平面PMN时，P为BB′的中点
B．三棱锥F′2 F2CD外接球的表面积为8π
C.若点Q是下底面椭圆边界上的动点，Q′是点Q在上底面的射影，且Q′F1，Q′F2与下底面所成的角分别为α，β，则tan (α＋β)的最大值为－
D．三棱锥E PMN体积的最大值为8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|＝2.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体(如图)的各面写上0～9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，这样就得到一个产生0～9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
[特色专项训练]
第一部分　小题限时练
小题限时练1
1．解析：选D.因为3x＜1＝30，解得x＜0，所以B＝{x|x＜0}，故A∪B＝{x|x≤1}．
2．解析：选A.P(2＜X＜5)＝P(2＜X≤3)＋P(3＜X＜5)＝P(2＜X＜4)＋P(1＜X＜5)＝.
3．解析：选D.由|a－b|＝，可得a2－2a·b＋b2＝3，①由|a＋b|＝|2a－b|，可得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，代入①得b2＝3，解得|b|＝.
4．解析：选D.圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π()2＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2，即()2＋－1＝0，故＝(负值已舍去).
5．解析：选A.因为1万年用掉3×1015个二维码，所以大约能用万年，设x＝，则lg x＝lg ＝lg 2441－(lg 3＋lg 1015)＝441lg 2－lg 3－15≈441×0.301－0.477－15≈117，即x≈10117.
6．解析：选C.由题意可得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线E的方程为x2＝4y，则y＝x2，可得y′＝x，则y′|x＝2＝×2＝1，所以抛物线在点M(2，1)处的切线斜率为1，则切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.圆C：x2＋(y－b)2＝2(b＜0)的圆心坐标为(0，b)，半径为，又抛物线E在点M处的切线恰好与圆C相切，可得＝，解得b＝－3或b＝1(舍去).
7．解析：选B.依题意，g(x)＝cos (ωx＋ω＋φ)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，则ω＝2kπ－，k∈N*，解得ω＝4k－1，k∈N*，又cos (－ω＋φ)＝0，即cos (－kπ＋＋φ)＝0，k∈N*，则－kπ＋＋φ＝＋mπ，m∈Z，k∈N*，即φ＝(m＋k)π＋，m∈Z，k∈N*，当m＝－1，k＝1时，φ＝.
8．解析：选D.设t＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝2|x－1|－1，此时t≥0，由f(t)＝0得t＝1，即f(x)＝2|x－1|－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f(f(x))在[0，＋∞)上有2个零点；
当x＜0时，若a≥0，f(x)＝－x2＋ax，对称轴为直线x＝，函数y＝f(x)的大致图象如图，
此时f(x)＝－x2＋ax＜0，即t＜0，则f(t)＜0，所以f(t)＝0无解，则t＝f(x)无零点，y＝f(f(x))无零点．综上，此时y＝f(f(x))只有2个零点，不符合题意；
若a＜0，此时f(x)的大致图象如图，
令－t2＋at＝0，解得t＝a＜0(t＝0舍去)，
显然f(x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负解，
所以要使函数y＝f(f(x))恰有5个零点，
需f()＞1，即－＋＞1，
解得a＜－2或a>2(舍去)，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2).
9．解析：选BCD.由P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A错误，B正确；若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；若A，B互斥，则P(AB)＝0，P(A|B)＝＝0，P(B|A)＝＝0，故D正确．
10．解析：选BC.对于A，由a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，可得(a7＋a8)－(a3＋a4)＝8d＝9，所以d＝，又由a1＋a2＝(a3＋a4)－4d＝9－4×＝，所以A为假命题；对于B，由S14＝＝＝28，所以B为真命题；对于C，由S15＝＝15a8＜0，得a8＜0，又因为S8－S7＝a8＜0，则S7＞S8，所以C为真命题；对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d＞0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋1an＋2－anan＋1＝an＋1·2d＞0，所以对任意的n≥2，an＞0，但a1的正负不确定，所以D为假命题．
11．解析：选ACD.对于A，由题设，长轴长|AB|＝|A′B′|＝4，短轴长|CD|＝2，则|OF1|＝|OF2|＝|O′F′2|＝1，
得F2，F′2分别是OB，O′B′的中点，而柱体中ABB′A′为矩形，连接OB′，PF2，
由B′F′2∥OF1，|B′F′2|＝|OF1|＝1，得四边形F1OB′F′2为平行四边形，
所以OB′∥F1F′2，
当F1F′2∥平面PMN时，F1F′2 平面ABB′A′，平面ABB′A′∩平面PMN＝PF2，
则F1F′2∥PF2，故OB′∥PF2，
在△OBB′中，F2是OB的中点，则P为BB′的中点，A正确；
对于B，OF2⊥CD，|CD|＝2，|OF2|＝1，则在△F2CD中，|CF2|＝|DF2|＝2，∠CF2D＝120°，△F2CD的外接圆的半径为r＝×＝2，
又F2F′2∥AA′，所以F2F′2⊥平面F2CD，
则三棱锥F′2 F2CD外接球的半径为R＝＝2，
所以外接球的表面积为4πR2＝32π，B错误；
对于C，令|QF1|＝m，|QF2|＝n，
则m＋n＝4，又|QQ′|＝4，
则tan α＝，tan β＝，tan (α＋β)＝＝＝
＝，
由椭圆性质知1≤m≤3，
则当m＝1或m＝3时，tan (α＋β)取得最大值为－，C正确；
对于D，连接EF2，由VE PMN＝VM PEF2＋VN PEF2，要使三棱锥E PMN的体积最大，
只需△PEF2的面积和M，N到平面PEF2的距离之和都最大，
S△PEF2＝S四边形BF2EB′－S△PBF2－S△PEB′，令EB′＝a，PB＝b，则PB′＝4－b，且a，b∈[0，4]，
S△PEF2＝×4×(1＋a)－×1×b－×a×(4－b)＝2＋，
当a＝b＝4时，有最大值S△PEF2＝8，
在下底面内以O为原点，OD为x轴，OB为y轴，构建如图所示的平面直角坐标系，且B(0，2)，F2(0，1)，则椭圆方程为＋＝1，
由题意设MN所在的直线方程为y＝tx＋1，联立椭圆得(3t2＋4)x2＋6tx－9＝0，Δ＝144(t2＋1)＞0，
xM＋xN＝－，xMxN＝－，
|xM－xN|＝
＝，
令l＝≥1，|xM－xN|＝＝，
由对勾函数性质可知y＝3l＋在[1，＋∞)上单调递增，所以|xM－xN|max＝＝3，
综上，三棱锥E PMN体积的最大值为×8×3＝8，D正确．
12．解析：因为b＝2a sin B，由正弦定理可得sin B＝2sin A sin B，且sin B≠0，所以sin A＝，则S△ABC＝bc sin A＝×4×＝1.
答案：1
13．解析：令|F1F2|＝2c，依题意，c2＝a2＋b2＝(2)2，解得c＝2，
显然|AF2|＝|AF1|＋2a＝2＋2a，
|BF2|＝|BF1|－2a＝2－2a，
|AB|＝|AF2|－|BF2|＝4a，
而∠F1AB＝∠F1BA，于是cos ∠F1AF2＝＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|·cos ∠F1AF2，
得(4)2＝20＋(2＋2a)2－2×2×(2＋2a)×，解得a2＝2，即a＝，
所以双曲线的离心率为＝2.
答案：2
14．解析：甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能，
所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有10×10×10＝1 000种情况，
在0～9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；…；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为－1，－2，－3，－4的等差数列，
所以构成等差数列的可能情况有10＋2×(8＋6＋4＋2)＝50(种)，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为＝.
答案：小题限时练2
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝，若2∈A，则m的取值范围是(　　)
A．－≤m＜ B．－≤m≤
C．m≤－或m＞ D．m≤－或m≥
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知随机事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝，则P(A∪B)＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，若(ka－b)⊥(a＋b)，则k＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知cos (α－)－cos α＝，则sin (2α＋)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是偶函数，当x＜时，f(x)＝ln (1－2x)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　)
A．1 B．2
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，过F1作BF2的垂线，并与椭圆交于点D，且满足BF1∥DF2，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．已知[x]表示不超过x的最大整数，若x＝t为函数f(x)＝(x＜0)的极值点，则f([t])＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．若z1，z2是复数，则下列说法正确的是(　　)
A．＝·
B．若z1z2＝|z1|2，则z1＋z2是实数
C．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1z2＝0
D．方程z－5|z1|＋6＝0在复数集中有6个解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．下列说法中，正确的是(　　)
A．若经验回归方程为＝1－2x，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位
B．已知随机变量ξ～N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.2，则P(－2≤ξ≤2)＝0.6
C．两组样本数据x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4.若已知xi＋yi＝10且xi＜yi(i＝1，2，3，4)，则＋＝10
D．已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…)的经验回归方程为＝3x＋，若样本点(m，3)与(2，n)的残差相等，则3m＋n＝9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．设点A(x1，y1)(x1≠0)是抛物线y2＝4x上任意一点，过点A作抛物线x2＝4y的两条切线，分别交抛物线y2＝4x于点B(x2，y2)和点C(x3，y3)，则下列结论正确的是(　　)
A．(y1＋y2)y1y2＝－8
B．y1＋y2＋y3＝0
C．y1y2y3＝16
D．直线BC与抛物线x2＝4y相切
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．在△ABC中，BC＝AC，∠BAC＝，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，DC＝，则BD长度的最大值是 ________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．平面上一系列点A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，An(xn，yn)，…，其中A1(1，2)，yn＞yn＋1＞0，已知点An在曲线y2＝4x上，圆An∶(x－xn)2＋(y－yn)2＝r与y轴相切，且圆An与圆An＋1外切，则A3的坐标为________；记bn＝ynyn＋1，则数列{bn}的前6项和为 ________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练2
1．解析：选A. 因为2∈A，所以≤0，等价于
解得－≤m＜.
2．解析：选B.因为事件A，B相互独立，
且P(A)＝P(B)＝，
可得P(AB)＝P(A)P(B)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝＋－＝.
3．解析：选A.由题意得(ka－b)·(a＋b)＝0，即ka2＋(k－1)a·b－b2＝0，
因为|a|＝2|b|＝2，向量a，b的夹角为，所以|a|＝2，|b|＝1，a·b＝2×1×＝1，
所以4k＋k－1－1＝0，即k＝.
