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第五单元数学广角—鸽巢问题（知识梳理+拔高训练）一
知识梳理
知识点一：鸽巢问题（1）
1.把（n＋1）个物体任意放进n个鸽巢中（n是非0自然数），一定有一个鸽巢中至少放进了2个物体。
2.把m个物体放入n个抽屉里（m＞n），如果 m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。
知识点二：鸽巢问题（2）
运用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的方法：
1.分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即什么看作“鸽巢”，什么看作“分放的物体”。
2.摸出的球数=颜色种数＋1。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）向阳小学六年级共有379人，其中六（1）班有41名学生，六年级至少有 　　人是在同一天过生日，六（1）班至少有 　　人是在同一个月过生日。
2．（2分）袋中有同样大小的木质红球、黄球和蓝球各4个，一次至少摸出 　　个球，才能保证其中有3个是同色的。
3．（2分）4道单项选择题，每题都有、、、四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有 　　人的答题结果是完全一样的。
4．（2分）箱子里有8个黄球、8个蓝球和8个红球，任意从箱子里取出一个，要保证取出的球一定有2个同色，至少要取 　　个球；要保证取出的球一定有一个是红色的，至少应取 　　个。
5．（2分）实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有 　　名队员。
6．（2分）口袋里装有黑袜子10只、白袜子11只、红袜子9只、黄袜子8只，随机从中最少 　　只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
7．（2分）从这样的10张数字卡片中，至少要抽出 　　张卡片，才能保证有奇数又有偶数。
8．（2分）一副扑克牌有4种花色（大小王除外），每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽 　　张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
9．（2分）一批9个零件中有3个次品，要保证取出的零件中至少有1个合格品，至少应取出 　　个零件。
10．（2分）四年级有208名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种，问至少有 　　学生订阅的杂志种类相同。
二、判断题（共10分）
11．把10个衣架挂在3个挂钩上，不管怎么挂，总有一个挂钩上至少挂了4个衣架。( )
12．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
13．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，一个面只涂一种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。( )
14．把43个乒乓球装进8个袋子里，其中总有一个袋子至少要装6个球。( )
15．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( )
三、选择题（共10分）
16．一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（ ）个苹果。
A．3 B．10 C．12 D．15
17．把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的珠子（珠子的大小、形状完全相同）各10颗放到一个袋子里。至少取出几颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子？（ ）
A．7颗 B．8颗 C．10颗 D．11颗
18．盒子里有8个黄球，5个红球，一次摸出一球（摸出后不放回），至少摸（ ）次一定会摸到红球。
A．9 B．5 C．8 D．6
19．把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起，如果闭上眼睛拿，最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带？（ ）
A．2根 B．3根 C．4根 D．5根
20．青山小学四年级组有14位老师，他们中至少有（ ）人在同一个月过生日。
A．4 B．3 C．2 D．1
四、计算题（共6分）
21．（6分）解比例。
（1）＝4∶2.4 （2）∶＝15∶ （3）＝
五、作图题（共6分）
22．（6分）在圆圈中画●，把这个●放在两个信封里，不管怎么放，总有一个信封里至少有4个●。
六、解答题（共48分）
23．（6分）把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）呢？
24．（6分）把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？
25．（6分）把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道这是为什么吗？
26．（6分）将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？
27．（6分）学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
28．（6分）有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。
①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？
②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？
29．（6分）箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
30．（6分）38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？
参考答案
1．【分析】考虑最坏的情况，假设379人是在闰年的不同日期出生的，则至少366人生日不相同，剩下的人中，至少有1人的生日是366天中的某一天，即至少有（人在同一天过生日。同理可求六（1）班至少有几人是在同一个月过生日。
【解答】解：（人（人
（人
（人（人
（人
答：六年级至少有2人是在同一天过生日，六（1）班至少有4人是在同一个月过生日。
故答案为：2；4。
【点评】本题考查了抽屉原理的应用。
2．【分析】由题意可知，袋中共有红球、黄球和蓝球各4个，最坏的情况是：摸出6个，三种颜色各有2个，此时只要再任意摸出一个球，就能保证其中有3个是同色的。
【解答】解：（个
答：一次至少摸出7个球，才能保证其中有3个是同色的。
故答案为：7。
【点评】本题考查了抽屉原理问题之一，要注意从最不利情况进行分析解答。
