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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题6.1 反比例函数八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查反比例关系的识别，本题的关键是熟练掌握辨识两种相关联的量成反比例的方法．判断两个相关联的量成反比例关系的方法：两个量如果乘积一定，则成反比例，逐个判断即可．
【详解】解：A中，由，得，则与是成反比例关系；
B中，由，得，则与是成反比例关系；
C中，由，则与是成反比例关系；
D中，由，则与是成正比例关系；
故选：D.
2．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．15 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故选：C．
3．一次函数与反比例函数相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，把分别代入，求出，然后相加即可．
【详解】解：把代入，得
∴
把代入，得
∴
∴
故选B．
4．如图，O为坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得点B的坐标，然后由待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：A的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
则点B的横坐标为，
B的坐标为，
点B在反比例函数的图象上，
将点B的坐标代入得：，
解得：．
故选：C．
5．若点都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
，
，，
故选：B．
6．若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且，则反比例函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质正，根据数轴可得，分别求出各个选项的解析式，再判断即可．
【详解】由数轴可得，
A.过，则，符合题意；
B.过，则，不符合题意；
C.过，则，不符合题意；
D.过，则，不符合题意；
故选：A．
7．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，不等式的性质等．先待定系数法求出反比例函数解析式，再结合的取值，列出不等式，根据不等式的性质求出的取值范围．
【详解】解：把代入得，
所以反比例函数解析式为，
∴，
当时，
∴当时，，
∴，
所以函数值的取值范围为．
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．关于结论I、II，下列判断正确的是（　　）
结论I：无论非零实数为何值时，点不是和谐点；
结论II：在双曲线上，只有两个和谐点
A．只有结论I正确 B．只有结论正确
C．结论I、II都正确 D．结论I、II都不正确
【答案】A
【分析】此题主要考查和谐点的定义和判断，点坐标的特征，反比例函数的性质，解一元二次方程，熟练掌握和谐点的定义列出算式才能判断是否为和谐点并求解相应的未知数．
【详解】解：∵，
∴无论非零实数为何值时，点不是和谐点，故结论I正确；
设在双曲线上，
假设是和谐点，则，
即：，解得：或，
∴3或6或或，即在双曲线上，有四个和谐点，故结论II不正确，
故选：A
9．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．反比例函数图象经过点
B．当时，
C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点
D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
根据反比例函数的图象特征逐一判断即可．
【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意；
当时，，
函数在第一象限，
∴
∴，B选项正确，不符合题意；
∵无解，
∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意；
∵反比例函数图象关于原点中心对称，
∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上，
∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意．
故选：D．
10．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解，本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是：找到矩形面积的变化规律．
【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2024，
点，，，…，的纵坐标为依次为，，，…，，
又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差，
，，，…，，
……，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．写一个图像位于第一、三象限的反比例函数的表达式： ．
【答案】答案不唯一，如，
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性．根据反比例函数的性质可知，反比例函数过一、三象限则比例系数为正数，据此可写出函数解析式．
【详解】解：由于反比例函数图象经过一、三象限，所以比例系数为正数，
所以解析式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．已知反比例函数的图象经过点，那么的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，由题意，将代入反比例函数即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，解得，
故答案为：．
13．某种灯泡的使用寿命为，它的可使用时间y（天）与每天使用时间之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．根据等量关系“可使用天数=总寿命÷平均每天使用的小时数”即可列出关系式．
【详解】解：由题意得：使用天数与每天使用时间之间的函数关系式为．
故答案为：．
14．点在某反比例函数图象上，将点向右平移4个单位，再向下平移8个单位后得，若也在该反比例函数图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的平移，反比例函数图象上的点，根据平移规则求出的坐标，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，求出的关系式，整体代入法求出的值即可．
【详解】解：由题意，的坐标为：，
∵点在某反比例函数图象上，也在该反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得或，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，，
又∵，
∴或
∴（不合题意，舍去）或
即的值为．
故答案为：．
16．如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把A点的坐标代入，即可求得，由C为的中点，求得，然后根据中点坐标的求法，即可求得a的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点A，，
∴，
∴．
∴；
∵C为的中点，
∴点C的纵坐标为2，
把代入得，，
∴，
∴，
∵C为的中点，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
17．如图，过原点O的直线与反比例函数，的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为的中点．若函数，则与x的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象上的点的坐标特点，设，与x的函数表达式是，则，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设，与x的函数表达式是，
∵A为的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴与x的函数表达式是，
故答案为；．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点、、，在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若双曲线将这些“整点”分成数量相等的两部分，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据题意发现矩形的内部有10个整点，，，，，，，，，，据此确定k的取值范围即可．
【详解】解：∵、、，
∴，
∴矩形ABCD的内部有10个整点，，，，，，，，，，
当反比例函数图象过点时，k值为，
当反比例函数图象过点时，k值为，