4．解析：选A.因为cos (α－)－cos α＝sin α－cos α＝sin (α－)＝，所以sin (2α＋)
＝sin
＝cos
＝1－2sin2(α－)＝－.
5．解析：选C.因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，
当x＞时，2－x＜，
所以f(2－x)＝ln [1－2(2－x)]＝ln (2x－3)，
所以f(x)＝ln (2x－3)，
则f′(x)＝，
所以f′(2)＝2，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率为2.
6．解析：选D.由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD.
如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，
于是PE2＋PF2＝EF2，
所以PE⊥PF.
过点P作PG⊥EF，垂足为点G.
易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG 平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝.
7．解析：选C.如图所示，
设点D关于原点对称的点为E，则四边形DF1EF2为平行四边形，
由BF1∥DF2可知，B，F1，E三点共线，且EF2⊥BF2，
设EF1＝x，则EF2＝2a－x，
在Rt△EF2B中，a2＋(2a－x)2＝(x＋a)2，
解得x＝a，
又cos∠EF1F2＝－cos ∠BF1F2＝－，
在△EF1F2中结合余弦定理的推论可得，
－＝，
解得a2＝5c2，则e2＝，
又因为08．解析：选B.由题意可得f′(x)＝，　
令g(x)＝－xex＋2ex－1，
则g(－1)＝－1＞0，g(－2)＝－1＜0，
所以存在－2＜x0＜－1，使得g(x0)＝0，即f′(x0)＝0，
当－2＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x0＜x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以x＝x0为函数f(x)的极值点，
所以[t]＝[x0]＝－2，
所以f([t])＝f(－2)＝＝.
9．解析：选AD.对于A，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，
则由复数共轭的性质知，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，1·2＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，
所以＝1·2，故A正确；
对于B，当z1＝0时满足题设等式，但z1＋z2不一定为实数，故B错误；
对于C，|z1－z2|＝|z1＋z2|，即|a－c＋(b－d)i|＝|a＋c＋(b＋d)i|，
整理得(a－c)2＋(b－d)2＝(a＋c)2＋(b＋d)2，故－2ac－2bd＝2ac＋2bd，
整理得ac＋bd＝0，与z1z2＝0不等价，故C错误；
对于D，z－5|z1|＋6＝0可化为(a＋bi)2－5＋6＝0，
即(a2－b2＋2abi)－5＋6＝0，所以
当a＝0时，|b|2＋5|b|－6＝0，解得b＝±1；
当b＝0时，|a|2－5|a|＋6＝0，解得a＝±2或a＝±3，
所以原方程在复数集中有6个解，故D正确．
10．解析：选BCD.对于A，因为经验回归方程为＝1－2x，所以x增加1个单位时，平均减少2个单位，故A错误；
对于B，因为随机变量ξ～N(0，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又因为P(ξ＞2)＝0.2，
所以P(ξ＜－2)＝0.2，
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝0.6，故B正确；
对于C，因为xi＋yi＝10，＝i，
＝i，
所以＋＝i＋i
＝(i＋i)＝10，
即＋＝10，故C正确；
对于D，因为经验回归方程为＝3x＋，且样本点(m，3)与(2，n)的残差相等，
则3－(3m＋)＝n－(6＋)，化简得3m＋n＝9，故D正确．
11．解析：选BCD.对于A，因为直线AB的斜率为k＝＝ eq \f(y1－y2,\f(y,4)－\f(y,4)) ＝，
所以直线AB的方程为y－y1＝·(x－x1)，
即(y1＋y2)y－y－y1y2＝4x－4x1，
因为y＝4x1，所以直线AB的方程为(y1＋y2)y－y1y2＝4x，
联立x2＝4y，消y得，(y1＋y2)x2－16x－4y1y2＝0，
因为直线AB与抛物线x2＝4y相切，所以Δ＝162＋16(y1＋y2)y1y2＝0，
所以(y1＋y2)y1y2＝－16，所以A错误；
对于B，同理可得(y1＋y3)y1y3＝－16，所以(y1＋y2)y1y2＝(y1＋y3)y1y3，
因为y1≠0，所以(y1＋y2)y2＝(y1＋y3)y3，
整理得(y2－y3)(y1＋y2＋y3)＝0，
因为y2≠y3，所以y1＋y2＋y3＝0，所以B正确；
对于C，由y1＋y2＋y3＝0可得y1＋y2＝－y3，代入(y1＋y2)y1y2＝－16得y1y2y3＝16，所以C正确；
对于D，将直线BC的方程与抛物线x2＝4y联立，同理可得Δ＝162＋16(y2＋y3)y2y3＝162－16y1y2y3＝0，所以直线BC与抛物线x2＝4y相切，所以D正确．
12．解析：数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则a2＝a4－2＝4－2＝2，
所以数列{an}的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列，
所以数列{an}的前20项的和为a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝10×1＋×2＋10×2＋×2＝210.
答案：210
13．解析：如图，在△ABC中，由正弦定理＝可得，sin ∠ABC＝，因为∠BAC＝，所以∠ABC＝，∠ACB＝.
设AC＝x，则BC＝x，在△ADC中，设∠ADC＝θ，由正弦定理＝得，sin ∠ACD＝，
由余弦定理可得，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos θ，即x2＝4－2cos θ.
在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝3x2＋3－6x cos (＋∠ACD)＝3x2＋3＋6x sin ∠ACD＝3x2＋3＋6x·
＝3(4－2cos θ)＋3＋6sin θ
＝6sin θ－6cos θ＋15
＝12sin (θ－)＋15，
因为0＜θ＜π，所以－＜θ－＜，则当θ－＝，即θ＝时，BD＝27，此时BDmax＝3.
答案：3
14．解析：因为圆An与y轴相切，所以圆An的半径为xn，又圆An与圆An＋1外切，所以＝xn＋xn＋1.
两边平方并整理得(yn－yn＋1)2＝4xnxn＋1，结合4xnxn＋1＝4× eq \f(yy,4×4) ，yn＞yn＋1＞0，
得ynyn＋1＝2(yn－yn＋1)，yn＋1＝，
即y2＝＝1，y3＝，以此类推得y7＝，
因为y3＝，所以x3＝，
故A3(，).
数列{bn}的前6项和为2[(y1－y2)＋(y2－y3)＋(y3－y4)＋(y4－y5)＋(y5－y6)＋(y6－y7)]＝2(y1－y7)＝.
答案：(，)　小题限时练3
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．若复数z满足z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知a，b∈R，且a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“ln a·ln b＞0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．为了解高中学生每天的体育活动时间，某市教育部门随机抽取1 000名高中学生进行调查，把每天进行体育活动的时间按照时长(单位：min)分成6组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90].然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可估计这1 000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为(　　)
A．47.5 B．45.5
C．43.5 D．42.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知a＝ln ，b＝cos ，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，6) B．(3，5)
C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－·sin (2ωx－)(ω∈R，且ω＞0，x∈R)，若函数f(x)在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是(　　)
A．P(R)＝P(R1)P(R2)
B．P(G)＝P(G1)＋P(G2)
C．P(R2|R1)＝
D．P(G2|G1)＋P(G1|G2)＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．设O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在C上且满足|OP|＝a，cos ∠F1PF2＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±y＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知平面向量a＝(2，3)，b＝(4，λ)，则(　　)
A．若a∥b，则λ＝6
B．若a⊥b，则λ＝
C．若b在a上的投影向量为(，)，则λ＝　
D．若a·(a＋b)＝24，则λ＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知函数f(x)＝x3＋x＋1，则(　　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有一个零点
C．点(0，1)是y＝f(x)图象的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．记函数fn(x)的导函数为fn＋1(x)，已知f1(x)＝x2ex，若数列{an}，{bn}满足fn(x)＝(x2＋anx＋bn)ex，则(　　)
A．{an}为等差数列 B．{bn}为等比数列
C．＝ D．8bn≤2an
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知集合A＝{x|＝a，a，b∈R}，B＝{b，}，A B，则a的取值集合为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．在△ABC中，若BC＝2，tan A＝－，cos B＝，则AC＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2，且AB⊥BC.记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β＝2α＝60°，则当三棱锥P ABC的体积最小时，三棱锥P ABC外接球的表面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练3
1．解析：选A.因为复数z满足z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝＝1＋i.
2．解析：选D.若a＝e，b＝1，符合ab＞1，但此时ln a·ln b＝0，不满足充分性；若a＝b＝e－1，符合ln a·ln b＞0，但此时ab<1，不满足必要性，故“ab>1”是“ln a·ln b>0”的既不充分也不必要条件．
3．解析：选A.第25百分位数设为x，而0.1＜0.25＜0.1＋0.2，则所求百分位数在第二组，则0.1＋0.02(x－40)＝0.25，解得x＝47.5.
4．解析：选B.由ln (1＋x)≤x，当且仅当x＝0时等号成立，知a＜c，因为0＜＜＜，所以cos ＞cos ＝＞，所以c＜b，所以b>c>a.
5．解析：选C.x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0，即(x＋)2＋(y＋)2＝a2－2a＋，a2－2a＋＞0，解得a＜3或a＞5，且其圆心坐标为(－，－)，若该圆与x轴没有交点，则＞，解得a∈(2，3)∪(5，6).
6．解析：选D.f(x)＝sin ωx cos ωx－sin (2ωx－)　
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin (2ωx＋)，x∈(0，2π)，
2ωx＋∈(，4ωπ＋)，
函数f(x)在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，故＜4ωπ＋≤，
解得ω∈.
