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平面解析几何高频考点 预测练
2025年高考数学三轮复习备考
1．已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且．
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
(1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
(2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点.
(1)求直线、的斜率的积；
(2)过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数.
4．已知双曲线（，）过点，且焦距为4.
(1)求C的方程.
(2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值.
(3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点.
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程.
6．已知椭圆的左、右顶点分别为，，双曲线以椭圆的长轴为实轴，的渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在第二象限内取椭圆上的一点，连接并延长，与双曲线交于另一点，连接并延长，交椭圆于另一点，若，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，从直线上取两个不同的点，，使得的面积为45，问：的正切值是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
7．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知为上任意一点，求的最小值；
(2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
8．焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B
(1)求双曲线E的方程；
(2)若，求直线AB的斜率；
(3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围．
9．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为
(1)求C的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值.
10．已知抛物线，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为k（k为常数）的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方）；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；…；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在轴的上方），直线和相交于点.
(1)若，求；
(2)证明：点，，，…，在一条直线上；
(3)记线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，…，线段的中点为，求（用k，n表示）.
11．已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.
12．已知椭圆的焦距为4，上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的垂心，求直线的方程；
(3)若是的角平分线，问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
参考答案
1．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意表示斜率并化简即可得到答案；
（2）若直线的斜率存在，设，，，直线方程与曲线方程联立，运用韦达定理结合得进而化简得到，若直线的斜率不存在，得到进而得到.
【详解】（1）设点的坐标为，则，，
由题意可得，，化简得，
进而曲线的方程为．
（2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设，
由，得，
则，即，
设，，则，，
因为以为直径的圆经过原点，所以，则，
即，整理得，
，
设为点到直线的距离，则，所以，
又，所以．
（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，代入方程，得，
所以，则，
综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，且．
2．(1)，；
(2).
【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可.
【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得，
因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得，
所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为.
（2）设的方程为：，则，
由消去得：，则，，
由，得，则，满足，
因此，，，
所以．

3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据两点斜率公式求，结合点在双曲线上化简可得结论；
（2）设，利用点斜式求直线，的方程，根据交轨法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义证明结论.
【详解】（1）设，则，即，
因为双曲线的离心率，所以，
所以，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，
所以直线、的斜率的积为；
（2）设，则
直线的方程为，①
直线的方程为，②
①②得，即，
所以动点在椭圆上，
故存在两定点与，使得.
4．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，再结合焦距列出方程求解；
（2）依题意直线AP的方程为，设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小，此时的面积最小，从而求解；
（3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，再假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，，，根据得，化简可得的值.
【详解】（1）由题意可得，得，，
故C的方程为.
（2）由（1）可得，
故，直线AP的斜率，
则直线AP的方程为.
设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，
则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小，
此时的面积最小.
由，得，
令，解得，
当时，直线l与双曲线C的左支相切，符合题意；
当时，直线l与双曲线C的右支相切，不符合题意.
故直线l与直线AP之间的距离的最小值为，
所以面积的最小值为.
（3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，不妨设在左支上，在右支上，
设其方程为，，，
由，得，
其判别式，
所以，.
假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，，
因为，所以，
因为，，，
所以，
，
由题知，，，
所以，
整理得，
则，
所以，解得，
因此直线上存在点，使得DQ平分.
5．(1)
(2)（i）；（ii）或.
【分析】（1）由题意知直线为，再由列式计算即可；
（2）（i）设，直线，直线与曲线联立方程结合韦达定理求解即可；（ii）设直线，其中，直线与曲线联立方程结合韦达定理表示出，结合（i）及化简求解即可.
【详解】（1）当时，此时直线为，代入双曲线可得，，从而，
因此，解得，故双曲线方程为.
（2）（i）依题意，直线的斜率存在，设，不妨与上支交于点，直线，
联立得，则，
，
注意到直线与上，下两支交于两点，故，即.
注意到与双曲线上支交于两点，因此，即，即，
即，因此，
故，即斜率的取值范围是.
（ii）设直线，其中，
联立得，
则，
则，同理，
则，
由（i）可知，，
则，
即，
得，故，解得
从而的方程为或.
6．(1)
(2)
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）先从椭圆方程得出左右顶点坐标，再根据双曲线以椭圆长轴为实轴确定双曲线实半轴，最后由双曲线渐近线方程求出虚半轴，进而得到双曲线方程.
（2）利用向量关系得出点坐标，将、分别代入椭圆和双曲线方程，消元求解坐标，再求出直线方程与椭圆联立得横坐标，证明垂直轴，最后根据三角形面积求四边形面积.
（3）先求点到直线的距离，由三角形面积求出弦长，根据面积公式，结合正切函数性质，得到最大值情况，再用二倍角公式求最大值.
【详解】（1）椭圆，其长轴在轴，，、是左右顶点，所以，.
双曲线以椭圆长轴为实轴，所以双曲线实半轴.
双曲线渐近线方程，即，
所以，，则，方程为.
（2）设，，，根据中点坐标公式得.
在椭圆，在双曲线，代入方程得，消去：
由得，代入双曲线方程化简得，
解得或（时与重合，舍去）.
把代入椭圆方程得，所以，.