当反比例函数图象过点时，k值为，
当反比例函数图象过点时，k值为，
当反比例函数图象过点时，k值为，
故k的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知，
(1)化简T；
(2)若点在反比例函数的图象上，求T的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，分式的化简求值，
对于（1），根据分式的乘除法计算，并化到最简；
对于（2），将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：点在反比例函数的图象上，
．
即，
原式 ．
20．已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若点在该反比例函数的图象上，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．
（1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限，
∴，
解得，；
（2）∵点在该反比例函数的图象上，
∴，
解得，．
21．已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)(2)5
【分析】考查了待定系数法的应用．
（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可；
（2）将代入（1）中求值即可．
【详解】（1）解：设，，
则，
根据题意，得：，
解得：，
∴；
（2）解：当时，．
22．如图，直线交x轴于点，交y轴于点，交双曲线于点．
(1)求直线和双曲线的表达式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数表达式，平形四边形性质及坐标与图形综合，
（1）先用待定系数法求出直线解析式为，进而求出，代入求出反比例函数表达式；
（2）设，，根据平行四边形性质得出，进而列方程并解方程即可解决；
【详解】（1）解：把代入可得，
，解得，
∴直线解析式为，
把代入可得，，
把代入，
解得，
即双曲线解析式为；
（2）解：设，，
∵点P在线段上，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但，
∴；
23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
①；②；③．
(2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由．
【答案】(1)③(2)12(3)是，理由见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．也考查了解一元二次方程以及反比例函数．
（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案；
【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为：③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，
由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
∴，；
（3）解：点在反比例函数的图象上，
，
方程化为方程，
整理得，
解得，，
方程是“三倍根方程”.
24．如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内．
(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性．
(3)在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)过点P的反比例函数解析式为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小(3)直线的解析式为，5
【分析】（1）作第一象限的角平分线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交第一象限的角平分线于点P，点P即为所求；
（2）在（1）的条件下，根据，A点的坐标为，利用勾股定理即可求P点的坐标，进而得到函数的增减性即可；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于B，则，根据计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：由（1）可得是第一象限的角平分线，设点，
过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，于点D，
∵，A点的坐标为，
∴，
根据勾股定理，得，
∴，
解得（舍去）．
∴P点的坐标为，
∴过点P的反比例函数解析式为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图所示，设直线与x轴交于B，则，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
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专题6.1 反比例函数八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．15 C． D．
3．一次函数与反比例函数相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，O为坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若点都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且，则反比例函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　）
A． B．或 C． D．
8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．关于结论I、II，下列判断正确的是（　　）
结论I：无论非零实数为何值时，点不是和谐点；
结论II：在双曲线上，只有两个和谐点
A．只有结论I正确 B．只有结论正确
C．结论I、II都正确 D．结论I、II都不正确
9．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．反比例函数图象经过点
B．当时，
C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点
D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上
10．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．写一个图像位于第一、三象限的反比例函数的表达式： ．
12．已知反比例函数的图象经过点，那么的值等于 ．
13．某种灯泡的使用寿命为，它的可使用时间y（天）与每天使用时间之间的函数表达式为 ．
14．点在某反比例函数图象上，将点向右平移4个单位，再向下平移8个单位后得，若也在该反比例函数图象上，则的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ．
16．如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则 ．
17．如图，过原点O的直线与反比例函数，的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为的中点．若函数，则与x的函数表达式是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点、、，在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若双曲线将这些“整点”分成数量相等的两部分，则取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知，
(1)化简T；
(2)若点在反比例函数的图象上，求T的值．
20．已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若点在该反比例函数的图象上，求的值．
21．已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求y的值．
22．如图，直线交x轴于点，交y轴于点，交双曲线于点．
(1)求直线和双曲线的表达式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
①；②；③．
(2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由．
24．如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内．
(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性．
(3)在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积．
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