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中档突破6 勾股定理与分类讨论
1.在△ABC 中, 高 AD=4,则底边 BC 的长是 .
2.在△ABC 中, ,BC 边上的高为12,则 的面积为 .
3.是等腰三角形， 若 的面积为10,则 BC 的长为 .
4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),C(c,0),且满足
(1)求证:△ABC 是直角三角形;
(2)在y轴上是否存在点 P，使得 为等腰三角形 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
中档突破6 勾股定理与分类讨论
1.11 或5 解:如图1所示,当△ABC 为锐角三角形,
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,
得
在 Rt△ACD中,根据勾股定理,
得
此时BC=BD+DC=8+3=11;
如图2所示，当△ABC 为钝角三角形，
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,
得
在 Rt△ACD 中,根据勾股定理,
得
此时BC=BD-DC=8-3=5,
综上,BC 的长为11或5.故答案为11或5.
2.126 或66 解:分两种情况:①当∠B 为锐角时,如图1所示,
在 Rt△ABD 中, 在 Rt△ADC 中,( ∴BC=BD+CD=21,
∴△ABC 的面积为
②当∠B 为钝角时,如图2所示,BC=CD-BD=16-5=11,所以△ABC 的面积为 故答案为126或66.
3.4 或 2 解：如图，由△ABC 的面积为10，可求得高BD=4,
当高 BD 在△ABC 的内部时,
当高 BD 在△ABC 的外部时,
故答案为4 或2
4.解: ∴△ABC 为直角三角形;
(2)当AP=AB时,OP=OB=2,∴P(0,-2);
当 时，
当 PA=PB时,设.P(0,t),. ∴t=-3,∴P(0,-3).中档突破8 勾股定理与立体图形中的最值
1.如图，圆柱形玻璃杯高为7 cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B 点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm 的点 A 处，则该蚂蚁从外壁A 处到C 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
2.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3c m且与蜂蜜相对的点A处，则该蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
3.如图，一只蚂蚁沿着棱长为3的正方体表面从顶点 A 出发，经过3个面爬到顶点 B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径长为 .
4.如图,长方体的长,宽,高分别为8cm,4 cm,5cm ,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm.
中档突破8 勾股定理与立体图形中的最值
解：如图，将杯子侧面展开，连接AC，则AC即 为最短距离，
答：蚂蚁从外壁A 处到C 处的最短距离为 .故答案为
2.20 解：将圆柱体侧面展开，侧面展开图如图所示，
作点 A 关于PS 的对称点A',
连接A'B 交PS 于点C,
则蚂蚁从点 A 到点C，再到点 B，
距离最短为A'B的长，
可求
解：将正方体展开如图所示，所以蚂蚁运动的最短路径为
解：如图1, 如图2,AB=13 cm;如图3，
∴蚂蚁爬行的最短路径的长是中档突破1 勾股定理及逆定理
1.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.则当a=24时，b+c的值为( )
A.250 B.288 C.300 D.574
a 6 8 10 12 14
b 8 15 24 35 48
c 10 17 26 37 50
2.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两角边分别是a，b，且( 大正方形的面积是9，则小正方形的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，阴影部分表示以 Rt△ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作 S 和S .若 则△ABC 的周长是( )
A.12.5 B.13 C.14 D.15
4.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以直角三角形的三条边为边，在直线 AB 同侧分别作正三角形，已知 则△ABC 的面积是 .
5.如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .
6.如图,在等腰直角. 中， D是边 AC 的中点,连接 BD,E 为AC 延长线上的一点,连接BE, ,则CE 的长为 .
7.若 两直角边上的中线分别是AE 和BD，则 与 的比值是 .
8.如图,在正方形ABCD 中, ,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且 DF=3CF.求证:AE⊥EF.
9.如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,点D 在CB 延长线上,连接AD.若AD=20,求△ABD 的面积.
10.如图,在四边形 ABCD 中, AD=24 cm,∠ABC=90°.