7．解析：选C.对于A，因为R＝R1∩R2，R1，R2不相互独立，所以P(R)≠P(R1)P(R2)(或P(R)＝P(R1R2)＝，
P(R2)＝P(R1R2)＋P(G1R2)＝，
P(R1)＝，
所以P(R)≠P(R1)P(R2))，故A错误；
对于B，因为P(G1)＝，
P(G2)＝P(R1G2)＋P(G1G2)＝，
P(G)＝P(G1G2)＝ eq \f(A,A) ＝，
所以P(G)≠P(G1)＋P(G2)，故B错误；
对于C，由条件概率的公式，可得P(R2|R1)＝＝ eq \f(\f(A,A),\f(4,7)) ＝(或P(R2|R1)＝＝)，故C正确；
对于D，由P(G2|G1)＝＝＝，
P(G1|G2)＝＝＝，则P(G2|G1)＋P(G1|G2)＝，故D错误．
8．解析：选B.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a，①
在△F1PF2中，由余弦定理得，4c2＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2
＝m2＋n2－mn，②
由|OP|＝a，O为F1F2的中点，延长PO至Q，使|OQ|＝|OP|，
所以四边形PF1QF2为平行四边形，
且|PQ|＝2×a＝3a，
在△PF1Q中，由余弦定理得，9a2＝m2＋n2－2mn·cos ∠PF1Q，
因为∠F1PF2＋∠PF1Q＝π，
则cos ∠F1PF2＋cos ∠PF1Q＝0，
所以m2＋n2＝，③
由①③得mn＝a2＋c2，④
把③④代入②得4c2＝－·(a2＋c2)，
化简得2c2＝3a2，所以2a2＋2b2＝3a2，所以a＝b，
所以渐近线方程为x±y＝0.
9．解析：选ACD.对于A，若a∥b，则有2λ－3×4＝0，解得λ＝6，故A正确；对于B，若a⊥b，则有2×4＋3λ＝0，解得λ＝－，故B错误；对于C，若b在a上的投影向量为(，)，则有·＝·＝(，)，化简得8＋3λ＝9，即λ＝，故C正确；对于D，若a·(a＋b)＝24，则有2×(2＋4)＋3×(3＋λ)＝24，解得λ＝1，故D正确．
10．解析：选BC.对于A，f′(x)＝3x2＋1，则f′(x)＞0恒成立，故f(x)单调递增，所以f(x)不存在两个极值点，故A错误；对于B，f(－1)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，又f(x)单调递增，故f(x)有一个零点，故B正确；对于C，f(－x)＋f(x)＝2，f(0)＝1，故点(0，1)是y＝f(x)图象的对称中心，故C正确；对于D，令f′(x)＝3x2＋1＝2，得x＝±，当x＝时，f()＝＋1，则当切线斜率为2时，切点为(，＋1)，则切线方程为y－(＋1)＝2(x－)，与y＝2x不相等，同理，当x＝－时，切线方程也不为y＝2x，故D错误．
11．解析：选ACD.对于A，若f1(x)＝x2ex，则f2(x)＝(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，
fn(x)＝(x2＋anx＋bn)ex，fn＋1(x)＝(x2＋2x＋anx＋an＋bn)ex＝(x2＋an＋1x＋bn＋1)ex，
故an＋1－an＝2，易知a1＝0，b1＝0，a2＝2，b2＝0，经检验a2－a1＝2，
故{an}是以0为首项，2为公差的等差数列，故A正确；
对于B，b1＝0，又因为等比数列中不能有0，则{bn}不可能为等比数列，故B错误；
对于C，易得an＝2(n－1)＝2n－2，bn＋1＝an＋bn，故bn＋1－bn＝2n－2，
则bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝0＋2＋…＋2n－4＝，
则bn＝(n－1)(n－2)，
故＝＋…＋＝1－＋…＋－＝，故C正确；
对于D，令Tn＝2an－8bn＝4n－1－8(n－1)(n－2)，且T1＞0，T2＞0，T3＝0，
当n≥4时，令Cn＝Tn＋1－Tn＝3×4n－1－16(n－1)，Cn＋1－Cn＝9×4n－1－16≥9×43－16＞0，
故Cn≥3×43－16×3＞0，
故Tn＋1－Tn＞0，
即{Tn}此时为递增数列，故Tn≥T4＞0.
综上，Tn≥0恒成立，故8bn≤2an成立，故D正确．
12．解析：由题意可知，x≠0，b≠0，b≠±1，
因为A B，所以当A＝ 时，a＝0；
当A≠ 时，则x＝∈B，
则＝b或＝，解得a＝1或a＝b2，
综上得，a的取值集合是{0，1，b2}．
答案：{0，1，b2}
13．解析：由已知tan A＝－，cos B＝，则?＝－，
sin2A＋cos2A＝1，
sin2B＋cos2B＝1，?
又A，B∈(0，π)，
所以sin A＝，sin B＝，
又根据正弦定理＝，
得AC＝·BC＝.
答案：
14．解析：设点P在平面ABC内的射影为P′，由题意得，β＝60°，α＝30°，P′P＝P′C，P′P＝P′A，于是3P′C＝P′A，
在底面ABC中，以AC为x轴，线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
令P′(x，y)，由AB＝BC＝2，AB⊥BC，得A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，
则3＝，
化简得(x－)2＋y2＝，
因此点P′在以(，0)为圆心，为半径的圆上，当P′C最小时，P′P最小，
即三棱锥P ABC的体积最小，
此时P′(1，0)，P′Cmin＝－(－2)＝1，P′Pmin＝，P′B＝，
因此点P在底面ABC上的射影P′在AC上，且∠APC＝90°，又∠ABC＝90°，
显然AC的中点到点B，P，A，C的距离相等，此时三棱锥P ABC外接球的球心为AC的中点，外接球的半径R＝AC＝2，表面积为4π×22＝16π.
答案：16π小题限时练4
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，则( RA)∩B＝(　　)
A．(3，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－1，3) D．(－1，1]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是减函数，若m＝a2，n＝2a，p＝loga2，则m，n，p的大小关系是(　　)
A．m＞n＞p B．n＞m＞p
C．n＞p＞m D．p＞n＞m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知|a|＝2，b＝(1，)，|a＋2b|＝2，则向量a，b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号①至⑤号的无人机颜色必须相同，编号⑦，⑧号的无人机颜色必须相同，编号⑥号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，灯光组合种数为(　　)
A．9 B．12
C．15 D．18
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，若＋＋＋…＋＜1 000，则满足条件的最大整数n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．若函数f(x)＝6sin (3x＋φ)(－π＜φ＜2π)在上的最大值小于3，则φ的取值范围是(　　)
A．(－，)∪(π，)
B．(－π，－)∪(，2π)
C．(－，－)∪(，)
D．(－π，－)∪(，)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝4－f(x)，且f(x＋3)－2为奇函数，f(4)＝5，则(k)＝(　　)
A．4 047 B．4 048
C．4 049 D．4 050
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知z1，z2，z3是方程(z－i)(z2－2z＋4)＝0的三个互不相等的复数根，则(　　)
A．z1可能为纯虚数
B．z1，z2，z3的虚部之积为－3
C．|z1|＋|z2|＋|z3|＝6
D．z1，z2，z3的实部之和为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，则(　　)
A．p＝2
B．抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝2
D．若Q为x轴上一点且PQ⊥x轴，则△FPQ的面积为4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．若关于x的不等式ex－2＋x≥2ax2－x ln x在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的值可以是(　　)
A． B．
C． D．2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知随机事件A，B，若P(A)＝，P(B|A)＝，P(|B)＝，则P(B)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．已知四棱锥S ABCD的底面ABCD为矩形，其中AD＝2AB＝2AS＝4，点SA⊥平面ABCD，点M，N分别在线段AB，DS上(不含端点位置)，其中＝，则四面体CBMN体积的最大值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练4
1．解析：选D.由(x＋1)(x－3)＜0，得－1＜x＜3，所以B＝{x|－1＜x＜3}，又A＝{x|x＞1}，所以 RA＝{x|x≤1}，故( RA)∩B＝{x|－1＜x≤1}．
2．解析：选A.由题意得，1·(－a)－2a(3a－1)＝0，且1·(－1)－(3a－1)·(－1)≠0，解得a＝0或a＝，故“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行”的充分不必要条件．
3．解析：选B.因为指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是减函数，所以0＜a＜1，所以0＜m＝a2＜1，n＝2a＞20＝1，p＝loga2＜loga1＝0，所以n＞m＞p.
4．解析：选D.由b＝(1，)，得|b|＝，由|a＋2b|＝2，得(a＋2b)2＝4，即a2＋4b2＋4a·b＝4，所以a·b＝－3，所以cos 〈a，b〉＝＝－，又0≤〈a，b〉≤π，所以向量a，b的夹角为.
5．解析：选B.先考虑⑥号，有3种颜色可选．则剩下的①至⑤号有2种颜色可选，⑦，⑧号也有2种颜色可选，所以一共有3×2×2＝12种灯光组合．
6．解析：选B.由题意得＝－1，
令bn＝，则bn＋1－1＝2(bn－1)，
又b1－1＝－1＝1，
所以{bn－1}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以bn－1＝2n－1，bn＝2n－1＋1，
所以＋＋…＋＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，
由2n＋n－1＜1 000，解得n≤9.
7．解析：选D.由题意知－π＜φ＜2π，x∈，则3x＋φ∈ ，且＋φ＜，
函数f(x)＝6sin (3x＋φ)(－π＜φ＜2π)在 上的最大值小于3，
即此时6sin (3x＋φ)＜3，
所以sin (3x＋φ)＜，
在(－π，)内，y＝sin x的函数值对应的x的值为，，，
①当－π＜φ＜2π，且＋φ＜时，满足题意，此时－π＜φ＜－；
②当＜φ＜2π，且＋φ＜时，满足题意，此时＜φ＜.
综合上述，可得φ的取值范围是(－π，－)∪(，).
8．解析：选C.由f(x＋2)＝4－f(x)可得f(x＋4)＝4－f(x＋2)＝4－[4－f(x)]＝f(x)，
故f(x)的一个周期为4，
由f(x＋3)－2为奇函数可得f(0＋3)－2＝0，得f(3)＝2，
对于f(x＋2)＝4－f(x)，令x＝1，得f(1)＋f(3)＝4，则f(1)＝2，
令x＝2，得f(2)＋f(4)＝4，又f(4)＝5，
所以f(2)＝－1，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，
故(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 026)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝506×8＋2＋(－1)＝4 049.
