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数学试题（一模）
2024--2025学年初中中考复习备考
一、单选题
1．下列四个数中最小的是（ ）
A． B． C．0 D．5
2．若，则★代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．一次函数，函数y的值随x值的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
6．如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ）
A．4 B． C． D．
7．如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的顶点为点A，抛物线与抛物线关于点成中心对称．若抛物线经过点A，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．化简： ．
10．分解因式：x2-5x= ．
11．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ．
12．已知点在轴上方，则的取值范围是 ．
13．如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是 ．
14．如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则 °．
15．如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ．
16．“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为 ．
三、解答题
17．解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
18．先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为的值代入求值．
19．在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是矩形，对角线、交于点，于点．
(1)用直尺和圆规在下方作，使得，且射线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空．
证明：四边形是矩形，
，且互相平分．
，①_____
．
是等腰三角形．
又，
②_____．
，③_____，
．
④_____．
又，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是⑤_____．
20．当前AI市场十分火爆，众多优秀模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息．
甲款评分数据中组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89；
乙款评分数据中组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87，
甲款机器人满意度评分乙款机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题：
甲款机器人满意度评分条形统计图
乙款机器人满意度评分扇形统计图
甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表
设备 平均数 中位数 众数
甲款 85 88
乙款 85 86
(1)上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据分析，你认为哪款，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？
21．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本．
(1)求、两种书籍分别购进多少本？
(2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？
22．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向运动，当点运动到点时停止运动，过点作于点．设点运动的路程为，线段与的长度和记为，线段与的比值记为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23．四月阳光明媚，正是草莓成熟时．人们走进草莓园；采摘鲜红欲滴的草莓，品尝春天的甜蜜滋味，乐趣无穷．清明假期小依一家去某草莓采摘基地游玩，该基地里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点在景点的正南方向，且位于景点的北偏西方向，米；景点在景点的正东方向500米处，且在景点的东南方向；景点在景点的正北方向，且在景点的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求景点、之间的距离（结果保留根号）；
(2)爸爸和小依同时从景点出发，爸爸沿路线步行到景点处，小依沿路线步行到景点处．已知爸爸的步行速度为60米/分，小依的步行速度为90米/分，请通过计算说明小依和爸爸谁先到达景点？（结果精确到0.1分）．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值；
(3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
25．在中，，，点为直线上一点，连接．
(1)如图1，点在线段上，点在线段上，若，，分别过点作的垂线、点作的垂线交于点，连接，求的长；
(2)如图2，点在延长线上，为边上一点，连接，作交延长线于点，作于点．若平分，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为直线下方一点，连接，，点在线段上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，直接写出线段的长度的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C D B D
1．A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较即可得出答案．
【详解】解：，
四个数中最小的是．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了整式运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用单项式乘以单项式计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的解集即可解答．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
m的值可以是．
故选：C．
6．D
【分析】连接交于，易证得，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：连接交于，如图：
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
中，，，
，
，
，，
，
，
即，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．
7．B
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，作出辅助线构造圆内接四边形是解题的关键．连接，利用圆内接四边形的性质得到，再利用圆周角定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
，
又，
．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征．首先求出抛物线的顶点坐标，根据题意求得抛物线的顶点坐标，得出二次函数解析式，把的坐标代入即可解得的值．
【详解】解：抛物线，
顶点，
抛物线与抛物线关于成中心对称，
抛物线的开口大小相同，方向相反，顶点为，
∴的解析式是：，
抛物线经过点，
，解得，
故选：D．
9．
【分析】本题考查了合并同类项，计算即可解答，熟知计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】直接提取公因式x分解因式即可．
【详解】解：x2﹣5x=x（x﹣5）．
故答案为x（x﹣5）．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
11．6
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6．
12．/
【分析】本题考查了坐标系中点的坐标符号特点和一元一次不等式的解法，熟练掌握坐标轴上的点的坐标特点和各象限内的点的坐标特点是解题的关键．
根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式求解即可．
【详解】解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式计算即可.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，则抽到数字为4的扑克牌的概率是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平行线的性质．用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
先根据平行线的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
15．
【分析】本题考查了复杂作图-作垂直平分线，解直角三角形，勾股定理，求得和，即可解答，熟练利用三角函数求解是解题的关键．
【详解】解：由作图可得为的垂直平分线，
点是的中点，
对角线，
，
，
，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，设，则可得，，分类讨论，即三种情况，列方程即可解答，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】解：设，
把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，
，，
，，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
故也不成立，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
17．-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解.
