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2024-2025学年七年级下册期末测试卷（绍兴市专用）
数 学
考试范围：七下全册 考试时间：100分钟 分值：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图所示，∠B与∠3是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼” 问题： “今有鸡兔同笼， 上有 16 头，下有 44 足， 问鸡兔各几何．”设鸡 只，兔 只，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
3．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（　　）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
5．关于x、y的方程组的解是，则的值是（　　）．
A．4 B．9 C．5 D．11
6．如图，下列说法错误的是（　　）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．计算：，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（　　）
A．0.1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣8
10．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本题有7小题，每小题3分，共21分）
11．若am=2，an=5，则am+n等于　 　．
12．因式分解： =　 　.
13．的平方根是 　 　．
14．从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　
15．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠1的内错角是　 　.
16．我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
17． 已知方程，用含x的代数式表示y，那么　 　．
三、解答题（本题有8小题，共69分． 解答需写出必要的文字说明、演算步骤或说理过程）
18．计算：
（1）；
（2）．
19．解方程组
（1） ；
（2）
20．如图，与互补，，求证：．
对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：∵与互补（已知），
∴（______），
∴（______），
∵（已知），
∴（等式的性质），
即____________．
∴（______），
∴（______）．
21．如图，是上一点，于点分别是上一点，，，
（1）判断与的位置关系，并说明理由。
（2）若，请说明。
22．为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
23．【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数 的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计.
【查阅资料】如图1， 弹簧未受力时的长度称为原长，记为 . 如图 2， 弹簧受到拉力 后的长度记为 ，则弹簧伸长的长度 . 已知弹簧发生弹性形变时， 拉力 的大小跟弹簧伸长的长度 成正比， 即 为弹簧的弹性系数。
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：如图 3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度 。如图4， 当弹簧末端悬挂两个钧码时， 弹簧的长度 .
（1）任务 1：①图3 中弹簧伸长的长度 =　 　cm ；（用含 的式子表示）
②图 4 中弹簧伸长的长度 　 　cm ；（用含 的式子表示）
（2） 求弹簧的原长 .
（3）【确定量程】已知在弹性形变范围内， 该弹簧伸长的长度 的最大值是 10 cm .任务 2：求该弹簧测力计的量程（测量范围）。
（4）【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度， 通过刻度直接读取拉力.任务 3：补全刻度设计方案。
将 0 刻度放在距离木板上端 处，每隔 0.1 cm 标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度， 就代表拉力增加了 ▲ N .
24．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三边满足，判断的形状并说明理由．
25．如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点。
（1）判断之间的关系，并说明理由。
（2）若，用含的代数式表示的度数。
（3）当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值。
答案解析部分
1．C
根据定义，知两个角是一对同旁内角．
故选：C．
同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角．
2．A
解：∵上有16头，
∴x＋y＝16；
∵下有44足，
∴2x＋4y＝44．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：A．
根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，从而得解.
3．B
4．A
5．B
解：，
把， 代入方程①，可得：m=2，
再把和m=2都代入方程②中：1+2=n，即可得出n=3，
把x=1，y=1，m=2代入的中，得：3×2+3=9.
故答案为：B。
首先根据方程组的解的意义，把方程组的解代入方程组中，可求得m，n的值，然后再把m，n的值代入中，求得代数式的值即可.
6．A
解：A中，内错角是在截线的两侧，并且在两条被截线之间，图中∠1与∠2是在截线的两侧，但不在两条被截线之间，所以不是内错角，所以A错误；B中，图中∠2与∠3是在截线的同侧，在两条被截线同方向上，是同位角，所以B正确；
C中，图中∠1与∠3是在截线的两侧，在两条被截线之间，是内错角，所以C正确；
D中，图中∠2与∠4是在截线的同侧，在两条被截线之间，是同旁内角，所以D正确；
故选：A．
本题要主要考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义及判断，其中两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的角叫做内错角；在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，叫做同位角；在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，据此定义，逐项分析判断，即可得到答案.
7．C
解：A.≠2，此选项不符合题意；
B.≠2a3，此选项不符合题意；
C.，此选项符合题意；
D.≠m2+n2，此选项不符合题意.
故答案为：C．
A、根据合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可判断求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘底数不变指数相加”计算即可判断求解；
C、根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可判断求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可判断求解．
8．B
解：m2·m=m3.
故答案为：B
利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可.
9．B
0.00000001=1×10﹣8.
故答案为：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
10．A
11．10
解：∵am=2，an=5，∴am+n=aman=2×5=10．
故答案为：10
根据同底数幂的乘法法则把所求代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
12．
解： .
直接应用平方差公式即可求解. .
13．±2
解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．（答案不唯一）
15．∠3
解：根据内错角的定义可得∠3，
故答案为∠3.
