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祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学专题训练——有关矩形的最值问题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M为AD的中点，N为BC上一动点，点B′、D′分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B′D′交MN于点E，则CE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．4
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
5．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝8时，则BE+CF的最小值为（　　）
A．10 B． C． D．
6．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．8
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的动点．作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若M是EF的中点，则在点P运动过程中，PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边BC上的动点（不与B，C重合），过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．则EF的最小值是（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
10．如图，在菱形ABCD中，若AC﹣BD＝2，S菱形ABCD＝24，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）
A．2.4 B．4.8 C．3 D．4
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点（不含端点），连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG．对于下列两个结论：
①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为．
下列判断正确的是（　　）
A．①②都对 B．①②都错 C．①错，②对 D．①对，②错
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A． B．13 C． D．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足分别为E，F．连接EF，则EF的最小值为（　　）
A．3 B．2.4 C．4 D．2.5
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是射线BC上一点，E是AP上一点，且∠APB＝∠ABE．
（1）AE AP的值为 　 　 ；
（2）连接DE，当DE取最小值时，AE的长为 　 　 ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别在边CD，BC上，且BN＝2DM．连接AM，过点N作NP⊥AM，垂足为P，连接DP，则DP的长的最小值为 　 　 ．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF的最小值为 　 　 ．
24．如图，在矩形ABCD中，M为AD边上的动点，过点M作直线l交BC于点N，BN＝3AM，作四边形ABNM关于直线l对称的四边形GHNM，连接CH．若AB＝4，BC＝8，则CH的最小值为 　 　 ．
第21题图 第22题图 第23题图 第24题图
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，M是CD边上任意一点，分别过点A，C，D作射线BM的垂线，垂足分别是E，F，G，若AE+CF+DG＝m，则m的最小值是 　 　 ．
26．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF的最小值为 　 　 ．
第25题图 第26题图 第27题图 第28题图
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点E从A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时动点F从C出发沿射线DC以的速度运动，G为EF的中点，连接CG，则CG的最小值为 　 　 cm．
28．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点F是矩形ABCD内部一个动点，E在AF上，且，当AF＝6时，则BE+CF的最小值为　 　 ．
29．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，点D是边BC上的一动点，连接AD，以AD为一边作矩形ADEF，连接BE，若，则线段BE的最小值为 　 　 ．
30．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是BC的中点，连结DE，点F是线段DE上一动点，连结AF，取AF中点G连结CG，则CG的最小值为 　 　 ．
第29题图 第30题图 第31题图 第32题图
31．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为BC中点，P是线段BC上一点，设BP＝m（0＜m≤4），连接AP，过点P在AP右侧作线段PE垂直于AP且PE＝AP，连接DE、EF，则在点P从点B向点C运动的过程中，有下面四个结论：①当m≠2时，∠EFP＝135°；②点E到边BC的距离为m；③直线EF一定经过点D；④CE的最小值为．其中结论正确的是 　 　 ．（填序号即可）
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一个动点，连接AP，以AP为直角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，∠APE＝90°，连接DE．
（1）当点E落在BD上时，DE的长为 　 　 ．
（2）DE的最小值是 　 　 ．
33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．（1）当点F恰好落在CD边上时，CF＝　 　 ；（2）CF的最小值＝　 　 ．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为　 　 ．
第33题图 第34题图 第35题图 第36题图