【详解】解：，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：-1，0，1.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
19．(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤菱形
【分析】（1）按作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）由矩形的性质可证，证明得，可证四边形是平行四边形，结合可证，平行四边形是菱形．
【详解】（1）如图，
（2）证明：四边形是矩形，
，且互相平分．
，①
．
是等腰三角形．
又，
②．
，③，
．
④．
又，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是⑤菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤菱形．
【点睛】本题考查了尺柜作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
20．(1)，87，15，图见解析
(2)见解析
(3)130人
【分析】（1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出A的人数补全条形统计图；
（2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可；
（3）根据用样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88，
∴分．
∵乙款A和|D组人数均为：，B组人数为：9，C组人数为：，
∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了5次，
∴．
∵，
∴．
甲款A组人数：，
如图，
故答案为：，87，15；
（2）因为甲款评分的中位数高于乙款评分的中位数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱；或因为甲款评分的众数高于乙款评分的众数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱；
（3）人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键．
21．(1)种书籍购进本，两种书籍购进本
(2)48元
【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键．
（1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解；
（2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解．
【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得：
，解得，
（本），
答：种书籍购进本，两种书籍购进本；
（2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得：
，解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：每本种书籍的售价是48元．
22．(1)（）；（）
(2)见解析，性质：在上随的增大而减小，在上，随的增大而减小；
(3)或
【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理以及函数表达式的确定和函数图象相关知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例关系求出函数表达式，再根据表达式绘制图象并分析性质．
（1）先利用勾股定理求出斜边的长度，再通过相似三角形的性质分别求出关于的函数表达式．
（2）根据函数表达式绘制函数图象，并分析其性质．
（3）结合函数图象确定时的取值范围．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
，
已知，则．
，
．
，
自变量的取值范围是，
已知，
，
自变量的取值范围是；
（2）函数图象如图所示：
，
性质：在上随的增大而减小，
在上，随的增大而减小；
（3）通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的的取值范围，大致为或．
【点睛】（2）绘制函数图象并分析性质
－绘制的图象当时，；当时，，解得。通过这两个点和可画出一次函数的图象，－绘制的图象
采用列表，描点，连线的方法，例如当时，；当时，等，在这个区间内画出反比例函数的图象，性质：在上，随的增大而减小。
（3）确定时的取值范围
通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的的取值范围即可。
23．(1)米
(2)小依先到达景点D
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．
（1）延长、交于点O，在和中，解直角三角形求解即可；
（2）过E作于F，设，在中，，，在中，，，由列方程求得，进而可求得两人的路程和，求出两人所用时间即可求解．
【详解】（1）解：延长、交于点O，
由题意，，，，米，米
在中，米，米，
∴米，
在中，米，
答：景点、之间的距离为米；
（2）解：过E作于F，
由题意，，，
设，
在中，，，
在中，，，
由解得，
∴米，米，
∵米，米，
∴米，
∴爸爸所用时间为（分），
小依所用时间为（分），
∵，
∴小依先到达景点D．
24．(1)
(2)
(3)和，过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；
（2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线的表达式为，过P作轴交直线于H，则可得，当的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可；
（3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：将、代入中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，由得，，
∴，，
当时，，则，，
∴；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
如图1，过P作轴交直线于H，则，
∵，
∴，当的长度最大时，的长度最大；
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，最大，即的长度最大，此时；
∵，
∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，
∴，当G在的延长线上时取等号，
∵,
∴的最大值为；
（3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2，
∴当时，，则,
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，，
下面推导与、的关系，
如图，已知矩形中，，，，
设，，，，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
将抛物线关于轴对称得到新抛物线，
则新抛物线的表达式为，
设，
当Q在x轴上方时，，
整理，得，
解得，（舍去），此时；
当Q在x轴下方时，，
整理，得，
解得，（舍去），此时，
综上，满足条件的Q坐标为和．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
25．(1)；
(2)；证明见解析
(3)线段的长度的最小值为．
【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可；
（2）作于点，连接，设，求得，证明，得到，再证明，证得，推出，证得四边形内接于圆，求得，即可得到；
（3）连接，取的中点，连接，，利用两边对应成比例且夹角相等，证明，推出，得到点在以为直径的圆上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，得到，推出，点在以为圆心，为半径的圆上，当共线时，线段的长度取最小值，最小值为，证明点四点共圆，求得，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下，
作于点，连接，
∵平分，
∴设，
∵，，
∴，
∴，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形内接于圆，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，取的中点，连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，此时，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则是等腰直角三角形，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
当共线时，线段的长度取最小值，最小值为，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴点四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的长度的最小值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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