3．【分析】4道单项选择题，每题都有、、、四个选项，共有（种不同的选法，看作256个抽屉，把800名学生看作800个元素，然后根据抽屉原理解答即可。
【解答】解：（种
（人（人
（人
答：至少有4人的答题结果是完全一样的。
故答案为：4。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
4．【分析】从箱子任意里取出一个，要保证取出的球一定有2个同色，根据最糟糕的情况，每种颜色的球各取出1个，此时再取1个，即至少要取4个球保证取出的球一定有2个同色；同理，要保证取出的球一定有一个是红色的，最坏的情况是8个黄球、8个蓝球全部取出，此时只需再取1个，即至少应取17个。由此解答即可。
【解答】解：（个
（个
答：任意从箱子里取出一个，要保证取出的球一定有2个同色，至少要取4个球；要保证取出的球一定有一个是红色的，至少应取17个。
故答案为：4，17。
【点评】此题考查抽屉原理的应用。
5．【分析】用借的篮球的总数减去，再除以3，即可求出篮球队最多有多少名队员。
【解答】解：
（个
（名
答：篮球队最多有9名队员。
故答案为：9。
【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
6．【分析】要想摸出的袜子有2只同色的，根据最不利原则，当摸出黑色、白色、红色、黄色袜子各1只后，此时再任意摸出一只袜子，摸出的袜子一定有2个同色的，所以至少要摸只袜子。
【解答】解：（只
答：随机从中最少5只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
故答案为：5。
【点评】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。
7．【分析】中奇数有5个，偶数有5个，用偶数或者奇数的个数再加上1，即可求出至少要抽出几张卡片，才能保证有奇数又有偶数。
【解答】解：（张
答：少要抽出6张卡片，才能保证有奇数又有偶数。
故答案为：6。
【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
8．【分析】把4种花色看作4个抽屉，利用抽屉原理1即可解答。
【解答】解：建立抽屉：4种花色看作4个抽屉，
考虑最差情况：抽出12张扑克牌，每个抽屉都有3张，那么在任意摸出1张，无论放在哪个抽屉都会出现一个抽屉里有4张牌，
所以（张
答：至少要抽13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
故答案为：13。
【点评】此题考查了抽屉原理的灵活运用，这里要注意考虑最差情况。
9．【分析】根据题干，考虑最差情况，取出3个零件全是次品，再任意取1个，那么取出的零件中就至少有1个合格品，据此解答。
【解答】解：（个
答：所以至少应取出4个零件。
故答案为：4。
【点评】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析进而得出结论。
10．【分析】订阅杂志中的一种有3种选法、订阅二种有3种选法、订阅三种有1种选法，共有（种；把7种选法看作7个抽屉，把订阅杂志的人数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放29个元素，共需要203个，还余5个，无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里至少有（个，据此解答。
【解答】解：（名（名
（名
答：至少有30名学生订阅的杂志种类相同。
故答案为：30名。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。
11．√
【分析】把10个衣架挂在3个挂钩上，10÷3＝3（个） 1（个），即平均每个挂钩上挂3个衣架，还剩下1个衣架，根据抽屉原理可知，总有一个挂钩上至少挂3＋1＝4个。据此解答。
【详解】10÷3＝3（个） 1（个）
3＋1＝4（个）
故答案为：√
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
12．×
【分析】由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
【详解】4＋1＝5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为：×
13．√
【分析】此题根据抽屉原理，把两种颜色看作两个抽屉，把6个面看作6个元素，那么不管怎么涂至少有三个面的颜色相同。
【详解】6÷2＝3（个）
则不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
故答案为：√
【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
14．√
【分析】根据题意，先把43个乒乓球平均放进8个袋子里，每个袋子里放5个，还剩下3个，这3个乒乓球，无论放进哪个袋子里，总有一个袋子至少有6个乒乓球。
【详解】43÷8＝5（个）……3（个）
5＋1＝6（个）
总有一个袋子至少要装6个球。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
15．√
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。
【详解】5×（3－1）＋1
＝5×2＋1
＝10＋1
＝11（本）
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
16．C
【分析】由于盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，如果一次取10个，最差情况为这10个苹果全是青苹果，所以只要再多取2个苹果，就能保证取到2个红苹果。据此解答。
【详解】10＋2＝12（个）
即至少要摸出12个苹果。
故答案为：C
【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。
17．B
【分析】把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色看做7个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况，摸出7个球，分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫不同的颜色，再任意摸出1个球即可。
【详解】7＋1＝8
所以，至少取出8颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子。
故答案为：B
18．A
【分析】根据题意，盒子里有8个黄球，5个红球，运气最差的情况为先摸出的8个球都是黄球，此时再从盒子里任意摸出一个，一定是红球，所以至少要摸（8＋1）次一定会摸到红球。
【详解】8＋1＝9（次）
至少摸9次一定会摸到红球。
故答案为：A
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
19．C
【分析】根据抽屉原理，如果取出的头3根分别是3种不同的颜色，那么第4根取出后，能得到一双同色的鞋带。据此解题。
【详解】3＋1＝4（根）