35．如图，矩形ABCD的边AB＝m，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为腰向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，当CG的最小值为2时，m的取值范围是 　 　 ．
36．如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝3，E，F分别是边BC、AB上任意点，以线段EF为边，在EF上方作等边△EFG，取边EG的中点H，连接HC，则HC的最小值是　 　 ．
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F连结EF，则线段EF的最小值为 　 　 ．
38．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为 　 　 ．
第37题图 第38题图 第39题图 第40题图
39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是 　 　 ．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　 ．
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　 ．
第41题图 第42题图 第43题图 第44题图
42．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，连接EF，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝12，AD＝9，EF＝6，则GH的最小值是 　 　 ．
43．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是　 　 ．
44．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．则下列说法中正确的有　 　 ．
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，则AD的最小值为；
④如果AD是∠BAC的平分线，那么四边形AEDF是菱形．
45．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动．若M，N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t（0＜t＜6），△DMN的面积为S．
（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
（2）当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积．
46．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD＝PE；
（2）连接PC，求PC的最小值．
47．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是矩形；
（2）连接EF，若AB＝3，AC＝4，求EF的最小值．
48．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E在边AB上，EF⊥BO，EG⊥AO，垂足分别为点F，点G．
（1）求证：四边形EFOG是矩形；
（2）若点E在边AB上（不与两端点重合）移动，连接FG，已知AC＝8，BD＝6，求FG的最小值．
49．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，已知AC＝10，BD＝5．
（1）判断四边形OEPF的形状，并说理由；
（2）求EF的最小值．
50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．
（1）求证：四边形ECFD是矩形；
（2）若CB＝2，CA＝4，求EF的最小值．
51．如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG．
（1）求证：四边形OGEF为矩形．
（2）求GF的最小值．
参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A A C C C C B A
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 C A C D C
题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
答案 B B A D
题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
答案 D C B A C C A B
题号 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
答案 A C C D C A A C D C C
1．A【解析】过点P作PM∥EF交AD于点M，
由条件可知EF是△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF，
当PM取得最小值时，EF最小，
当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6，
∴EF最小PM最小3．
2．B
【解析】连接CP，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠DCB＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴CP＝EF，
∴要求EF的最小值就是要求CP的最小值，
∴当CP⊥BD时，CP取最小值，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
∵S△BCD＝S△ABDAB ADBD CP，
∴3×4＝5CP，
∴CP，
∴EF的最小值为．
3．A
【解析】由折叠得∠DEM＝∠D′EM＝∠B′EN＝∠BEN，
∴点B、E、D共线，即点E在BD上，
∴当CE⊥BD时，CE最小，这时，
∵ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴，
又∵，
∴，
所以CE的最小值为，
4．A
【解析】如图，分别取AE，CD，DE的中点G，H，I，连接BH，BI，IG，PI，PH，HI，
∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，，∠A＝∠BCD＝90°，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：，
∵点H为CD的中点，
∴，
在直角三角形BCH中，由勾股定理得：，
∵点G是AE的中点，点I是DE的中点，
∴，，IG∥AD，
∴∠IGE＝∠A＝90°，，
∴，
∵点H为CD的中点，点I是DE的中点，
∴，
又∵点I是DE的中点，P为DF的中点，
∴PI∥EF，
同理可得：PH∥CF，
∴点P，H，I在同一条直线上，即当点F在CE上运动时，点P在HI上运动，
由垂线段最短可知，当PB⊥HI时，PB的值最小，
