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控江中学2024-2025学年第二学期高一年级数学月考
2025.4
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分．
1．已知全集，若集合，则________．
2．已知，，若，则的最小值为________．
3．函数的最小正周期为________．
4．已知角的终边经过点，则________．
5．设常数，若函数的图像关于点对称，则________．
6．已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是________．
7．已知，，若用、表示，则________．
8．若，则________．
9．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则________．
10．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则________．
11．现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上．已知三角形的一边长4cm，另一边长3cm且第三条边上的中线长3cm，则圆形纸片的半径长
为________cm．（结果精确到0.1）
12．已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为________．
二、选择题（本题共有4题，满分14分，13、14每题3分，15、16每题4分）．
13．集合，的关系如图所示，则是的（ ）条件．
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
14．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
15．已知存在实数满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
16．已知函数与函数满足：对任意、，都有．
命题：若函数是上的增函数，则函数不是减函数；
命题：若函数有最大值和最小值，则函数也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）．
A．和都是真命题
B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题
D．是假命题，是真命题
三、解答题（本大题满分50分）本大题共5题．
17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
设常数，已知集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求的取值范围．
18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示．已知扇形的半径长为100米，是钝角，点在弧上，点在半径上，且，设，的周长为米．
（1）当，求的长（单位：米）；
（2）求的最大值及取到最大值时的值．
19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
已知
（1）已知是正整数，求的值；
（2）已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分，
已知．
（1）求解关于的方程；
（2）求函数，的值域；
（3）已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值．
21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．
对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”．
（1）两个函数，是否是“函数”？为什么？
（2）求证：函数是“函数”；
（3）已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上．已知三角形的一边长4cm，另一边长3cm且第三条边上的中线长3cm，则圆形纸片的半径长
为________cm．（结果精确到0.1）
【答案】2.1
【解析】设三角形三边为，第三边为，对应中线长
根据中线公式：
代入已知数据：解得：
，则
12．已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】当时，，值域为；当时，，值域为
当时，外层使用：
①时，，此时，值域为；
时，，此时，值域为
②当时，外层使用：
时，，此时，值域为；
时，，此时，值域为
当时，唯一解来自，此时有唯一解；
当时，存在两个解：一个来自，另一个来自；
当时，存在两个解和；当时，解唯一；
因此，当时，方程有且仅有一个解，故的最小值为4.
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.C
15．已知存在实数满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵存在，满足，
由图像可知，，
∴，即
的取值范围是，故选B.
16．已知函数与函数满足：对任意、，都有．
命题：若函数是上的增函数，则函数不是减函数；
命题：若函数有最大值和最小值，则函数也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）．
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
【答案】C
【解析】对于命题：设，因为是上的增函数，所以，
所以，因为，
所以，
所以，故函数不是减函数，
故命题为真命题；
对于命题有最大值和最小值，因为，
则，所以不一定有最大值或最小值，
故命题为假命题．故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）45°
19.（1） （2）存在，
20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分，
已知．
（1）求解关于的方程；
（2）求函数，的值域；
（3）已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值．
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）方程求解：设，则原方程变为，解得.
代入，得：.
（2）角度范围分析：当时，．
在区间上，单调递增，故
（3）化简：利用二倍角公式，
令，则
代入得：
分析二次函数：
设，则，其中（由第（2）题结论）.
二次函数开口向上，顶点横坐标为.
分情况讨论最小值：
①当：最小值在处，，不满足条件.
②当：最小值在顶点处，
令，解得（舍负）.
③当：最小值在处，.
令，解得，但矛盾，舍去.
综上，
21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．
对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”．
（1）两个函数，是否是“函数”？为什么？
（2）求证：函数是“函数”；
（3）已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围．
【答案】（1）不满足 （2） （3）
【解析】（1）不满足函数y=x严格增 y=x与y=1相交于一个点(1,1)，在不存在m满足题意

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