所以，如果闭上眼睛拿，最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。
故答案为：C
【点睛】本题考查了抽屉原理，关键是要从最差情况去考虑。
20．C
【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是14，抽屉数是12（一年有12个月），据此计算即可。
【详解】14÷12＝1（人）……2（人）
1＋1＝2（人）
他们中至少有2人在同一个月过生日。
故答案为：C
【点睛】从最不利的情况出发考虑，最不好的情况就是其中12个人的出生月份都不同。
21．（1）＝0.12；（2）＝8；（3）＝25
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
（1）先根据比例的基本性质把比例方程转化成4＝0.2×2.4，然后方程两边同时除以4，求出方程的解；
（2）先根据比例的基本性质把比例方程转化成＝15×，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（3）先根据比例的基本性质把比例方程转化成1.2＝75×0.4，然后方程两边同时除以1.2，求出方程的解。
【详解】（1）＝4∶2.4
解：0.2∶＝4∶2.4
4＝0.2×2.4
4＝0.48
＝0.48÷4
＝0.12
（2）∶＝15∶
解：＝15×
＝6
＝6÷
＝6×
＝8
（3）＝
解：1.2＝75×0.4
1.2＝30
＝30÷1.2
＝25
22．见详解
【分析】至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）；本题中，抽屉数是2，不管怎么放，总有一个信封至少有4个●，则被分配的物体数是2×（4－1）＋1，据此求出●的数量，画图即可。
【详解】2×（4－1）＋1
＝2×3＋1
＝6＋1
＝7（个）
【点睛】本题考查抽屉原理的应用，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
23．4根；6根
【分析】考虑最不利的情况，红、蓝、黄各拿一根，再拿一根，无论什么颜色，都可保证一定有2根同色的筷子；根据前边的分析，拿4根能保证一定有2根同色的筷子，假设前4根是2红1蓝1黄，再拿2根，无论是红蓝、红黄、蓝蓝、蓝黄、还是黄黄，都可再组成一双同色的筷子，据此分析。
【详解】3＋1＝4（根）
4＋2＝6（根）
答：从中最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子，从中最少拿出6根才能保证一定有2双不同色的筷子。
24．5个
【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。
【详解】4＋1＝5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
25．见详解
【分析】总有1个笔筒里至少有2支铅笔，总有表示一定发生，至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2。①采用枚举法列举所有可能发生的情况；②采用假设法，尽可能平均分，则每个笔筒里铅笔的数量最少，据此解答。
【详解】总有1个笔筒里至少有2支铅笔，总有表示一定发生，至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2，即一定有1个笔筒里铅笔的数量大于或等于2支。
①枚举法：把4支铅笔放进3个笔筒中，一共有四种放法，每种放法中，一定有1个笔筒中至少有2支铅笔。
②假设法：把4支铅笔放进3个笔筒中，如果每个笔筒中放1支铅笔，那么3个笔筒放了3支铅笔，还剩下1支，放入任意1个笔筒中，那么这个笔筒中至少有2支铅笔。
综上所述，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。
26．2个；4个
【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】9－8＝1（个）
25÷8＝3（组）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果；将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了4个苹果。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
27．5人
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
28．①4只；②10只
【分析】①要求至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双），要考虑到各种可能性的发生，因为有红、绿、紫三种颜色，有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
②要求至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子，从最极端情况分析：假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只，这时再摸出1只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【详解】①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只，
所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。
②
（只）
答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【点睛】此题主要考查了抽屉原理的应用，要熟练掌握，解答此题应从最极端情况进行分析。
29．76张
【分析】根据题意，要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡，按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张；根据最不利原则即运气最差，把数量多的卡依次摸出来，即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡，此时再任意摸一张，一定是黄卡，这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡；据此解答。
【详解】30＋25＋20＋1
＝55＋20＋1
＝75＋1
＝76（张）
答：最少要从箱子里摸出76张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采取最不利原则解题。
30．7名
【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。
【详解】38÷6＝6（名）……2（名）
6＋1＝7（名）
答：至少有7名学生的成绩相同。
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
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