9．解析：选ABD.因为(z－i)(z2－2z＋4)＝0，其三个不同的复数根为i，1－i，1＋i，当z1＝i时，此时z1为纯虚数，故A正确；因为三个根的虚部分别为1，－，，三个虚部之积为－3，故B正确；|z1|＋|z2|＋|z3|＝＋＋＝5，故C错误；因为三个根的实部分别为0，1，1，则三个实部之和为2，故D正确．
10．解析：选AD.抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为直线x＝－，设点P在第一象限，过点P向准线作垂线，垂足为M，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5＋＝6，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A正确，B错误；
将x＝5代入抛物线方程，解得y0＝±2，故C错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2)，即|PQ|＝2，所以S△FPQ＝×2×(5－1)＝4，故D正确．
11．解析：选AB.依题意，＋1－2ax＋ln x≥0在(0，＋∞)上恒成立，当a≤时，＋1－2ax＋ln x≥＋1－x＋ln x＝ex－2－ln x＋1－x＋ln x，
令h(x)＝ex－2－ln x＋1－x＋ln x，
令t＝x－2－ln x，则h(t)＝et－t－1，h′(t)＝et－1，
故当t∈(－∞，0)时，h′(t)＜0，h(t)单调递减，当t∈(0，＋∞)时，h′(t)＞0，h(t)单调递增，故h(t)≥h(0)＝0，故h(x)≥0，不等式成立；
当a＞时，令u(x)＝x－2－ln x，因为u(1)＝－1＜0，u(4)＝2－2ln 2＞0，故u(x)在(1，4)内必有零点，设为x0，则x0－2＝ln x0，
则ex0－2＝x0，故＋1－2ax0＋ln x0＝(1－2a)x0＜0，不满足题意，舍去．
综上所述，a≤.
12．解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±.
答案：(答案不唯一)
13．解析：由题意可得，
P(B|A)＝＝，
且P(A)＝，则P(AB)＝，
又因为P(|B)＝，
则P(A|B)＝1－P(|B)＝，
且P(A|B)＝，
所以P(B)＝＝＝.
答案：
14．解析：在AD上取点G，使得NG∥SA，
由＝，
设AM＝xAB，DN＝xDS，其中0＜x＜1，
因为AB＝AS＝2，AD＝BC＝4，
且SA⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，所以SA⊥AD，
可得DS＝＝2，
且AM＝2x，DN＝2x，BM＝2－2x，
因为NG∥SA，且SA⊥平面ABCD，
所以NG⊥平面ABCD，
在△ASD中，由＝，
可得NG＝2x，
则△BCM的面积为BM·BC＝4－4x，
故VC BMN＝VN BCM＝(1－x)x
＝(－x2＋x)
＝－(x－)2＋≤，
当且仅当x＝时，等号成立，所以四面体CBMN体积的最大值为.
答案：小题限时练5
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合M＝{x|x＝k＋，k∈Z}，N＝{x| x＝＋1，k∈Z}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，则“x＞－9”是“a和b的夹角是锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋…＋a9x9，则a0＋i＝(　　)
A．－2 B．－19
C．15 D．17
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知sin A＋cos B＝，cos A＋sin B＝1，则sin (A＋B)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝－1，且满足Sn－＋2＝an(n≥2)，则S6＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e1，双曲线－＝1的离心率为e2，若e－4e＝2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．若曲线y＝有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．＋的最小值为2
C． a＞b，m＞0，＜
D．＋的最小值为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的两条相邻对称轴之间的距离为，且f(0)＝，则(　　)
A．φ＝
B．点(－，0) 是函数f(x)图象的对称中心
C．函数f(x)在(，π)上单调递增
D．直线x＝是函数f(x)图象的对称轴
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，M分别为线段AD1，A1C的中点，点N在线段B1C1上，且B1N＝λB1C1(λ∈[0，1])，则(　　)
A．平面EMN截正方体得到的截面多边形是矩形
B．平面AD1M⊥平面AB1C
C．存在λ，使得平面EMN⊥平面AB1C
D.当λ＝时，平面EMN截正方体得到的截面多边形的面积为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1·z2＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为x3＋y3－3axy＝0，该曲线的渐近线方程为x＋y＋a＝0.若a＝2，直线x－y＝0与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为________．(写出一个即可)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练5
1．解析：选A.M＝{x|x＝k＋，k∈∈Z}，N＝{x|x＝＋1，k∈∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N.
2．解析：选B.a和b的夹角是锐角，则a·b＞0且a和b不同向共线，故2x＋18＞0且2×6－3x≠0，解得x＞－9且x≠4，由x＞－9推不出x＞－9且x≠4，故充分性不成立，由x＞－9且x≠4推得出x＞－9，故必要性成立，所以“x＞－9”是“a和b的夹角是锐角”的必要不充分条件．
3．解析：选D.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，又(1－2x)9展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr(0≤r≤9且r∈N)，所以a1＝(－2)1×C＝－18，所以a0＋i＝－1－(－18)＝17.
4．解析：选A.因为sin A＋cos B＝，cos A＋sin B＝1，
所以(sin A＋cos B)2＝，(cos A＋sin B)2＝1，
即sin2A＋2sinA cos B＋cos2B＝，
cos2A＋2cosA sin B＋sin2B＝1，
两式相加可得2＋2(sinA cos B＋cos A sin B)＝＋1，
所以sin (A＋B)＝－.
5．解析：选D.由Sn－＋2＝an(n≥2)可得Sn－＋2＝Sn－Sn－1，即Sn＝，
由S1＝a1＝－1可得S2＝＝1，
S3＝＝，S4＝＝，
S5＝＝，S6＝＝.
6．解析：选A.设双曲线的渐近线方程为y＝±x，
记椭圆和双曲线的半焦距分别为c1，c2，因为e－4e＝2，
则()2－4×()2＝ eq \f(c,b2) －4× eq \f(c,a2)
＝－4×
＝＋1－4(1－)＝2，
令＝k(0＜k＜1)，
则＋1－4(1－k)＝2，
解得k＝或k＝1(舍去)，故＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7．解析：选C.设“从甲袋中取出2个球，其中白球的个数为i个”为事件Ai(i＝0，1，2)，“从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个”为事件B，由题意，
①P(A0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(B|A0)＝ eq \f(CC,C) ＝；
②P(A1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(B|A1)＝ eq \f(CC,C) ＝；
③P(A2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(B|A2)＝ eq \f(CC,C) ＝.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为P(A2|B)＝
＝＝.
8．解析：选A.设y＝f(x)＝，
则f′(x)＝，
设切点为(x0，)，
则f′(x0)＝，
所以切线方程为y－＝(x－x0)，
又该切线过原点，所以0－＝(0－x0)，
整理得ax＋x0＋1＝0，
因为曲线y＝f(x)有且仅有一条过坐标原点的切线，所以该方程只有一个解，故Δ＝1－4a＝0，解得a＝.
9．解析：选AD. 对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；
对于B，当>0时，＋≥2，当<0时，＋≤－2，因为与0的大小关系不确定，故B错误；
对于C，若a＞b，m＞0，则－＝＝，而m(b－a)＜0，但是a(a＋m)与0的大小关系不确定，故C错误；
对于D，＋≥2，当且仅当＝，
即sinx＝0时取等号，故D正确．
10．解析：选AB.对于A，因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的两条相邻对称轴之间的距离为.
所以T＝·＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin (2x＋φ).
因为f(0)＝，所以f(0)＝sin φ＝，又|φ|＜，则φ＝，
所以f(x)＝sin (2x＋)，故A正确；
对于B，由2x＋＝kπ(k∈Z)，
可得函数f(x)图象的对称中心的横坐标为x＝－(k∈Z).
当k＝0时，对称中心为(－，0)，故B正确；
对于C，当＜x＜π时，＜2x＋＜2π＋，所以f(x)在(，π)上不单调，故C错误；
对于D，由2x＋＝kπ＋(k∈Z).
可得对称轴为x＝＋(k∈Z)，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，
(或把x＝代入得f()＝sin ≠±1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴)故D错误．
11．解析：选ABC.如图，对于A，连接A1D，BC1，B1C，则A1D∩AD1＝E，
由正方体的性质可得点E是侧面ADD1A1的中心，点M是正方体的中心，
所以连接EM并延长交侧面BCC1B1于点P，则点P是侧面BCC1B1的中心，且PE∥AB.
设平面EPN交A1D1于点F，交AD于点G，交BC于点H，连接NF，GH，FG，HN，
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以GH綉NF，
所以截面多边形NFGH是平行四边形．
因为PE∥AB，AB 平面ABCD，PE 平面ABCD，所以PE∥平面ABCD，
又GH 平面ABCD，所以PE∥GH，所以AB∥GH，易知AB⊥HN，
所以GH⊥HN，所以平面EMN截正方体得到的截面多边形NFGH是矩形，故A正确；
对于B，因为点M是正方体的中心，所以D1，M，B三点共线，所以平面AD1M即为平面ABC1D1，
因为BC1⊥B1C，AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1D1，
所以B1C⊥平面ABC1D1，
又B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面ABC1D1，即平面AB1C⊥平面AD1M，故B正确；
对于C，当λ＝1时，点N与点C1重合，平面EMN即为平面ABC1D1，
由B选项可知平面AB1C⊥平面ABC1D1，即平面AB1C⊥平面EMN，故C正确；
对于D，当λ＝时，C1N＝BH＝BC＝，又GH＝2，NH＝＝，所以截面多边形NFGH的面积为2×＝，故D错误．
12．解析：由题意可知，z1＝－2－i，z2＝1＋i，则z1·z2＝(－2－i)(1＋i)＝－2－i－2i－i2＝－2＋1－3i＝－1－3i.
答案：－1－3i
13．解析：设母线长为l，甲圆锥底面圆的半径为r1，高为h1，乙圆锥底面圆的半径为r2，高为h2，
则＝＝＝2，所以r1＝2r2，
又＋＝2π，则＝1，
所以r1＝l，r2＝l，
所以甲圆锥的高h1＝＝l，
乙圆锥的高h2＝＝l，
所以＝ eq \f(\f(1,3)πrh1,\f(1,3)πrh2) ＝＝.
答案：
14．解析：联立y＝x与x3＋y3－6xy＝0，得2y3－6y2＝0，解得y＝0或y＝3.
结合题意可得A(3，3)，渐近线的方程为x＋y＋2＝0.