运用内错角的定义判定．
16．3
17．
解：移项得，
∴．
故答案为：．
移项后，把y的系数化为1即可．
18．（1）
（2）
19．（1）解：
把②代入①得：2y 3y+3=1，
解得y=2，
把y=2，代入①可得，x=1，
解得
（2）解：
-②得： ，
解得t= ，
把t= 代入①可得s= ，
解得 .
方程组中第二个方程代入第一个方程，去括号整理得到结果，即可做出判断. 将方程组中第二个方程代入第一个方程，去括号整理得到结果，即可得出答案.
20．见解析
证明：∵与互补（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等式的性质），
即．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.
先根据同旁内角互补，两直线平行得到，即可得到，进而得到，即可得到解答即可．
21．（1）解：HE∥FG
理由如下：
∵∠A=63°，∠AHE=27°
∴∠AEH=90°
∵FG⊥AC
∴∠AGF=90°
∴HE∥FG
（2）解：连接EF，如图所示
∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC
∴∠DEF＝∠EFC
∵HE∥FG
∴∠HEF＝∠EFG
∴∠1=∠2
(1)先根据三角形内角和定理求出∠AEH=90°，再根据同位角相等，两直线平行证出即可.
(2)先由同位角相等，两直线平行证出DE∥BC，进而根据两直线平行，内错角相等得到∠DEF＝∠EFC，同理得到∠HEF＝∠EFG，最后根据角的关系证出即可.
22．（1）解：设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元．
（2）解：
需购买单价为6元的N95口罩m个，需购买医用口罩和N95口罩共1000个，∴购买医用口罩个，
依题意得：，
化简得：．
（3）解：由（2）可知∵m、n均为正整数，且，
∴m为40的倍数，
∴m为80或120或160，
答： N95口罩的个数为80或120或160.
（1）先分别设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据“用3500元购买医用口罩和消毒液．若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则还缺100元钱：若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组并求解即可；
（2）由于消毒液共n瓶，N95口罩共m个，则普通医用口罩共个，则由等量关系“总费用＝N95口罩费用+普通医用口罩费用+消毒液费用 ”即可得出关于m，n的二元一次方程，此时把m看作常数，解关于n的一元一次方程即可．
（3）由于“m，n均为正整数，且”，求关于n的一元一次方程的正整数解即可得出m的值．
23．（1）（3-L0）；（5-L0）
（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，
∴F=1.2x，
∴F1=1.2（3-L0），F2=1.2（5-L0），
∵F2=2F1，
∴1.2（3-L0）=1.2（5-L0），
∴L0=1.
故答案为：1.
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是10cm，
∴x≤10，
∴1.2x≤12，
∴F≤12N，
∴ 该弹簧测力计的量程为0≤F≤12N，
故答案为：0≤F≤12N.
（4）0.12
（1）①图3中弹簧伸长的长度x=L1-L0=3-L0；
②图4中弹簧伸长的长度x=L2-L0=5-L0；
故答案为：（3-L0）；（5-L0）.
（4）∵12÷10×0.1=0.12，
∴弹簧的长度每增加一个刻度， 就代表拉力增加了0.12N，
故答案为：0.12.
（1）利用弹簧伸长的长度x=L-L0求解即可；
（2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比例出方程求解即可；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是10cm，可得1.2x≤12，从而可得最大值，从而得解；
（4）利用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以0.21即可得解.
24．（1）解：原式
，
；
（2）解：
，
，
当，时，
原式
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（）利用分组分解法将第1项与第三项结合，第2项与第4项结合，分别提取公因式，解答即可；
（）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解；
（）先对移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到，由三角形三边性质可得，即得，据此即可求解；
25．（1）解：∠AHE＝∠FAH+∠KEH
理由如下：
作HP∥AB
∵AB∥CD，
∴HP∥CD
∴∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP
∴∠AHE＝∠AHP+∠PHE=∠KEH +∠FAH
（2）解：①设∠BEF=x，则∠BAK=nx，∠BEC=nx
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC=nx
∵AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝nx
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3nx＝90°，
∴x=
由（1）得∠AHE＝∠KEH +∠FAH=x+nx+nx=
（3）解：当n=2时，∠BEF=15°，∠KEH=45°，∠HKE=30°
①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
∴
②当KH∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
∴
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴
④当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
∴
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
∴
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为5秒或20秒或25秒或10秒或秒．
(1)根据两直线平行，内错角相等得到∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP证出即可.
(2)根据两直线平行，内错角相等，角平分线的定义得到3nx＝90°，求出x，进而表示出即可.
(3)分当KH∥NG时，当KH∥EG时，当KH∥EN时，当KE∥NG时，当HE∥NG时，5种情况分析即可.

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