设PH＝x（x＞0），则，
由勾股定理得：BH2﹣PH2＝PB2＝BI2﹣PI2，
∴，
解得，
∴，
∴，
即PB的最小值是，
5．C
【解析】如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
∵AB＝AF＝8，且，
∴AE＝AG＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CG2，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2，
∴BE+CF的最小值为2，
6．C
【解析】连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF＝CP，
∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，
当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，
∴AP+EF的最小值为，
故选：C．
7．C
【解析】如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PMEFAP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABCBC APAB AC，
∴AP，
即AP最短时，AP，
∴PM的最小值AP，
8．C
【解析】连接AP，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，
∵△ABC的面积BC APAB AC，
∴BC AP＝AB AC，
∴10AP＝6×8，
∴AP，
∴AP＝EF，
∴EF的最小值为，
9．B
【解析】连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
由勾股定理得：BC10，
根据三角形的面积公式得：S△ABCAH BCAB AC，
∴AH4.8，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD最小值时，EF的值为最小，
∵点D是边BC上的动点（不与B，C重合）
∴根据“垂线段最短”得：当AD⊥BC时，AD为最小，
∴当点D于点H重合时，AD为最小，最小值是线段AH的长，
∴AD的最小值是4.8，
∴EF的最小值是4.8．
10．A
【解析】连接OE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠GOF＝90°，
∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，
∴四边形GEFO为矩形，
∴FG＝OE，
当OE⊥DC时，OE的值最小，即FG的值最小，
∵AC﹣BD＝2，S菱形ABCD＝24，
∴，
解得AC＝8，BD＝6，
∴OD＝3，OC＝4，∴，
∴，即5OE＝12，解得，
∴FG的最小值为2.4，
11．D
【解析】如图，连接AP，DE，
∵AB＝3，BC＝4，
∴BD5，
∵BP＝2，
∴DP＝3，
∴DP＝CD＝3，
∵点E是PC的中点，
∴点E在∠BDC的平分线上；故①正确；
∵PF⊥AB，PG⊥AD，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AP＝FG，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值，
此时∵S△ABDAB ADBD AP，∴3×4＝5×AP，∴AP，故②错误，
12．C
【解析】如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PMEFAP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABCBC APAB AC，
∴AP2.4，
即AP最短时，AP＝2.4，
∴PM的最小值AP＝1.2，
13．B
【解析】连接CM，如图，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形EMFC是矩形，
∴EF＝MC，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值，
∵，
∴．
∴EF＝CM＝2.4．
即EF的最小值是2.4．
14．A
【解析】连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PMAP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PMAP＝1.2．
故选：A．
15．C
【解析】连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC的值最小时，EF的值为最小，
∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），
∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，
∴EF的最小值是线段CH的长，
∵S△ABCAB CHAC BC，
∴CH2.4，
∴EF长度的最小值为2.4．
16．C
【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴MN的最小值为；
17．A
【解析】如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴ABAC＝4，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP＝BP，
∴CPAB42，
∴DE的最小值为2，
18．B
【解析】如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠ACB＝∠DFC＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD最小，则线段EF的值最小，
此时S△ABCBC ACAB CD，即4×35 CDCD，
∴CD＝2.4，
∴EF的最小值为2.4，
19．A
【解析】连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CPEF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积AB×CMAC×BC，
∴CM2.4，
∴CPEFCM＝1.2，
20．C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD6＝3，
在Rt△AOB中，AB5，
如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，
∵S△AOBOA OBAB OP，
∴OP，
∴EF的最小值为，
21．（1）36；
（2）．
解析：（1）∵四边形是矩形，AB＝6，BC＝4，
∴CD＝AB＝6，DA＝BC＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△APB中，