已知，用两点式得直线方程，代入椭圆方程得，解得或（是横坐标，舍去），所以，则轴.
四边形面积.
（3）直线方程，根据点到直线距离公式，
到直线距离.
已知，则.
设，，可得.
在中，根据余弦定理.
由基本不等式（当且仅当时等号成立），可得.
已知，则，所以，整理可得.
利用三角函数的二倍角公式，，对进行化简：
所以，当且仅当时等号成立.
因为，且（是三角形内角，，则），所以，存在最大值.
根据正切的二倍角公式，将代入可得：
即.
7．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据题意结合渐近线方程求得双曲线方程，设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解；
（2）（i）（ii）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，进而求点的坐标，并结合得到一组关系式分析求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，其上焦点坐标为，
一条渐近线方程为，则，解得，
所以的方程为.
设，则，要使最小，由题意知.
则
，
①当，即时，在内单调递增，
可知当时，；
②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，
可知当时，；
综上所述：.
（2）（i）联立得，，
由题意知，
则，解得，
且，即，
所以直线的方程为，
令得，；令得，，即，
因为，即，
可得，
所以点的轨迹方程是，方程表示去除上下顶点的双曲线.
（ii）联立得，，
由题意知，
则，解得，
且，即，
所以直线的方程为，
令得，；令得，，即，
因为，即，
可得，即，
点的轨迹方程是.
【点睛】方法点睛：与点相关问题的解法
解决与点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可；
（2）由向量共线得交点的坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线的斜率；
（3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围.
【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为，
故，解得，所以双曲线E的方程为.
（2）
由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为，
设，由，得，
联立，整理得，
由韦达定理得：，，
联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为.
（3）
点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数，
由，得，
所以，则，则，
由，得，
所以，则，
又因为直线交两支两点，故直线的斜率，
所以.
9．(1)
(2)是定值，2
(3)
【分析】（1）利用线段的中点在直线上列式计算求解；
（2）设直线PQ的方程为，且，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算定值即可；
（3）设，先求出，可得直线的方程为，再应用点到直线距离结合韦达定理及基本不等式计算求解.
【详解】（1）由已知得，则线段的中点为，
该中点在直线上，所以，解得，
所以C的方程为
（2）设直线PQ的方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得，且，
则
又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标，
又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标，
所以
，
所以为定值2.
（3）设，
与联立，得，
所以用代替k可得
，
，
因此直线的方程为，
点到直线GH的距离为，
因为 ，
所以
，
令，由得，
所以
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为
10．(1)20
(2)证明见解析
(3).
【分析】 （1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，根据焦点弦公式即可得到；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立得，，同理可得，， 从而得到直线的方程，联立直线和直线的方程得点的纵坐标为，从而证明结论；
（3）利用中点公式以及得到， 分别求出和即可求解.
【详解】（1）由题知，直线的方程为，
联立消去y，得，
则由抛物线定义知.
（2） 证明：设，且i为整数，
，，，，
直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，得
消去x后整理，得，所以，，
同理可得，.
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
又，则，
整理得.
同理可得，直线的方程为，
联立直线和直线的方程消去，得，
整理得，代入，，
得，
即，
又，所以，即点的纵坐标为，
所以点，，，…，在同一条直线上，得证.
（3） 由（2）知，即线段的中点的纵坐标为，
同理可知，线段的中点的纵坐标为，
故点，，，…，和点，，，…，都在直线上.
因为，轴，所以.
因为，所以，，
有，，，
所以.
由（2）知，
同理可得，.
故有
，
故.
【点睛】 关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要运用多方面知识方可得解.
11．(1)
(2)四边形为平行四边形，答案见解析
【分析】（1）根据离心率及短轴长列式求出，即可得出椭圆方程；
（2）联立方程组，结合点的坐标得出斜率，结合斜率关系证明即可.
【详解】（1）由已知，得，，，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为.
由解得或（舍去），
所以点的坐标为，从而点的坐标为，
于是直线的斜率，直线的方程为.
又直线的方程为，由得；
由得.
直线的方程为，直线的方程为，由得.
因为直线的斜率，直线的斜率，
所以，，所以四边形为平行四边形.
12．(1)
(2)
(3)过定点，
【分析】（1）由已知可得，进而可求得，可求椭圆方程；
（2）由，可求得，设直线方程为：，利用根与系数的关系可求得的值；
（3）设，直线，利用点到直线的距离公式可求得点在直线，同理可求得点也在直线上，可得直线的直线方程，进而可求定点.
【详解】（1）由题：，故
又，故，从而
因此椭圆方程为：
（2）由（1）知：
由题：为的垂心，所以且，
则必有，设直线方程为：
联立直线与椭圆：得：
令，解得：，由韦达定理：
则，故，
即：
整理得：，
将代入化简得：，解得或
当时，直线过点，不符合题意，舍去
当时，满足，符合题意.
故直线方程为：
（3）设则
因为直线的斜率必存在，所以直线，即：
设到直线与的距离均是，从而
平方得：，
又由于，故，
整理得：即点在直线
同理：点也在直线上
故直线的方程为
将其按照参数进行整理：
令，解得，从而定点坐标为.
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