从点A向此渐近线作垂线，垂足为B，
设B(m，n)，则
解得即B(－1，－1)，
所以|AB|＝＝4，AB的中点坐标为(1，1)，
所以以AB为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝8(答案不唯一)小题限时练6
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知复数z＝－i(1＋2i)，则＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln (x－1)}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2} B．{－1，0，1}
C．{－2，－1，0，1} D．{－2，－1，0}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
B．若m⊥β，m⊥α，n∥α，则n∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．42 B．48
C．96 D．124
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．函数f(x)＝的大致图象是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0，x∈R)在区间(，)内没有零点，则f(x)周期的最小值是(　　)
A．12π B．2π
C． D．4π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0 ，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．已知O为坐标原点，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是线段AB上的三等分点，则P点的坐标可能为(　　)
A．(，1) B．(，5)
C．(，－1) D．(－，7)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立
D．丙与丁不相互独立
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知函数f(x)＝3x－2x，则(　　)
A．f(x)是R上的增函数
B．函数h(x)＝f(x)＋x有且仅有一个零点
C．函数f(x)的最小值为－1
D．f(x)存在唯一一个极值点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，＝5，＝－4，其经验回归方程＝－3.2x＋，则在样本点(3，2.9)处的残差为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，c－a＝3，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，AB边上的高为CF，BC边上的高为AE，BD∩CF＝P，AE∩CF＝R，BD∩AE＝Q，则∠PQR＝________，PQ＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练6
1．解析：选B.由题意z＝－i(1＋2i)＝－i＋2＝2－i，所以＝2＋i.
2．解析：选C.由题意得A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x>1}，所以 RB＝{x|x≤1}，所以A∩( RB)＝{－2，－1，0，1}．
3．解析：选D.对于A，若α⊥β，m∥α，则m∥β或m β或m与β相交，所以A不正确；对于B，因为m⊥β，m⊥α，所以α∥β，n∥α，所以n∥β或n β，所以B不正确；对于C，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，所以C不正确；对于D，若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则n与两面的交线m平行，即m∥n，故D正确．
4．解析：选A. 因为原定节目顺序已确定，有6个空，插入第一个新节目有6种插法，这时6个节目产生7个空，插入第二个节目有7种插法，所以共6×7＝42(种).
5．解析：选C.方法一：根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以离心率e＝＝2.
方法二：根据双曲线的定义，得
2a＝|－
|＝|6－10|＝4，即a＝2，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2.
6．解析：选A.函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，B，D不满足题意；当x∈(0，)时，cos 2x>0，ln (x2＋1)>0，则f(x)>0，C不满足题意，A满足题意．
7．解析：选C.f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝sin (ωx－)，
令f(x)＝0得ωx－＝kπ，k∈Z，
所以x＝，k∈Z，
因为f(x)在区间(，)内没有零点，
只需≤且≥，k∈Z，
解得2k＋≤ω≤k＋，k≤0且k∈Z，
令k＝0得≤ω≤，k＝－1得－≤ω≤，
因为ω>0，所以ω的取值范围∪，
所以f(x)周期的最小值是＝.
8．解析：选C.由题意知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称．当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝，故结合曲线对称性，作出曲线C如图所示，
而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，
可知d＝取最小值和最大值时，(a，b)位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，
当x>0，y>0时，曲线的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝，
此时d的最小值为－＝，
当x<0，y<0时，曲线的方程为x2＋y2＋x＋y＝0，
即(x＋)2＋(y＋)2＝，
此时d的最大值为＋＝，
故d＝的最小值与最大值之和为＋＝3，
所以|a＋b－3|的最小值与最大值之和为3×＝6.
9．解析：选AC.因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝－＝(4，－6)，
又因为点P是线段AB的三等分点，
则＝＝(，－4)或＝＝(，－2)，
所以＝＋＝(，－1)或＝＋＝(，1)，
即P点的坐标为(，－1)或(，1).
10．解析：选BCD. 两次取出的球的数字之和为8，有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种情况，所以P(丙)＝＝；两次取出的球的数字之和为7，有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6种情况，所以P(丁)＝＝；P(甲)＝P(乙)＝.
对于A，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，故A错误；
对于B，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁) ，故甲与丁相互独立，故B正确；
对于C，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙) ，故乙与丙不相互独立，故C正确；
对于D，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，故D正确．
11．解析：选BD.对于A，因为f(x)＝3x－2x，则f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2＝2x，
当x＝log时，则()xln 3＝ln 3＝ln ， 可得()x ln 3－ln 2＝ln －ln 2<0，
即存在f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2<0，所以f(x)＝3x－2x不是R上的增函数，故A错误；
对于B，因为h(x)＝f(x)＋x，
当x＝0时，h(0)＝f(0)＋0＝0，可知x＝0是h(x)的零点；
当x>0时，h(x)＝f(x)＋x＝3x－2x＋x>0，可知h(x)在(0，＋∞)内无零点；
当x<0时，0<()x<1，
则f(x)＝2x<0，
可得h(x)＝f(x)＋x<0，可知h(x)在(－∞，0)内无零点，
综上所述，函数h(x)＝f(x)＋x有且仅有一个零点，故B正确；
对于C，当x>0时，f(x)＝3x－2x>0；
当x＝0时，f(0)＝30－20＝0；
当x<0时，则0<3x<1，0<2x<1，可得f(x)＝3x－2x>－2x>－1，
综上所述，f(x)>－1，所以－1不是函数f(x)的最小值，故C错误；
对于D，因为f′(x)＝3x ln 3－2x ln 2
＝2x，2x>0，
所以f′(x)的符号由()x ln 3－ln 2决定，
显然y＝()x ln 3－ln 2是R上的增函数，
又因为当x＝0时，()x ln 3－ln 2＝ln 3－ln 2>0；
当x＝log时，()x ln 3－ln 2＝ln －ln 2<0，
所以 x0∈(log，0)，使f′(x)＝0，
所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)有唯一极小值点，无极大值点，故D正确.
12．解析：将＝5，＝－4代入＝－3.2x＋，得－4＝－3.2×5＋，解得＝12，
所以＝－3.2x＋12，
故当x＝3时，＝－3.2×3＋12＝2.4，
所以残差为2.9－2.4＝0.5.
答案：0.5
13．解析：设正三棱柱的底面棱长为a，高为h，内切球的半径为R，
依题意4πR2＝4π，解得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2R＝2，
正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为×a＝a，
由题意R＝a＝1，所以a＝2，
所以正三棱柱的体积V＝×a×a×h＝×2××2×2＝6.
答案：6
14．解析：在△ABC中，可知∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝75°，
因为∠ABC＝60°，且BD为∠ABC的平分线，可知∠ABD＝∠CBD＝30°，
则∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝105°，
在Rt△ACE中，可得∠CAE＝180°－∠ACB－∠AEC＝15°，
在△ADQ中，可得∠AQD＝180°－∠ADB－∠CAE＝60°，
所以∠PQR＝∠AQD＝60°.
因为sin 105°＝sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，
sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，
在△ABC中，由正弦定理＝可得c＝＝a，
则c－a＝a＝3，解得a＝3＋3，
由正弦定理＝可得b＝＝a，
且BD为∠ABC的平分线，
则＝＝，
又AD＋DC＝a，可得AD＝a，
在△ADQ中，由正弦定理＝可得QD＝＝，
在△BCD中，可知∠BDC＝∠BCD＝75°，则BD＝BC＝3＋3，在Rt△BCF中，可知BF＝BC＝，
在Rt△PBF中，可知BP＝＝3＋，
所以PQ＝BD－BP－QD＝.
答案：60°　小题限时练7
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．复数的虚部是(　　)
A．i B．1
C．－2i D．－2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知集合M＝{x|log2(x－1)≤0}，N＝{y|y＝x＋，x>0}，则M∩N＝(　　)
A． B．(1，2]
C．{2} D．[2，3]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sin ，cos )，则cos (α＋)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．函数f(x)＝的图象大致是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN(　　)
A．有且仅有1条 B．有2条
C．有3条 D．有无数条
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知不透明的布袋里装有编号不同且其余完全相同的红色、白色、黑色、蓝色的球各两个，从中随机选四个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两个球不同色的概率为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在[0，2π]上仅有4个零点，直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，则f()＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．设A，B，C，D为抛物线x2＝4y上不同的四点，点A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l，设点D到直线AB和直线AC的距离分别为d1，d2，且d1＋d2＝AD，则sin ∠CAB＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．若b>c>1，0A．balogca
C．cbaclogba
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量．已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则(　　)
A．该组数据的第80百分位数是20
B．该组数据的平均数大于18
C．该组数据中最大数字为20
D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则(　　)
A.C1F∥AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面EAC的距离为
D．过点E作平面α与平面EAC垂直，当α与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的取值范围为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，t)，且(2a－b)⊥a，则实数t＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知函数f(x)＝e2x－1－e1－2x＋sin (x－)＋1，则不等式f(2x＋1)＋f(2－x)≥2的解集为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后(n∈N*)，记球在甲手中的概率为pn，则p3＝________；pn＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练7
1．解析：选D.因为＝＝1－2i，所以复数的虚部是－2.
2．解析：选C.由log2(x－1)≤0得00时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，所以M＝(1，2]，N＝[2，＋∞)，则M∩N＝{2}．
3．解析：选B.由题意可得P(，)，
则tan α＝，
所以α＝＋2kπ，k∈Z，
所以cos (α＋)＝cos (＋2kπ＋)＝cos ＝.
4．解析：选D.由题知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故A错误；当x>2时，f(x)＝＝＝x－，又y＝x是增函数，y＝－在(2，＋∞)上是增函数，故f(x)＝x－在(2，＋∞)上是增函数，故B，C错误．
5．解析：选D.以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设正方体棱长为1，
则M(0，0，a)，N(x，1，1－x)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，
所以＝(x，1，1－x－a)，＝(－1，0，1)，
若AD1⊥MN，则·＝－x＋1－x－a＝0，
即2x＝1－a(0≤x≤1，0≤a≤1)，方程有无数组解，即满足与AD1垂直的直线MN有无数条．
6．解析：选B.记至少有两个球颜色相同为事件A，两个球颜色不同为事件B，则
P(A)＝ eq \f(C＋CCCC,C) ＝＝，
P(AB)＝ eq \f(CCCC,C) ＝＝，
所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两个球不同色的概率为P(B|A)＝＝＝.
7．解析：选C. 因为ω>0，且x∈[0，2π]，
则ωx＋∈，
由题意可得4π≤2πω＋<5π，
解得≤ω<，
又因为直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，则ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，可知k＝0，ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋)，
所以f()＝sin (＋)＝sin (π－)＝sin ＝.