∵∠BAE＝∠PAB，∠APB＝∠ABE，
∴△ABE∽△APB，
∴，
∴AE AP＝AB2＝62＝36，
故答案为：36；
（2）设AB的中点为O，以点O圆心，以AB为直径作⊙O，连接OD交⊙O于点H，连接BH，AH，过点H作HK⊥AD于点K，如图所示：
∴OH＝OAAB＝3，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：DO5，
∴AH＝DO﹣OH＝2，
∵△ABE∽△APB，
∴∠AEB＝∠ABP＝90°，
∴点E在⊙O上，
根据点与圆的位置关系得：DH为最小，
∴当点E与点H重合时，DE为最小，最小值是2，此时AE的长就是线段AH的长，
∵HK⊥AD，
∴∠DKH＝∠DAB＝90°，
∴HK∥AB，
∴△DHK∽△DOA，
∴，
∴，
∴DK，HK，
∴AK＝DA﹣DK，
在Rt△AHK中，由勾股定理得：AH．
22．2．
解析：如图所示，延长AB到H，使得BH＝2AD＝12，连接HN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠NBH＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠ADM，
∵BN＝2DM，BH＝2AD＝12，
∴，
∴△NBH∽△MDA，
∴∠BNH＝∠AMD，
∵NP⊥AM，
∴∠NPM＝90°，
∴∠PMC+∠PNC＝360°﹣∠C﹣∠NPM＝180°，
∵∠AMD+∠PMC＝∠PNC+∠PNB＝180°，
∴∠AMD+∠PNB＝180°，
∴∠BNH+∠PNB＝180°，
∴P、N、H三点共线；
如图所示，取AH的中点O，连接OP，OD，
∵AH＝AB+BH＝16，
∴，
∵DP≥OD﹣OP，
∴当点P在线段OD上时，DP有最小值，最小值为OD﹣OP的值，
在Rt△ADO中，，
∴DP最小值＝10﹣8＝2，
23．解析：连接CP，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠DCB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，∴CP＝EF，
∴要求EF的最小值就是要求CP的最小值，
∴当CP⊥BD时，CP取最小值，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD5，∵S△BCD＝S△ABDAB ADBD CP，
∴3×4＝5CP，∴CP，∴EF的最小值为．
24．4．
解析：∵四边形ABNM与四边形GHNM关于直线l对称，
∴延长BA与HG的延长线交于直线l上的点E，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴△AME∽△BNE，
∴，
∵BN＝3AM，
∴BE＝3AE，
∴BE＝3（BE﹣AB），
∵AB＝4，
∴BE＝3（BE﹣4）＝6，
由对称得HE＝BE＝6，
连接CE，则GH≥CE﹣EH，
∵∠B＝90°，BC＝8，
∴EC10，
∴CH≥10﹣6，
∴CH≥4．
故答案为：4．
25．．
解析：如图，连接BD、AM，
∵AB＝1，BC＝AD＝2，
∴BD，S矩形ABCD＝AB BC＝2，
∴2≤BM，
由条件可知S△ADM＝S△BDMBM DG，
∵2＝S矩形ABCD＝S△ABM+S△BCM+S△ADM，BM AEBM CBM DGBM （AE+CF+DG），
∴AE+CF+DG，
∴m，
∵2≤BM，
∴m随MB的增大而减小，
∴BM时，m最小，m．
故答案为：．
26．2．
解析：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
∵AB＝AF＝9，且AEAF，
∴AE＝AG＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CG2，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2，
∴BE+CF的最小值为2，
27．．
解析：如图①，连接BE，BF，AB＝3cm，BC＝4cm，
设AE＝tcm，则，
∴，
又∵∠A＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠EBF＝90°，
连接BG，DG，BD，
∵∠EBF＝∠EDF＝90°，G为EF的中点，
∴BG＝DG，
∴点G在线段BD的垂直平分线上，
如图②，作线段BD的垂直平分线MN交BD于点O，
∴当CG⊥MN时CG最短．
则△BON∽△BCD∽△CGN，
∴，
在Rt△BCD中，∵5，
∴，，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴CG的最小值为．
28．4．
解析：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
∵AB＝AF＝6，AEEF，
∴AE＝AG＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝4，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CG4，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝4，
29．．
解析：如图，取BC的中点O，连接AO，OE，AE．
∵CA＝CB，CO＝OB，
∴AC＝2OC，
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠EAD，tan∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAO＝∠DAC，
∵，∠ADE＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ACO，
∴，
∴，
∴△AOE∽△ACD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∴点E的运动轨迹是射线OE，当BE⊥OE时，BE的值最小，
∵AC＝4，OC＝2，
∴AO2，
∴sin∠OAC，
∵∠EOB+∠AOC＝90°，∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠EOB＝∠OAC，
∴sin∠EOB＝sin∠OAC，
∴BE的最小值＝OB sin∠EOB．
30．．
解析：如图，取AD都是中点H，连接GH，BH．CH，过点C作CJ⊥BH于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥CB，∠BAH＝90°，
∵AH＝DH，BE＝CE，
∴DH＝BE，
∴四边形BEDH是平行四边形，
∴BH∥DE，
∵AH＝DH，AG＝GF，
∴HG∥DF，
∴BH，GH共线，
∴当点G与点J重合时，CG的值最小，
在Rt△ABH中，BH，
∵S△BCH BH CJ BC AB，
∴CJ．
31．②③④．
解析：如图1，当点P在线段BF上时，过点E作EH⊥BC于H，
∵F为BC中点，
∴CF＝BF＝2，
