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2024-2025学年度第二学期东莞外国语学校段考一
高二数学
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
2. （ ）
A 84 B. 83 C. 70 D. 69
3. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. {2，8} B. {2，6}
C. {7，12} D. {8}
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A B. C. D.
6. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
8. 曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，考生作答3小题，每小题6分，满分18分．
9. 下列求导的运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ）
A. B. C. D.
11. 设函数，则（ ）
A. 存在，函数仅有一个极值点
B. 曲线关于点对称
C. 当时，是曲线的切线方程
D. 当时，函数有唯一零点
三、填空题：本大题共3小题，考生作答3小题，每小题5分，满分15分．
12. 函数的最小值为____________．
13. 现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为______（用数字作答）．
14. 已知的定义域是，且，则不等式的解是_______.
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论单调性.
16. （1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
17. 某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
18. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数极小值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
19 设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是增函数，求a的取值范围；
（3）当时，设为的极小值点，证明：．
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试题资源网-科技(北京)有限公司2024-2025学年度第二学期东莞外国语学校段考一
高二数学
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A．
2. （ ）
A. 84 B. 83 C. 70 D. 69
【答案】D
【解析】
【分析】利用组合数的性质及计算公式求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：D
3. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.
【详解】设，，，
则表示函数在点处的切线的斜率，
则表示函数在点处的切线的斜率，
表示，两点连线的斜率，
又在上单调递增，且增长趋势越来越快，
则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示：
由图可知，所以.
故选：C
4. 不等式的解集为（ ）
A. {2，8} B. {2，6}
C. {7，12} D. {8}
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据排列数公式展开，再解不等式，即可得答案.
详解】
，解得：.
又，
，即.
故选：D
【点睛】本题考查排列数公式的计算、不等式求解，考查基本运算求解能力.
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程.
【详解】由，得，
所以，得，
所以，，，，
故所求切线方程为，即.
故选：A.
6. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解.
【详解】因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选：B
7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】先分类：第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色；第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得．
【详解】分2类（先涂前3个矩形，再涂后3个矩形．）：
第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色，有种涂法；
第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，有种涂法．
综上，不同的涂法和数为．
故选：C．
8. 曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果.
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故选：A.
二、多选题：本大题共3小题，考生作答3小题，每小题6分，满分18分．
9. 下列求导的运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可；
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
10. 某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分类讨论求解判断CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情况求解判断B，先求出周一不安排甲的排法数,再排除乙排在周三的情况求解判断A.
【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法；
若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确．
间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法．
当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；
当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确．
（2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法，
其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的，
故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.
故选：ABD
11. 设函数，则（ ）
A. 存在，函数仅有一个极值点
B. 曲线关于点对称
C. 当时，是曲线的切线方程
D. 当时，函数有唯一零点
【答案】BC
【解析】
【分析】求导即可判断函数极值点个数，从而判断A，利用函数对称性的定义代入计算，即可判断B，利用导数的几何意义即可判断C，借助函数单调性以及极值，即可确定零点个数，从而判断D.
【详解】对于A，由题意可得，当时，恒成立，
函数在上单调递减，无极值点，当时，令，
即，解得，此时函数有两个极值点，
所以不存在，使函数仅有一个极值点，故A错误；
对于B，设是图像上任意一点，则，
点关于点对称的点为，
将代入函数可得，
而，
所以曲线关于点对称，故B正确；
对于C，当时，，，
若是切线方程，则其斜率为9，
令，解得，
当时，，切线方程为，
化简可得；
当时，，切线方程为，
化简可得；
所以是曲线的切线方程，故C正确；
对于D，由，当时，令，可得，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，
，
当时，，当时，，
所以函数在上各有一个零点，
即函数有三个零点，故D错误；
故选：BC
三、填空题：本大题共3小题，考生作答3小题，每小题5分，满分15分．
12. 函数的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，得出函数的单调性，得到，代入计算，即可得到答案.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为：.
13. 现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为______（用数字作答）．
【答案】4050
【解析】
【分析】先确定男双、女双配对，剩下两男两女共2种配对混双得方法，再由乘法原理求解即可；
【详解】男双的配对方法种数为，同理，女双的配对方法种数为，
剩下的两男两女中混双的配对方法种数为2，则不同的配对方法种数为．
故答案为：4050．
14. 已知的定义域是，且，则不等式的解是_______.
【答案】
【解析】
【分析】变形不等式，构造函数并利用导数确守单调性。进而求解不等式.
【详解】依题意，不等式，
令函数，求导得，由，
得，函数在上单调递增，原不等式为，
因此，解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键.
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程.
（2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
【小问1详解】
当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
【小问2详解】
由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
16. （1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.
(2)利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【详解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
(2)①，
所以成立；
②因，
，
所以成立.
17. 某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
【答案】（1）144 （2）144
（3）1008
【解析】
【分析】根据先选后排原则，结合排列数、组合数运算求解.
【小问1详解】
完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
【小问2详解】
完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
【小问3详解】
完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法.
18. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调性，求出极值即可；
（2）将条件参变分离后转化为有两个不相等的实数根，即与函数的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性、值域即可求解.
【小问1详解】
由题可知：函数的定义域为，
当时，，
所以，
令，解得
则，，的变化情况如下表.
0
单调递减 单调递增
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为；
【小问2详解】
因为，且关于的方程有两个不相等的实数根，
所以有两个不相等的实数根，
当时，显然不成立；
当时，即有两个不相等的实数根，
令，，则，
令，解得，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处可以取到最小值，
又由的零点仅有，且当趋近于0时，趋近于0，
所以，解得，
所以的取值范围为.
19. 设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是增函数，求a的取值范围；
（3）当时，设为的极小值点，证明：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；
（2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围；
（3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证.
【小问1详解】
当时，，，
因当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
【小问2详解】
因，
设，，
当时，，当时，，
则上单调递减，在上单调递增，
故时，取得极小值，
（ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以存在两个零点，
即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意；
（ⅲ）当时，若，因为的零点为，且，
则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，
所以，解得，
此时，当时；
当时，则
所以综上a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，，设为的零点，则，
因为，所以，
当时，，，故，在单调递增，
当时，，，所以，在单调递减，
当时，，，所以，在单调递增，
所以，且，即，
所以，
设，则，在上单调递增，
所以，且，故得．
【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题.
对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可.
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