8．解析：选B.如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，
设A(x0， eq \f(x,4) )，B(x1， eq \f(x,4) )，C(x2， eq \f(x,4) )，则D(－x0， eq \f(x,4) )，所以kBC＝ eq \f(\f(x,4)－\f(x,4),x2－x1) ＝，设抛物线在点D处的切线l的方程为y－ eq \f(x,4) ＝k(x＋x0)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－\f(x,4)＝k（x＋x0），,y＝\f(1,4)x2，))
消去y得到x2－kx－kx0－ eq \f(x,4) ＝0，
由Δ＝k2＋kx0＋ eq \f(x,4) ＝0，
得到k＝－x0，所以由题得＝－x0，即x2＝－2x0－x1，
所以kAC＝ eq \f(\f(x,4)－\f(x,4),x2－x0) ＝＝－，
又kAB＝，所以kAC＝－kAB，得到AD为∠CAB的平分线，又d1＋d2＝AD，所以d1＝d2＝AD，又△AED，△AFD均为直角三角形，所以∠EAD＝∠FAD＝，得到∠CAB＝，
所以sin ∠CAB＝sin ＝.
9．解析：选BC，对于A，因为0且b>c>1，所以ba>ca，故A错误；
对于B，因为0又因为b>c>1，
所以logab所以<<0，
即0>logba>logca，故B正确；
对于C，因为0c>1，所以ba－1对于D，由选项B可知0>logba>logca，所以0<－logba<－logca，
因为b>c>1，
所以c(－logba)10．解析：选AC.设这组数从小到大排列为a，b，c，d，e，f，g，
由中位数为18，故d＝18，
由唯一众数为20，故e＝f＝20或f＝g＝20或e＝f＝g＝20，即可确定f＝20，
对于A，由7×0.8＝5.6，则该组数据的第80百分位数是f，即为20，故A正确；
对于B，该组数据可能为15，15，16，18，20，20，20，
此时＝＝18－<18，故B错误；
对于C，由题可知g≥20，若g≥21，则a＝g－5≥16，此时只有e＝f＝20，
故a故g＝20，故C正确；
对于D，同B中假设，该组数据可能为15，15，16，18，20，20，20，故D错误．
11．解析：选BCD.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，2，0)，A1(0，0，2)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，C1(2，2，2)，F(1，1，1)，
对于A，＝(－1，－1，－1)，＝(0，2，1)，显然与不共线，即C1F与AE不平行，A错误；
对于B，＝(0，2，－2)，·＝－1×2－1×(－2)＝0，因此C1F⊥A1D，B正确；
对于C，＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，设平面EAC的法向量n＝(x，y，z)，
则令y＝－1，得n＝(1，－1，2)，而＝(1，1，1)，
点F到平面EAC的距离为d＝＝＝，C正确；
对于D，过点E垂直于平面EAC的直线与平面A1B1C1D1相交，交点为N，
则＝λn＝(λ，－λ，2λ)，
点N(λ，2－λ，2λ＋1)，
由2λ＋1＝2，得λ＝，
即N(，，2)，
当平面α经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面α与平面A1B1C1D1的交线绕着点N旋转，
当交线与线段A1D1，C1D1都相交时，α与正方体所成截面为三角形，
令平面α与平面A1B1C1D1的交线交A1D1于点G，交C1D1于点H，
设GD1＝a，HD1＝b，G(0，2－a，2)，H(b，2，2)，＝(－，－a，0)，＝(b－，，0)，由∥，
得a＋b＝2ab，a，b∈，
Rt△D1GH斜边GH上的高
h′＝，
则截面△EGH的边GH上的高
h＝ eq \r(ED＋h′2) ＝，
截面△EGH的面积
S△EGH＝·
＝
＝
＝
＝，
当a∈时，b＝，ab＝·＝(2a－1＋＋2)∈，所以S△EGH∈，D正确．
12．解析：由题意，得(2a－b)·a＝0，即5×1＋(4－t)×2＝0，解得t＝.
答案：
13．解析：由已知得f(1－x)＝e1－2x－e2x－1＋sin (－x)＋1＝e1－2x－e2x－1－sin (x－)＋1，
所以f(x)＋f(1－x)＝2，
即f(1－x)＝2－f(x)，
则不等式f(2x＋1)＋f(2－x)≥2等价于f(2x＋1)≥2－f(2－x)＝f(x－1)，
由f′(x)＝2e2x－1＋2e1－2x＋cos (x－)>4－＝4－>0，
可得f(x)在R上单调递增，所以2x＋1≥x－1，解得x≥－2.
答案：[－2，＋∞)
14．解析：由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4种情况：
①：甲→甲→甲→甲，其概率为××＝；
②：甲→甲→乙→甲，其概率为××＝；
③：甲→乙→甲→甲，其概率为××＝；
④：甲→乙→丙→甲，其概率为××＝.
所以投掷3次后，球在甲手中的概率为p3＝＋＋＋＝.
设投掷n次后，球在乙手中的概率为qn，
所以当n≥2时，pn＝pn－1＋qn－1＋(1－pn－1－qn－1)＝－qn－1＋，
qn＝pn－1＋(1－pn－1－qn－1)
＝－qn－1＋，
所以qn－＝－(qn－1－)，
q1－＝－＝，
所以数列是以为首项，－为公比的等比数列，所以qn－＝·(－)n－1，qn＝·(－)n－1＋，所以pn＝－·(－)n＋(n≥2)，p1＝符合该式，
所以pn＝－·(－)n＋.
答案：　－·(－)n＋小题限时练8
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|x－1≥8－2x}，则A∪B＝(　　)
A．[2，4) B．[3，4)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“α∥β”是“l∥m”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n－1－1，则t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知单位向量a，b满足a·b＝0，则cos 〈3a＋4b，a＋b〉＝(　　)
A．0 B．
C． D．1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为I(x)＝I0e－，其中I0为输出信号功率最大值(单位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ2为输出信号的方差，3 dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值的一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度．现已知输出信号功率为I(x)＝I0e－(如图所示)，则其3 dB带宽为(　　)
A． B．4
C．3 D．2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为 2，则常数ω的取值可以为(　　)
A．1 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，O为坐标原点，以C的实轴为直径的圆记为D，过点F1作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且S△F1PF2＝4a2，则曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C．－1 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．已知a，b∈R，定义：min{a，b}＝，设f(x)＝min{2x－a，－x＋6－a}，x∈R.若函数y＝f(x)＋ax有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(－1，0) D．(－2，0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．下列说法正确的有(　　)
A．若复数z1，z2满足z1－z2>0，则z1>z2
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若复数z满足z＋＝－1，则z2 024＋＝－1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则(　　)
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B．若圆O与圆C相切，则a＝±2
C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若函数y＝f(x＋1)－x与y＝g(x＋2)均为偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．g′(2)＝0
B．函数y＝的图象关于点(0，1)对称
C．g(x＋2)＝g(x)
D．(k)＝2 025
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知cos α＝－，≤α≤π，则cos (2α＋)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A∪)＝，则P(B|A)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．机场为旅客提供的圆锥形纸杯，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点，如图所示，椭圆的离心率为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练8
1．解析：选C.由x－1≥8－2x，解得x≥3，即B＝{x|x≥3}，因为A＝{x|2≤x＜4}，所以A∪B＝{x|x≥2}．
2．解析：选A.由于α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，由平面平行的性质定理可得l∥m，则充分性成立；当l∥m，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则α∥β或α，β相交，故必要性不成立，所以“α∥β”是“l∥m”的充分不必要条件．
3．解析：选A.设等比数列的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不合题意；
当q≠1时，等比数列前n项和Sn＝＝－·qn＋，
依题意Sn＝t·2n－1－1＝t·2n－1 t＋(－1)＝0，解得t＝2.
4．解析：选B.(3a＋4b)·(a＋b)＝3a2＋7a·b＋4b2＝3＋0＋4＝7，(3a＋4b)2＝9a2＋24a·b＋16b2＝9＋0＋16＝25，
故|3a＋4b|＝5，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＝2，故|a＋b|＝，
所以cos 〈3a＋4b，a＋b〉＝＝＝.
5．解析：选D.依题意，由I(x)＝I0，I(x)＝I0e－，得I0e－＝I0，即e＝2，则有(x－2)2＝2ln 2，解得x1＝2－，x2＝2＋，所以3 dB带宽为x2－x1＝2.
6．解析：选D.因为函数y＝cos x的最大值为1，y＝sin ωx的最大值为1，
由题意可知，y＝cos x取得最大值1时，y＝sin ωx也取得最大值1，
即当x＝2kπ，k∈Z时，ω·2kπ＝＋2k′π，k，k′∈Z得ω＝＋，k，k′∈Z，k≠0，
当k＝1，k′＝0时，ω＝，其他值不满足等式．
7．解析：选A.设切点为A，∠AF1O＝θ，连接OA，则sin θ＝＝，cos θ＝＝，
过点P作PE⊥x轴于点E，则S△F1PF2＝|F1F2|·|PE|＝c|PE|＝4a2，故|PE|＝，
因为sinθ＝＝，解得|PF1|＝4a，
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理的推论得
cos θ＝
＝＝，
化简得3a2＋c2＝4ab，又c2＝a2＋b2，
所以4a2＋b2－4ab＝0，方程两边同时除以a2得4＋()2－4＝0，
解得＝2，所以离心率e＝＝.
8．解析：选A.令函数g(x)＝2x－a－(－x＋6－a)＝2x＋x－6，显然函数g(x)在R上单调递增，
而g(2)＝0，则当x<2时，2x－a<－x＋6－a，当x≥2时，2x－a≥－x＋6－a，
于是函数f(x)＝
则f(x)＋ax＝
令函数h(x)＝由f(x)＋ax＝0，得h(x)＝－a(x－1)，
因此函数y＝f(x)＋ax的零点，即函数y＝h(x)的图象与直线y＝－a(x－1)交点的横坐标，
当x<2，恒有h(x)>0，在同一坐标系内作出直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象，如图，
观察图象知，当－a≥0，即a≤0时，直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象只有一个交点，
如图，直线y＝4(x－1)过点(1，0)，(2，4)，它与y＝2x的图象交于两点(2，4)，(3，8)，当x<2时，2x>4(x－1)，
当－a≤－1，即a≥1时，
直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象只有一个交点，
当－1<－a<0，即0直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象有两个交点，
所以函数y＝f(x)＋ax有两个零点，实数a的取值范围是(0，1).