将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABP＝∠PHE，
∴∠BPA+∠EPH＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
在△BAP和△HPE中，
∴△BAP≌△HPE（AAS），
∴BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，
∴FH＝PH﹣PF＝2﹣（2﹣m）＝m，
∴EH＝FH，
∴∠EFH＝45°，
∴∠EFP＝135°，
CD＝CF＝2，
∴∠DFC＝45°，
∴点D在直线EF上，
当点P在点F右边时，如图2，
过点E作EM⊥BC，交BC的延长线于点M，
在△BAP和△MPE中，
∴△BAP≌△MPE（AAS），
∴EM＝BP＝m，PM＝AB＝2，
∴FM＝FP+PM＝（m﹣2）+2＝m，
∴EM＝FM，
∴∠EFM＝45°，
∵∠DFC＝45°，
∴点D在直线EF上，综上所述：m≠2时，∠EFP＝45°或135°，点E到BC 的距离为m，点D在直线EF上，故①错误，②③正确，
∵点E在DF上运动，
∴当CE⊥DF时，CE有最小值，如图3，
∵CD＝CF，∠DCF＝90°，CE⊥DF，
∴，CE＝DE＝EF，
∴CE的最小值为，故④正确，
32．（1）；
（2）．
解析：（1）当点E落在BD上时，如图1所示：
∵△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形，
∴∠APE＝90°，AP＝PE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝90°，AB∥CD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10，
由三角形的面积公式得：S△ABDBD APAB AD，
∴AP，
∴AP＝PE，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP，
∴DE＝BD﹣BP﹣EP；
（2）过点P作PF⊥AB于点F，FP的延长线交CD于点H，过点E作ET⊥PH于点T，EK⊥CD于点K，如图2所示：
设PF＝x，
∵∠PFB＝∠DAB＝90°，∠PBF＝∠DBF，
∴△PFB∽△BAD，
∴，
∴BF，
∴AF＝AB﹣BF，
∵PF⊥AB，ET⊥PH，
∴∠AFB＝∠PTE＝90°，
∴∠FAP+∠APF＝90°，
∵∠APE＝90°，
∴∠APF+∠TPE＝90°，
∴∠FAP＝∠TPE，
在△FAP和△TPE中，
，
∴△FAP≌△TPE（AAS），
∴PF＝ET＝x，PT＝AF，
∵EK⊥CD，AB∥CD，PF⊥AB，
∴四边形BFHC和四边形EKHT均为矩形，
∴EK＝TH＝BP﹣PF﹣PT，DK＝CD﹣ET﹣BF，
在Rt△DEK中，由勾股定理得：DE2＝EK2+DK2，
∴DE2，
∴当x时，DE2为最小，最小值为，
∴DE的最小值为：．
33．（1）；（2）．
解析：（1）如图所示，点F落在CD上，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE＝∠FED，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△BAE∽△EDF，
∴2，即，
∴ED＝2，AE＝3，DF，
∴CF＝AB﹣DF＝4．
故答案为：；
（2）如图，过点F作 MN∥AB交AD于M，交BC于点N，
类比（1）可得△BAE∽△EMF，
∴2，
设MF＝x，则NF＝4﹣x．
∴，
∴AE＝2x，EM＝2，
∴CN＝DM＝AD﹣EM﹣AE＝5﹣2﹣2x＝3﹣2x，
∴CF2＝FN2+CN2＝（4﹣x）2+（3﹣2x）2＝5（x2﹣4x+5）＝5（x﹣2）2+5，
当x＝2时，CF2的最小值为5，
故CF长的最小值是．
34．2．
解析：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°．
∴∠GDF＝∠DBE．
∵DF＝BE，DG＝BD，
∴△DGF≌△BDE（SAS）．
∴FG＝DE，
∴DE+CF＝FG+CF，
∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG．
∴DE+CF最小值为CG．
∵∠BAD＝90°，
∴BD4，
在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°，
∴GC2，
∴DE+CF最小值为2．
35．1≤m≤4．
解析：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝AB＝m，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝m﹣1，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的线段MN上运动，
当B点与E点重合时，AB的长为1，
当BC经过N点时，BE＝3，此时AB＝4，
∴1≤m≤4时CG有最小值2．
36．解析：如图，连接FH，BH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠ABC＝90°，
∵△EFG是等边三角形，点H是GE的中点，
∴∠FHE＝90°，∠GEF＝60°，
∵∠FHE+∠ABC＝180°，
∴点B，点E，点H，点F四点共圆，
∴∠FBH＝∠FEH＝60°，
∴∠HBE＝30°，
∴点H在∠CBH边BH上移动，
∴当CH⊥BH时，CH有最小值，
∵∠CBH＝30°，CH⊥BH，
∴CHBC，
37．．
解析：如图，连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB13，
当PC⊥AB时，PC最小，
此时，S△ABCAB PCAC BC，
∴PC的最小值，
∴线段EF的最小值为，
故答案为：．
38．3．
解析：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∴EF＝AM，
要使EF最小，只要AM最小即可，
过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，
∴AMAB＝3，
即EF＝3．
故答案为：3．
39．4.8．
解析：连接CP，如图所示，
∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP，
要使EF最小，只要CP最小即可，
当CP⊥AB时，CP最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝10，
由三角形面积公式得：8×610×CP，
∴CP＝4.8，
即EF＝4.8，
故答案为：4.8．
40．3．
解析：如图，连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可知，CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
∵∠B＝30°
∴此时CDBC＝3，
