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临潭县第一中学2024-2025学年度第二学期期中考试数学试卷
高二数学
一、选择题
1. 设，则（ ）
A. B. C. 3 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数定义进行转化即可.
【详解】，.
故选：B
2. 某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是（ ）．
A. 14米/秒 B. 17米/秒 C. 19米/秒 D. 21米/秒
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的意义求函数一点处的导数值确定质点在秒时的瞬时速度.
【详解】由题意，则米/秒．
故选：A
3. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
因为函数既有极大值，又有极小值，
则关于的方程有两个不等的正根、，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
5. 函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以，
令，即，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程.
【详解】由，得，
所以，得，
所以，，，，
故所求切线方程为，即.
故选：A.
7. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得，由解得即可得到结论.
【详解】由题意，函数的定义域为，则，
令，解得，
所以，函数单调递增区间为.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于基础题.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可.
【详解】令，则，
当时，，所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，所以是偶函数，在单调递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为．
故选：D
二、多项选择题
9. 下列函数在区间（0，+∞）上单调递增是（　　）
A. y＝x﹣（）x B. y＝x+sinx
C. y＝3﹣x D. y＝x2+2x+1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用基本函数的单调性，可得答案．
【详解】对于A，∵与，都是增函数，∴在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，由y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：ABD．
10. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J
【答案】AD
【解析】
【分析】借助导数定义计算可得瞬时速度的最小值，借助所给动能公式计算即可得其动能.
【详解】由题意得，
则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.
由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.
故选：AD.
11. 函数满足，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得.
【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，，则，B错误；
对于C，，，则，C正确；
对于D，，，则，D错误.
故选：AC
三、填空题
12. 在空间直角坐标系中，向量若，则____.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可.
【详解】若，则，
解得，，故.
故答案为：.
13. 函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】因为函数在上是递增函数，所以可利用导数恒大于或等于零来研究参数的取值范围.
【详解】由函数求导得：，
因为函数是上的单调增函数，
所以，即，
又由，则，解得，
故答案为：.
14. 若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题
15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
（1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
【答案】（1）瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大
（2）瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的
【解析】
【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．
【小问1详解】
由于瓶子的半径为，
所以每瓶饮料的利润是，．
令，解得（舍去）．
所以当时，；当时，．
当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高；
当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低．
又，
故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大．
【小问2详解】
由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，有最小值，其值，
故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.
16. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】由复合函数的求导法则求解即可；
【小问1详解】
函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：.
所以；
【小问2详解】
函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：.
所以
【小问3详解】
函数可以看作函数和的复合函数，
，
所以.
17. 已知曲线，求：
（1）曲线在点处的切线方程；
（2）曲线过点的切线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先得到点是切点，故只需求出即可得解；
（2）首先得到点不是切点，设切点为，由，即可列式并联立求解即可.
【小问1详解】
由于，从而点是切点，
又，所以，
从而曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
由，从而点不是切点，
设切点为，显然，
一方面，另一方面，
联立以上两式可得，所以或，也就是或，
又，，
所以曲线过点的切线方程为或，
也就是或.
18. 如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在实数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求线面角；
（2）计算平面的法向量，利用射影的性质得到，然后列方程，解方程无解，则不存在.
【小问1详解】
解：由题易得直线，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，，，．
设平面的法向量为，
所以即得，取，则，
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
设的重心为，则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
所以即取，则，，即，
假设在平面内的射影恰好为的重心，则，
所以，无解，故不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可.
（2）求出导函数，根据和分类讨论，结合二次不等式求解单调区间即可.
【小问1详解】
当时，函数，
得，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为；
小问2详解】
当时，，，
令，得，，
当时，，
令，得或，
令，得，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为
当时，，
令，得或，
令，得，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为和，单调减区间为．临潭县第一中学2024-2025学年度第二学期期中考试数学试卷
高二数学
一、选择题
1. 设，则（ ）
A. B. C. 3 D. 12
2. 某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是（ ）．
A. 14米/秒 B. 17米/秒 C. 19米/秒 D. 21米/秒
3. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则（ ）
A B. C. D.
5. 函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9. 下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A. y＝x﹣（）x B. y＝x+sinx
C. y＝3﹣x D. y＝x2+2x+1
10. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A. 该物体瞬时速度最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J
11. 函数满足，则正确的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题
12. 在空间直角坐标系中，向量若，则____.
13. 函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______.
14. 若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是___________．
四、解答题
15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
（1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
16. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
17. 已知曲线，求：
（1）曲线在点处的切线方程；
（2）曲线过点的切线方程．
18. 如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.

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