9．解析：选CD.对于A，B，例如z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则z1－z2＝2>0，但z1，z2不能比较大小，即z1>z2不成立，且z1＋z2＝2i，满足|z1＋z2|＝|z1－z2|＝2，但z1z2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2≠0，故A，B错误；
对于C，因为|a＋b|＝|a－b|，即|a＋b|2＝|a－b|2，可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，整理得a·b＝0，故C正确；
对于D，因为z＋＝－1，则(z＋)2＝z2＋＋2＝1，整理得z2＋＝－1，依此类推可得z2 024＋＝－1，故D正确．
10．解析：选AD.根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，
圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2.
对于A，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，故A正确；
对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；
两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.
综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B不正确；
对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，
即∈(1，3)，可得1<<3，解得－2对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r＝2，达到最大值，
因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．
11．解析：选ABD.对于A，因为y＝g(x＋2)为偶函数，可得g(－x＋2)＝g(x＋2)，
即g(－x)＝g(x＋4)，所以g′(－x)＋g′(x＋4)＝0，即g′(2)＝0，故A正确；
对于B，因为y＝f(x＋1)－x为偶函数，所以y＝＝－1为奇函数，则y＝的图象关于点(0，1)对称，故B正确；
对于C，y＝f(x＋1)－x为偶函数，其导函数y′＝f′(x＋1)－1＝g(x＋1)－1为奇函数，
可得g(－x＋1)－1＝－[g(x＋1)－1]，即g(－x＋1)＝－g(x＋1)＋2，
得g(－x)＝－g(x＋2)＋2，
所以g(－x)＝g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2，即g(x＋2)＝－g(x)＋2，
则g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2＝－[－g(x)＋2]＋2＝g(x)，可知g(x)的周期为4，
故C错误；
对于D，因为y＝g(x＋1)－1为奇函数，
将x＝0代入，得g(0＋1)－1＝g(1)－1＝0，得g(1)＝1，
因为y＝g(x＋2)为偶函数，可得y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
由g(1)＝1且g(x)的图象关于直线x＝2对称，知g(3)＝1，又g(x)的周期为4，可得g(2k＋1)＝1(k∈N)，
选项C中有等式g(x＋2)＝－g(x)＋2，即g(x)＋g(x＋2)＝2，则有g(4k＋2)＋g(4k＋4)＝2(k∈N)成立，所以(k)＝g(1)＋506×4＝2 025，故D正确．
12．解析：因为cos α＝－，≤α≤π，所以sin α＝＝，所以sin2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－，所以cos(2α＋)＝cos 2αcos －sin 2αsin ＝×(－＋)＝.
答案：
13．解析：由题得P(A∪)＝P(A)＋P()－P(A)＝，
即＋－P(A)＝，
则P(A)＝.
因为P(AB)＋P(A)＝P(A)，
所以P(AB)＝－＝，
则P(B|A)＝＝＝.
答案：
14．解析：如图，
设∠BCD＝α，因为AB＝AC＝12，BC＝8，故cos α＝，又CD＝6，
由余弦定理得，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos α＝36＋64－2×6×8×＝68，
即BD＝2，设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于点E，与椭圆交于点P，Q，连接PQ，连接AE交BD于点G，以点O为原点，DB为x轴，建立平面直角坐标系．
则＝，又由△APQ∽△AMN得PQ＝MN＝，DG＝BD＝，从而OG＝－＝，则得P(－，)，
不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将a＝和点P坐标代入方程，解得b＝2，则c＝＝3，
故e＝＝＝.
答案：小题限时练9
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x∈N|2x2－x－15≤0}，B＝{y|y＝sin x}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知复数z＝，表示z的共轭复数，则||＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．设x∈R，则“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为△AFB的垂心，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知tan (β－α)＝，tan α＝－，α，β∈(0，π)，则2β－α的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线y＝－x＋m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为(　　)
A． B．
C． D．1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．下列说法正确的有(　　)
A．数据29，30，39，25，37，41，42，32的第75百分位数是40
B．若ξ～N(25，4)，则P(20<ξ≤25)＋P(ξ≥30)＝
C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法有C种
D．(1－x)8展开式中x3项的二项式系数为56
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．已知x1，x2是函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)的两个零点，且|x1－x2|的最小值是，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的图象关于直线x＝－对称
C.f(x)的图象可由g(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D．f(x)在上仅有1个零点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝＋，且f(1)＝1，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(－1)＝e2
C．y＝exf(x)为奇函数
D．f(x)在(0，＋∞)上具有单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8，E，F分别为AD，B1C1上的点，AE＝C1F＝2，P，Q分别为BB1，C1D1上的动点．若点A，B，P，Q在同一球面上，当PQ⊥平面A1EF时，该球的表面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．记正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝，n∈N*，则S＋的最小值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练9
1．解析：选B.A＝{x∈N|2x2－x－15≤0}＝＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝sin x}＝[－1，1]，
所以A∩B＝{0，1}．
2．解析：选C.z＝＝＝＝－＋i，因此＝－－i，所以||＝＝.
3．解析：选A.由|x－2|<1解得14．解析：选A.由函数f(x)＝，f(－x)＝＝f(x)，因为x2－1≠0，解得x≠±1，则其定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，所以函数在定义域内为偶函数，排除C，D选项，因为f(0)＝＝－2，观察选项可知，A选项满足题意．
5．解析：选C.在平行四边形中＝，＝，＝＋，
因为E是AC中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为BC＝3BF，所以＝＝，
所以＝＋＝＋，
因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，
所以解得
所以m＋n＝.
6．解析：选A.因为△AFB的垂心为点A，所以△AFB是以A为直角顶点的直角三角形，又OA⊥FB，
所以△FAO∽△ABO(O为坐标原点)，|OA|＝b，|OB|＝a，|OF|＝c，
易得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，1－e2＝e，解得e＝或e＝(舍去).
7．解析：选D.由题得tan β＝tan [(β－α)＋α]＝＝∈(0，1)，
可知α∈(，π)，β∈(0，)，
则2β－α∈(－π，0)，
又因为tan 2β＝＝＝>0，
可得tan(2β－α)＝＝＝1，
所以2β－α＝－.
8．解析：选B.由题易得B(－，－1)，C(，－1)，当直线过C(，－1)时，将C(，－1)代入y＝－x＋m中，
所以m＝－1＋，由对称性可知，圆弧BOC对应圆的圆心在y轴上，
设为T(0，t)，则|OT|＝|TC|，所以＝，
解得t＝－2，且圆弧BOC对应圆的半径为2，故圆弧BOC对应的圆方程为x2＋(y＋2)2＝4，当直线l与圆弧BOC相切时得＝2，所以m＝2－2或m＝－2－2(舍去)，
结合图形可知当－1＋9．解析：选ABD.数据从小到大排列为25，29，30，32，37，39，41，42，又8×75%＝6，所以第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即＝40，A正确；
若ξ～N(25，4)，则正态曲线的对称轴为直线ξ＝25，
所以P(20<ξ≤25)＋P(ξ≥30)＝P(25≤ξ＜30)＋P(ξ≥30)＝P(ξ≥25)＝，B正确；
4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法有34种，C错误；
由二项式定理可知，(1－x)8展开式中x3项的二项式系数为C＝56，D正确．
10．解析：选ABD.由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x－).
对于A，当x∈ 时，2x－∈，
因为y＝sin x在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，故A正确；
对于B，因为f(－)＝2sin [2×(－)－]＝2sin (－)＝－2，
所以f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；
对于C，将g(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
y＝2sin [2(x－)]＝2sin (2x－)的图象，故C错误；
对于D，当x∈时，2x－∈，仅当2x－＝π，即x＝时，f(x)＝0，即f(x)在上仅有1个零点，故D正确．
11．解析：选AC.对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝＋，即f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(1－1)＝＋，即f(0)＝ef(1)＋，
由f(0)＝0，f(1)＝1，得0＝e＋，即f(－1)＝－e2，故B错误；
对于C，令y＝－x，则有f(x－x)＝＋，即f(0)＝exf(x)＋e－xf(－x)，
即exf(x)＝－e－xf(－x)，又函数f(x)的定义域为R，则函数y＝exf(x)的定义域为R，
故函数y＝exf(x)为奇函数，故C正确；
对于D，令y＝x，则有f(x＋x)＝＋，即f(2x)＝，
即有＝，则当x＝ln 2时，有＝＝1，
即f(2ln 2)＝f(ln 2)，
故f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故D错误．
12．解析：由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0).
答案：(4，0)
13．解析：建立如图1所示的空间直角坐标系，则A1(8，0，0)，E(6，0，8)，F(2，8，0)，
＝(－2，0，8)，＝(－6，8，0).
设Q(0，a，0)，P(8，8，b)，＝(－8，a－8，－b)，
又PQ⊥平面A1EF，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(·\o(PQ,\s\up6(→))＝16－8b＝0，, ·\o(PQ,\s\up6(→))＝48＋8（a－8）＝0，))
解得a＝b＝2.
如图2所示，连接AP，AQ，作AP的平行线DK，M，N，G分别为AP，DK，AQ的中点，连接MN，PK，
因为△ABP为直角三角形，故A，B，P，Q所在球面对应球的直径在过△ABP的外心M，且圆心O在MN上．
连接GO，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故OA＝OQ，故GO⊥AQ，
由题可设O(t，4，5)，G(4，1，4)，
所以＝(4－t，－3，－1)，
又＝(－8，2，－8)，所以·＝－8(4－t)－6＋8＝0，解得t＝，
所以O(，4，5)，所以R2＝||2＝()2＋(－4)2＋32＝，
所以球的表面积为4πR2＝π.
答案：π
14．解析：当n＝1时，a1＝S1＝，则a1＝1或a1＝0(舍去)，
当n≥2时，由Sn＝，
得Sn－1＝，
两式相减得2an＝a＋an－a－an－1，得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因为an>0，所以an－an－1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，则an＝n，Sn＝，
令f(x)＝x2＋，x>0，
则f′(x)＝2x－＝，
当x∈(0，4)时，f′(x)<0，
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，
由Sn＝随n的增大而增大，
S2＝＝3，S3＝＝6，
则S＋＝9＋＝，S＋＝36＋＝，
所以S＋的最小值为.