(1)求∠ADC 的度数;
(2)求四边形ABCD 的面积.
中档突破1 勾股定理及逆定理
1. B 解：根据表格中的数据可知 则 故 当a=24时，可求得b=143,c=145,则b+c=288.
2. A 解：设直角三角形的斜边为c，则 ,解得 ab=3, 故选 A.
3. C 解：由勾股定理，得
64,∴AC+BC=8(负值舍去),∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=8+6=14,故选C.
4.11 解:设S△ABC =x,左右两边空白部分的面积分别为y,z,由 得
5.49 解:如图,设正方形A,B,C,D,E,F 的边长分别为a,b,c,d,e,f,
由勾股定理可得
∴正方形A,B,C,D的面积之和为49,故答案为49.
解：∵△ABC 是等腰直角三角形， 在 Rt△BDE 中,∠E=30°,∴BE=2BD=2 故答案为
7. 解：由勾股定理可得. ①+②得
即 与AB 的比值是 .故答案为
8.解:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∵DF=3CF,∴CF=1,DF=3,在 Rt△ADF 中,根据勾股定理，可得 同理
∴△AEF 是直角三角形,∴∠AEF=90°.∴AE⊥EF.
9.解:在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,
即
∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°.
在 Rt△ADC中,∠C=90°,
∴BD=DC-BC=16-9=7,
∴△ABD 的面积
10.解:(1)连接AC,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,
∵在△ADC 中,CD=7,AD=24,
(2)由(1)知,∠ADC=90°,∴四边形 ABCD 的面积=中档突破7 勾股定理与网格作图
类型一 基本作图与计算
1.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形.
(1)在图1网格中画出长为 的线段AB；
(2)在图2网格中画出腰 DE，DF 的长为 ,面积为3的等腰△DEF;
(3)利用图3网格，画三边长分别为 的三角形，并直接写出其面积为 .
2.如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)在图1中,找一格点 P,使得CP⊥AC;
(2)如图1,在BC下方找一格点D,用无刻度直尺画出∠BDC=90°且△BDC 的面积等于5;
(3)若△ABC 有两条边分别为 ，面积为3.5，请直接写出第三边的长度.
3.【问题背景】在△ABC 中,AB,BC,AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积.
(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 ；
【思维拓展】(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.若△ABC 三边的长分别为 a, 请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；
【探索创新】(3)若△ABC 三边的长分别为 且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积.
类型二 将军饮马型作图与计算
1.在10×10网格中，每个小正方形的边长为1，点 A 和直线l的位置如图所示.
(1)将点 A 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 B，在图1网格中标出点B，并写出线段AB 的长度 ；
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出 PA+PB 的最小值 ;
(3)C为直线l上的格点，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，在图2网格中标出点C，写出线段 AC 的长度 .
2.在10×10网格中，每个小正方形的边长为1，点 A 和直线l的位置如图所示.
(1)将点 A 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 B，在网格中标出点B；
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点 P，使PA+PB 的值最小，保留画图痕迹，并直接写出 PA+PB 的最小值;
(3)结合(2)的画图过程并思考，直接写出 的最小值.
3.如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABD 的顶点均在格点上，E为线段AD 上一点.仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.
(1)平移 AD 至BC,使点 A 对应点为点B,连接CD;
(2)在 BC上找一点F,使CF=AE;
(3)在 BD,AB 上分别找点M,N,使AM+MN 最小.
类型三 无刻度直尺作图
1.如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，如：△ABC 是格点三角形.请在给定网格中仅用无刻度直尺画图(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果).
(1)在图1中画出△ABC 中AC 边上的高BD;
(2)在图1中过点 A 画直线l，使直线l平分△ABC 的面积；
(3)在图2中画出△ABC 的角平分线CE;
(4)在图2中的AC边上画出点F,连接BF,使BF=BC.
2.如图是由边长为1的小正方形构成6×6的网格，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，D是格点，E是AD 与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示.
