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2025年吉林省长春市德惠市中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中美欧形成全球数字经济发展的三级格局，从规模看，2021年中国数字经济规模达7.1万亿美元，相当于51.5万亿元人民币，这一数据用科学记数法表示为（ ）
A．亿元 B．亿元
C．亿元 D．亿元
3．图中几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．下面是“作一个角使其等于的尺规作图方法：
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数c的值可能为（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．下面计算中，正确的是（　　）
A．（a+b）2=a2+b2 B．3a+4a=7a2
C．（ab）3=ab3 D．a2 a5=a7
7．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为(
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
9．分解因式： ．
10．不等式组的解集为 ．
11．如图，有四张背面完全相同的卡片，正面书写不同类型的变化，现把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是 ．
糖块融化 盐酸除锈 石块粉碎 火柴燃烧
12．如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．
13．如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点，若，则 ．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时．其中正确的是 ．（只需填写序号）
三、解答题
15．计算：
16．先化简，再求值：，其中．
17．某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，求A花束的单价
18．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图．
(1)在图①中，找一格点C，连接，使；
(2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使；
(3)在图③中，找一点C，连接，使．
19．如图，的两条中线相交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为，直接写出的面积为______．
20．某学校举办的“放飞梦想”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）、学校对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：
88 90 91 91 91 91 92 92 98 86
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分的平均数为，求；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的A、B、C三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
A 93 90 92 93 92
B 91 92 92 92 92
C 90 94 90 94 k
若C在A、B、C三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______．
21．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
22．【感知】在矩形中，．将绕着点B顺时针旋转，旋转角为得到，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在上，如图①，则______．
【探究】当点E落在线段上时，与交于点G．其它条件不变，如图②．
（1）求证：；
（2）的长为______．
【拓展】连接，在的旋转过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围．
23．如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线BC-CA向终点A运动，点P不与点A重合，以BP为边，在BC的上方作等边．
(1)当点P在BC上运动时，①______度；
②线段______．
(2)如图②，当点P在BC上运动时，连接CM，当的周长最小时，求线段CP的长，并写出此时的面积；
(3)当点M与的顶点所连线段垂直于的某一边时，直接写出BP的长．
24．如图，抛物线，与x轴交于点，抛物线的顶点为点，点Q为的中点，以点Q为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，若点M为上一点．射线交抛物线于点P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若．
①______，是______三角形；
②求点P的坐标；
(3)连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，直接写出的最值；若不存在，请说明理由．
《 2025年吉林省长春市德惠市中考一模数学试题》参考答案
1．D
解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
2．C
解：51.5万亿元用科学记数法表示为亿元；
故选：C．
3．B
解：由图可知，左视图为：
故选：B．
4．B
解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选B．
5．C
解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
6．D
A. (a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项错误；
B. 3a+4a=7a，故此选项错误；
C. (ab)3=a3b3，故此选项错误；
D. a2a5=a7，正确．
故选D.
7．A
解：延长AB交ED于F，
∵BC∥DE，
∴∠AFE=，
∴∠CDF=∠BFE=，
∴BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DF=BC=b，
∴EF=DE-DF=a-b，
在直角△AEF中，
∵tan∠AFE=，
∴AE=，
故选择A．
8．D
解：设D点坐标为，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，
∴E点坐标为，
同理可得C点坐标为，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，
∵点E为AC的中点，的面积为1，
∴，即，可得，，
解得，
故选：D．
9．/
解：，
故答案为：．
10．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
11．
解：糖块融化和石块粉碎是物理变化，盐酸除锈和火柴燃烧是化学变化，
设用A、B、C、D分别表示糖块融化，石块粉碎，盐酸除锈，火柴燃烧，
列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果数有2种，
∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率为，
故答案为：．
12．
解：由题意可知：是等边三角形，,
∴，
∵，
∴，
故答案为：
13．
解：在中，，是中线，
，
又、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
；
故答案为：
14．①②③
解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
故①正确，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵二次函数，
∴点，
∴，，
当时，，
∴（正数值已舍去），
当时，，
∴（正数值已舍去），
∴当是等腰三角形时，a的值有2个，
故③正确；
∵二次函数，
∴顶点，
∴，，，
若，可得，
∴，
∴，
若，可得，
∴，
∴，
∴当是直角三角形时，或，
故④错误．
故答案为：①②③．
15．
解：原式
．
16．，
解：
，
当时，原式．
17．A花束的单价为26元
解：设A花束的单价为x元，则B花束的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：A花束的单价为26元．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：如图所示即为所求：
（3）解：如图所示即为所求：
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵为中线，
∴是中位线，
，
∵点在的延长线上，
，
又，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵是中位线，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20．(1)①91，4；②
(2)A，92
（1）解：① 从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为91，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：91，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为： 88，90，91，91，91，91，92， 92，
平均数为：；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
C在三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，
，
，
B在三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
C在三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是A，
故答案为：A，92．
21．(1)6，3
(2)
(3)17秒
（1）解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）．
故答案为：6，3．
（2）解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒），
∴，
设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为．
（3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为，
将、代入，得，解得，
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，，
由与乙无人机的高度差为9米得：，
解得，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
22．感知：2；探究：（1）见解析；（2）；拓展：
解；感知：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
探究：（1）由旋转的性质可得，
∵点E落在线段上，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
拓展：∵，
∴，
设点C到的距离为h，则，
∴当取得最小值时，且当时，h有最小值2，即此时有最小值，最小值为；
当取得最大值时，且当时，h有最大值14，即此时有最大值，最大值为；
∴
23．(1)①15，②4；
(2)线段CP的长为2；的面积为
(3)或或
（1）解：①∵在中，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵在BC的上方作等边
∴，
则，故答案为：；
②∵在BC的上方作等边
∴为等边三角形，
∴，
当P在上，
则线段，
故答案为：4；
（2）解：同理得，
，
∵
∴当时，最小，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
则，即，
∵点M到的距离为
∴；
（3）解：①当点P在上运动时，满足交于点F，过点P作于点D，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则；
②当点P在上运动时，满足，过点M作于点D，如图，
则四边形为矩形，
∴，,
同理可得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则为等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则；
③当点P在上运动时，满足，如图，
则，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，解得（负值舍去）；
则，
综上所述，或或．
24．(1)
(2)①，等腰直角；②或
(3)存在，线段的长度最小值和最大值分别为和
（1）解：将、代入得：，
解得：
即：抛物线解析式为；
（2）①如图1，连接，
∵点是的中点，则点，圆的半径为1，则点，，
∴，
∵，则，
∴为等腰直角三角形，，
∴；
②为等腰直角三角形，
，且，
当点P在x轴上方时，此时点M的坐标为，
故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：，
解得：即：故直线BP的表达式为：，
联立并解得：或（不合题意，舍去），
当时，，即：此时，点P的坐标为：；
同理，如图2：当点P在x轴下方时，此时点M的坐标为，
直线的表达式为：，
联立并解得：或（不合题意，舍去），
当时，，即：此时，点P的坐标为：，
综上，点P的坐标为或，
（3）解：线段的长度存在最大值或最小值，理由如下：
连接、、，如图3，
∵，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由勾股定理可知，，
由三角形三边关系可知，，
即，
线段的长度最小值和最大值分别为和．

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