答案：小题限时练10
(分值：73分　时间：45分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|2x－3x>0}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝ (　　)
A．{0} B．{1，2，3}
C．{0，4} D．{3，4}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知向量a＝(1，)，b＝(sin θ，cos θ)，θ∈(0，π)，若a⊥b，则θ＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为s，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为s，则(　　)
A．>5，s>s B．<5，sC．＝5，ss
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知A(－2，－2)，B(1，3)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最大值为(　　)
A．16－6 B．26＋2
C．26＋4 D．32
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为Q＝ktp，其中Q(单位：mAh)为电池容量损失量，p是时间t的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，k是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关．以某种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p＝0.5，相关统计学参数R2>0.995，且预测值与实际值误差很小．在研究M对Q的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规律为Q＝ktp＝e(A＋BM)tp，经实验采集数据进行拟合后获得A＝2.228，B＝1.3，相关统计学参数R2＝0.999，且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放16天后，电容量损失量约为(　　)
(参考数据：e3.22≈25.03，e3.232≈25.33，e3.268≈26.26，e3.628≈37.64)
A．100.32 B．101.32
C．105.04 D．150.56
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．已知f(x)＝(a≠0)是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程是(　　)
A．y＝0 B．y＝x
C．y＝2x D．y＝ex
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋Sn＋1＝n2＋1(n∈N*)，则S24＝(　　)
A．276 B．272
C．268 D．266
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为圆O与射线y＝－x(x≥0)的交点．则当Q与P第2 024次重合时，P的坐标为(　　)
A．(cos ，sin )
B．(－cos ，－sin )
C．(cos ，－sin )
D．(－cos ，sin )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题
9．下列说法正确的有(　　)
A．若事件A和事件B互斥，P(AB)＝P(A)·P(B)　
B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11
C．若随机变量ξ～N(6，σ2)，P(6<ξ≤7)＝0.42，则P(ξ>7)＝0.1
D．若y关于x的经验回归方程为＝0.3－0.7x，则y与x是线性负相关关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．如图，已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q，R，S分别为棱A1D1，AA1，C1D1，AB的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．P，Q，R，S四点共面
B．RS与BC1异面
C．PQ⊥B1D
D．RS与A1B所成角为45°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，且△PF1F2的内切圆圆心为I(3，1)，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝3
B．直线PF1的斜率为
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的外接圆半径为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题
12．已知复数z满足|z－i|＝，则||的最小值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知椭圆的周长l＝2πb＋4(a－b)，其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长．若椭圆C的焦距为4，且C的长半轴长与短半轴长均为正整数，则C的周长为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，点P在△ABC内，且满足CP＝2，∠APC＋B＝π，则四边形ABCP面积的最大值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案与解析
小题限时练10
1．解析：选C.由A＝{x|2x－3x>0}，B＝{0，1，2，3，4}，把0，1，2，3，4代入2x－3x>0检验，可得0，4成立，故A∩B＝{0，4}．
2．解析：选B.由题意知，a·b＝sin θ＋cos θ＝0，则tan θ＝－，
又θ∈(0，π)，所以θ＝.
3．解析：选D.由题意可得i＝5，x9＝1，x10＝9，则i＝50，故＝i＝(i－x9－x10)＝×(50－1－9)＝5，因为x9，x10是波幅最大的两个点的值，则去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，故s>s.
4．解析：选C.设P(2cos θ，2sin θ)，
则|PA|2＋|PB|2＝(2cos θ＋2)2＋(2sin θ＋2)2＋(2cos θ－1)2＋(2sin θ－3)2
＝4cos2θ＋8cos θ＋4＋4sin2θ＋8sinθ＋4＋4cos2θ－4cosθ＋1＋4sin2θ－12sinθ＋9
＝4cos θ－4sin θ＋26
＝4cos (θ＋)＋26，
当cos (θ＋)＝1时，|PA|2＋|PB|2取得最大值26＋4.
5．解析：选C.根据题意，可得p＝0.5，A＝2.228，B＝1.3，
代入Q＝ktp＝e(A＋BM)tp，
可得Q＝e(2.228＋1.3M)·t0.5，
因为该品牌电池初始荷电状态M＝80%＝0.8，所以存放16天后，电容量损失量Q＝e(2.228＋1.3×0.8)·160.5＝4e3.268≈4×26.26＝105.04.
6．解析：选C.因为f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝＋＝0，
可得(eax－1)(eax－e2x)＝0，因为a≠0，所以eax－1＝0不恒成立，
则eax－e2x＝0，即eax＝e2x，可得a＝2，
所以f(x)＝＝ex－e－x，
则f′(x)＝ex＋e－x，故f(0)＝0，f′(0)＝2，
可知切点坐标为(0，0)，切线斜率为2，
所以切线方程为y＝2x.
7．解析：选A.因为a1＝S1＝1，
又因为Sn＋Sn＋1＝n2＋1，
当n＝1时，S1＋S2＝12＋1＝2，
解得S2＝1；
当n≥2时，Sn－1＋Sn＝(n－1)2＋1，
作差得Sn＋1－Sn－1＝2n－1，
所以S24＝(S24－S22)＋(S22－S20)＋…＋(S4－S2)＋S2＝2×(23＋21＋…＋3)－11＋1＝276.
8．解析：选B.设两质点重合时，所用时间为t，则重合点坐标为(cos 2t，sin 2t)，由题意可知，两质点起始点相差角度为，
则5t－2t＝2kπ＋(k∈N)，
解得t＝＋(k∈N)，
若k＝0，则t＝，
则重合点坐标为(cos ，sin )，
若k＝1，则t＝，
则重合点坐标为(cos ，sin )，
即(－cos ，－sin )，
若k＝2，则t＝，
则重合点坐标为(cos ，sin )，
即(－cos ，sin )，
当Q与P第2 024次重合时，k＝2 023，则t＝，则重合点坐标为(cos ，sin )，即(－cos ，－sin ).
9．解析：选BD.对于A，因为事件A和事件B互斥，所以P(AB)＝0，故A错误；
对于B，将原数据重新排列为：1，2，4，5，7，11，16，21，共8个数，8×0.7＝5.6，所以该组数据的第70百分位数即为第6个数11，故B正确；
对于C，因为随机变量ξ～N(6，σ2)，P(6<ξ≤7)＝0.42，所以P(ξ>7)＝0.5－0.42＝0.08，故C错误；
对于D，因为y关于x的经验回归方程为＝0.3－0.7x，＝－0.7<0 ，则y与x是线性负相关关系，故D正确．
10．解析：选AC.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，
因为P，Q，R，S分别为棱A1D1，AA1，C1D1，AB的中点，
所以P(1，0，2)，Q(2，0，1)，S(2，1，0)，R(0，1，2)，
对于A，因为＝(1，0，－1)，＝(2，0，－2)，所以＝2，
所以PQ∥RS，所以P，Q，R，S四点共面，A正确；
对于B，因为＝(0，1，0)，＝(0，1，0)，所以＝，
所以RC1∥SB，且RC1＝SB，所以四边形RSBC1为平行四边形，
所以RS∥BC1，B错误；
对于C，因为＝(1，0，－1)，＝(2，2，2)，
所以·＝1×2＋0×2＋(－1)×2＝0，
所以⊥，即PQ⊥B1D，C正确；
对于D，因为＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)，
所以·＝2×0＋0×2＋(－2)×(－2)＝4，||＝2，||＝2，
所以cos 〈，〉＝ eq \f(\o(RS,\s\up6(→))·,|\o(RS,\s\up6(→))|| |) ＝＝，
设RS与A1B所成角为θ，0°<θ≤90°，
则cos θ＝，所以θ＝60°，
即RS与A1B所成角为60°，D错误．
11．解析：选ACD.如图1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，
设圆I分别与△PF1F2的三边切于点M，N，A，则由题知A(3，0)，
且|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1A|，|F2N|＝|F2A|，
又因为|PF1|－|PF2|＝|F1M|－|F2N|＝|F1A|－|F2A|＝(xA＋c)－(c－xA)＝2xA＝2a，
所以a＝xA＝3，A正确；
由选项A得F1(－5，0)，F2(5，0)，
连接IF1，IF2，IA，如图2，
则tan ∠IF1A＝＝，
所以kPF1＝tan ∠PF1A＝tan 2∠IF1A＝＝，B错误；
同理，tan∠PF2A＝tan 2∠IF2A＝，
所以tan ∠F1PF2＝－tan (∠PF1A＋∠PF2A)＝－，
所以tan ＝，
所以由焦点三角形的面积公式得
S△PF1F2＝＝，
又S△PF1F2＝，
故得|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝，
所以△PF1F2的周长为，C正确；
由tan ∠F1PF2＝－ sin ∠F1PF2＝，
由正弦定理＝2R得R＝，D正确．
12．解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－i|＝两边平方整理得x2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＝2y＋1而||＝|x－yi|＝＝，
作出复数z对应的点Z(x，y)的轨迹x2＋(y－1)2＝2的图形如图．
易得1－≤y≤1＋，因为y＝在定义域内为增函数，
故||＝≥＝－1，
即当且仅当y＝1－时，||取最小值－1.
答案：－1
13．解析：由题意得c＝2，故c2＝a2－b2＝12，所以(a＋b)(a－b)＝12，
因为a，b都为正整数且a>b，
所以a＋b，a－b 都为正整数，且12＝1×12＝2×6＝3×4，
所以或或
所以或(舍去)或(舍去)，
所以椭圆的周长l＝2πb＋4(a－b)＝2π×2＋4×(4－2)＝4π＋8.
答案：4π＋8
14．解析：如图所示，
设AP＝x，B＝α，则∠APC＝π－α，α<π－α，0<α<.
分别在△ABC和△APC中，由余弦定理得，
AC2＝22＋32－2×2×3cos α＝13－12cos α，
AC2＝x2＋4－2×2x cos (π－α)＝x2＋4＋4x cos α，
所以x2＋4＋4x cos α＝13－12cos α，
cos α＝＝，由0<α<，可知0所以四边形ABCP的面积
S＝S△ABC－S△APC＝×2×3sin α－×2x sin α＝(3－x)sin α，
又(3－x)sin α＝(3－x)＝(3－x)
＝(3－x)
≤×＝2，
当且仅当3－x＝，
即x＝3－2，cos B＝，B＝时，
四边形ABCP的面积最大，最大值为2.
答案：2

展开更多......

收起↑