(1)直接写出图中AE 的长为 ；
(2)在图1中画出等腰Rt△EBG,使∠EBG=90°;
(3)在图2中先平移线段AB 至 DC(A 对应D,B 对应C),再在线段DC 上画一点 H,使得EH=AE+CH.
3.如图是边长为1的小正方形组成的5×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点均在格点上.
(1)直接写出△ABC 的形状;
(2)仅用无刻度的直尺画图(画图结果用实线，画图过程用虚线)：
①在图1中的AB 上画点D,连接CD,使CD=AD;
②在图1中的AC 上画点E,连接 DE,使
③在图2中的 BC 上画点G,使∠BAG=45°.
中档突破7 勾股定理与网格作图
类型一基本作图与计算
1.解:(1)如图所示;
(2)如图所示；
(3)如图所示，面积为4.
2.解:(1)如图1中,点 P 即为所求;
(2)如图1中,△BCD 即为所求;
(3)如备用图中,△ABC 即为所求,第三边的长度为 或
3.解: (3)图略，
类型二将军饮马型作图与计算
1.解:( (3)存在两个符合条件的点C, 或.2
2.解:(1)如图;
(2)6
(3)7
3.解:(1)如图,线段 BC,CD 即为所求;
(2)如图，点F 即为所求；
(3)如图,点M,点N 即为所求.
类型三 无刻度直尺作图
1.解:(1)如图1中,线段 BD 即为所求;
(2)如图1中，直线l即为所求；
(3)如图2中，线段CE 即为所求；
(4)如图2中，点F 即为所求.
2.解:(1 故答案为
(2)在图1中,等腰 Rt△EBG 即为所求;(3)在图2中,线段 DC,点 H 即为所求.
3.解:(1) 90°,∴△ABC 是直角三角形;
(2)①如图1中,点 D 即为所求;②如图1中,点 E 或点E'即为所求；③如图2中，点G 即为所求.中档突破5 勾股定理与面积
1.如图，把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点 C 落在C'的位置上,BC'交AD 于点E,已知( 则 的面积为 .
2.如图,在四边形 ABCD 中,
(1)直接写出 AC 的长为 ;
(2)求四边形ABCD 的面积.
3.如图,在四边形 ABCD 中,
(1)求 的度数；
(2)求四边形 ABCD 的面积.
4.如图,在四边形 ABCD 中, ，求四边形ABCD 的面积.
中档突破5 勾股定理与面积
1.6 解:由折叠知,∠EBD=∠CBD=∠EDB,
∴设BE=ED=x,则(
在 Rt△EC'D中,
2.解:(1)∵AB=2 ,BC=4 ,∠B=90°, 故答案为10；
∴△ACD 是直角三角形,∴∠D=90°,
∴四边形 ABCD 的面积为44.
3.解:(1)连接AC,∵∠B=90°,AB=BC=2,
∴AC=2 ,∠BAC=45°,∵AD=1,CD=3,
∴△ADC 是直角三角形,
∴∠DAC=90°,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°;
(2)在Rt△ABC中, 在 Rt△ADC中,
4.解:过点 A 作AE⊥CB交CB 的延长线于点 E,过点 D 作DF⊥BC 交BC 的延长线于点F,中档突破2 勾股定理与实际问题
1.如图,一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上,测得AO=8m.若梯子的顶端沿墙面向下滑动 2m ，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2m ，则梯子AB 的长度为( )
A.10 m B. 6m C.7 m D.8 m
2.如图，小巷左右两侧是竖起的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 BC 为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC=2.4m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为( )
A.2. 5m B.2. 6m C.2.7m D.2.8m
3.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闽(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1，2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2 寸，点 C 和点 D 距离门槛AB 都为1尺(1尺=10寸),则AB 的长是( )
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
4.如图，一根直立于水中的芦苇BD 高出水面1m ，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C处，且C 到BD 的距离AC 为3m ，求芦苇BD 的长度.