∴EF的最小值为3，
故答案为：3．
41．．
解析：如图，连接DP．
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵PF⊥DC于点E，PE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形DEPF是矩形；
∴EF＝DP，
由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ADCDC ADAC DP，
即4×35 DP，
解得DP．
故答案为：．
42．12．
解析：连接AP，CP，AC，如图所示，
由题意可得：BC＝AD＝9，DC＝AB＝12，∠B＝∠D＝∠BCD＝∠DAB＝90°，
∴，
∵P是线段EF的中点，EF＝6，
∴，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，
∴∠PHC＝∠PGC＝90°＝∠BCD，
∴四边形PGCH是矩形，
∴HG＝PC，
当A，P，C三点共线时，PC最小，
此时，PC＝AC﹣AP＝15﹣3＝12，
∴GH的最小值是12，
故答案为：12．
43．2.4．
解析：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC的值最小时，EF的值为最小，
∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），
∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，
∴EF的最小值是线段CH的长，
∵S△ABCAB CHAC BC，
∴CH2.4，
∴EF长度的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
44．①②④．解析：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；
②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC5，
当AD⊥BC时，AD最小，
∵S△ABCAB ACBC AD，
∴5AD＝12，∴AD，
∴AD的最小值为，故③错误，
④若AD平分∠BAC，则DE＝DF；
所以平行四边形是菱形；故④正确；
所以正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
45．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝12cm，
∴△DMN的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADM的面积﹣△BMN的面积﹣△CDN的面积
＝12×612×t2t（6﹣t）6×（12﹣2t）＝t2﹣6t+36，
即s＝t2﹣6t+36；∵s＝t2﹣6t+36＝（t﹣3）2+27，a＝1＞0，∴S有最小值＝27；（2）分两种情况：①当∠MND＝90°时，∴∠BNM+∠CND＝90°，∵∠BNM+∠BMN＝90°，∴∠BMN＝∠CND，又∵∠B＝∠C，∴△BMN∽△CND，∴，即，解得：t，
∴S＝（3）2+27＝29；②当∠DMN＝90°时，
同①得：△AMD∽△BNM，∴，即，
解得：t＝﹣18，不合题意舍去；
综上所述，△DMN的面积为29．
46．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠EAP＝45°，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，
则P′C最小，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠EAP，
∵∠DAP＝∠EAP，
∴∠DAP＝∠DFA＝45°，
∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，
∴P′C＝FC
∴PC的最小值为．
47.（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
连接AD，
∵四边形AEDF是矩形，
∴AD＝EF，
当AD⊥BC时，AD最小，即EF最小，
∵S△ABCAB AC，
∴AD，
∴EF的最小值为．
48.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵EF⊥BO，EG⊥AO，
∴∠EFO＝∠EGO＝90°，
∴四边形EFOG是矩形；
（2）解：如图，连接EO，
∵四边形EFOG是矩形，
∴EO＝FG，
当EO⊥AB时，EO最短，即FG最短，
∵，，
∴AB5，
当EO⊥AB时，，
即，
∴，
∴FG的最小值为．
49.解：（1）四边形OEPF是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠EOF＝90°，
∵PE⊥OA、PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EOF＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AOAC10＝5，BOBD5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB，
由（1）得：四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
此时，S△ABOOA OBAB OP，
∴OP，
∴EF的最小值为．
50.（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，
∴四边形ECFD为平行四边形，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFD为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，
∴AB2；
∵四边形ECFD为矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABCBC ACAB CD，
即2×42 CD，
解得CD，
∴EF．
51.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠GOF＝90°，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠EGO＝∠GOF＝∠EFO＝90°，
∴四边形OGEF为矩形；
（2）解：如图，连接OE，
由（1）可知，四边形OGEF为矩形，
∴GF＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝8，OD＝OB6，
∴∠COD＝90°，
∴CD10，
当OE⊥CD时，OE最小，则GF最小，
此时，S△CODCD OEOC OD，
∴CD OE＝OC OD，
∴OE，
∴GF的最小值为．

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