中档突破2 勾股定理与实际问题
1. A 解:设OB=xm,则OD=(x+2)m.∵AB=CD,
2. C 解:在 Rt△ACB 中, 在 Rt△A'BD中, ∴BD=2(m),∴CD=CB+BD=2.7(m),∴小巷的宽为2.7m.
3. C 解:过点 D 作DM⊥AB 于点M,
设AB 的中点为O，则 寸，设AD=AO=x寸,
∴AB=OA+OB=2AO=101寸.
4.解:设AB=x m,则BC=BD=(x+1) m.
∴x=4,∴BD=4+1=5(m).
答:芦苇BD 的长度为5m .中档突破4 双勾列方程
1.如图,已知△ABC,AB=13,AC=15,BC=14,求△ABC 的面积.
2.如图,笔直的公路上A,B 两点相距25 km,C,D 为两村庄, AB 于点 A,CB⊥AB 于点 B,已知. ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E 应建在离点A 多远处
3.如图,AD 是 的中线， ,则 BC长为 .
4.如图,折叠矩形 ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边上的点 F处,AE 是折痕.
(1)如图1,若AB=4,AD=5,求折痕AE 的长;
(2)如图2,若 且 EC:FC=3:4,求矩形 ABCD 的周长.
中档突破4 双勾列方程
1.解:过点A 作AD⊥BC于点D,设BD 的长为x,则CD 的长为14-x,由.
解得x=5,
,解得AD=12,
即△ABC 的面积是84.
2.解:∵要使得C,D 两村到E站的距离相等,∴DE=CE.
∵DA⊥AB 于点A,CB⊥AB 于点B,∴∠A=∠B=90°,
设AE=x,则BE=AB-AE=25-x,
解得x=10,即AE=10.
∴收购站E 应建在离点 A10 km处.
解:倍长A D至 点E,连B E,过点B 作 B H⊥AE于点 H,易证△ADC≌△EDB,
∴∠E=∠CAD=60°,设 BE=AC=2x,
则AB=2x+2,EH=x,AH=AE-EH=8-x,
4.解:(1)由折叠可知,AD=AF=5,DE=EF,
∴FC=BC-BF=5-3=2,设EF=DE=x,则CE=4-x,
解得
(2)设EC=3x,则 ∴DE=5x,∴AB=CD=8x,设AF=AD=y,则BF=y-4x,在 Rt△ABF 中,.
,解得 y=10x,在 Rt△ADE 中,
解得 或 (舍去),
∴AD=10x=2,AB=8x=
∴矩形ABCD 的周长为中档突破3 单勾列方程
1.如图,在矩形ABCD 纸片中,E 为AD 上一点,将 沿CE 翻折至△CFE.若点 F 恰好落在AB 上, ,则AE 的长为( )
A.9 D.4
2.如图,在 Rt△ABC 中, ，DE 垂直平分AC，垂足为O,AD∥BC,且AB=5,BC=12,则AD 的长为 .
3.如图,将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3：1，则 的值为 .
4.如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 上一点,将 沿CE 翻折至 EF 交AB 于点G,CF 交AB 于点H,且 若 ，则AE 的长是
中档突破3 单勾列方程
1. D 解:设AE=x,则DE=AD-AE=BC-AE=9-x,∴EF=DE=9-x,在 Rt△AEF 中, 解得x=4,
∴AE=4,故选 D.
2. 解:连接AE,设AE=EC=x.在 Rt△ABE中, 易证AD=EC,
3. 解:由折叠可知,ED'=BE,∠D'EF=∠BEF,
∵AD'∥BC',∴∠D'EF=∠EFB,∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF,设
解得
4. 解:在△AGE 与△FGH 中,
∴△AGE≌△FGH(ASA),∴FH=AE,EG=GH,
∴AH=DE=EF,设AE=x,则AH=DE=EF=6-x,
∴BH=10--(6-x)=x+4,CH=10-x,
故答案为

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