资源简介

染色问题
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．12 B．24 C．36 D．54
2．（2024秋 垦利区期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（　　）个。
A．1 B．4 C．6 D．8
3．（2024秋 庐江县期末）如图所示，把一个正方体表面涂色，每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体，没有涂色的小正方体有（　　）个。
A．24 B．12 C．8
4．（2024秋 吴江区期末）如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（　　）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024春 琼海期中）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是（　　）cm3。
A．64 B．125 C．216 D．8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 建邺区期末）一个表面涂色的大正方体被切成若干个棱长1厘米小正方体，若两面涂色的一共有36个，则一面涂色的有 　 　个。大正方体体积是 　 　立方分米。
7．（2024秋 新邵县期末）如图的物体是用1立方分米的正方体摆成的，它的体积是 　 　立方分米。如果给它的表面涂色，其中三面涂色的正方体有 　 　个。
8．（2024秋 修文县期末）一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 　 　个，2面涂色的小正方体有 　 　个，3面涂色的小正方体有 　 　个。
9．（2024秋 金水区期末）一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有 　 　个，一面涂色的小正方体有 　 　个。
10．（2024春 商河县期末）一个正方体大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大面包沿长、宽、高切成27块相同的小正方体，两个面有酥皮的有 　 　块，一个面有酥皮的有 　 　块。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　 　
12．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 　 　
13．（2022秋 钦州期末）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的体积216立方厘米。 　 　
14．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 　 　
15．（2023春 桐梓县期末）把27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，给大正方体表面涂上红色，其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个。 　 　
四．应用题（共1小题）
16．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
五．操作题（共1小题）
17．（2022春 巩义市期末）在学习探索图形时，我们用棱长lcm的正方体拼成如图的三个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体分别有 　 　，　 　，　 　块，你发现它们位置的规律是 　 　。
六．解答题（共3小题）
18．（2024秋 天宁区期末）明明去蛋糕店买了一个正方体蛋糕。他让蛋糕店师傅将蛋糕的四周和上面都涂上奶油（底面不涂）。现在他将蛋糕每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕。请你在如图画一画，表示分的情况，并思考以下问题：
（1）一共能分成 　 　块小蛋糕。
（2）这些小蛋糕中，涂上奶油最多的有 　 　面。
（3）妈妈乳糖不耐受，不能吃奶油。妈妈最多可以吃到 　 　块小蛋糕。
19．（2024春 黄石期末）把一个正方体的六个面都涂上油漆，如图所示：
（1）三面涂色的小立方体有　 　个；
（2）两面涂色的小立方体有　 　个；
（3）一面涂色的小立方体有　 　个；
（4）没有涂色的小立方体有　 　个．
20．（2024春 章丘区期中）一个正方体，将它的表面涂成蓝色，然后切成棱长1厘米的小正方体。已知两面涂色的有24块，这个大正方体的体积是多少立方厘米？
染色问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．12 B．24 C．36 D．54
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】如图，两面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，每条棱有3个小正方体两面涂色，正方体有12条棱，每条棱两面涂色小正方体的个数×12＝两面涂色的小正方体总个数。
【解答】解：3×12＝36（个）
答：两面涂色的小正方体有36个。
故选：C。
【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。
2．（2024秋 垦利区期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（　　）个。
A．1 B．4 C．6 D．8
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】三面涂色和顶点有关，8个顶点，即8个小正方体木块3面涂色。
【解答】解：3个面涂着红色的正方体小木块有8个。
故选：D。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
3．（2024秋 庐江县期末）如图所示，把一个正方体表面涂色，每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体，没有涂色的小正方体有（　　）个。
A．24 B．12 C．8
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】把一面染色、两面染色和三面染色的计算出，用一共的小正方体减去一面染色、两面染色和三面染色的数量之和即可解答。
【解答】解：一面染色：（4﹣2）×（4﹣2）×6＝24（个）
两面染色：（4﹣2）××12＝24（个）
三面染色：8个；
4×4×4﹣（24+24+8）
＝64﹣56
＝8（个）
答：没有涂色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
4．（2024秋 吴江区期末）如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（　　）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】染色问题．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】B
【分析】正方体有6个面，把正方体拼在一起，每个正方体除去相拼的面其它面可以图色。据此观察解答。
【解答】解：如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有3个。
故选：B。
【点评】明确表面积的意义是解决本题的关键。
5．（2024春 琼海期中）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是（　　）cm3。
A．64 B．125 C．216 D．8
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，两面涂色的小正方体在大正方体的棱长上，只有8个顶点上的小正方体是三面涂色，其余的小正方体都是两面涂色，所以两面涂色的小正方体有36块，那么每条棱长上除顶点外，都有36÷12＝3（个）小正方体两面涂色，则一条棱长上共有3+2＝5（个）小正方体，则大正方体的棱长就是5厘米，由此求得原来正方体的体积。
【解答】解：每条棱长上除顶点外，都有36÷12＝3（个）小正方体两面涂色，
则一条棱长上共有3+2＝5（个）小正方体，
则大正方体的棱长就是5厘米。
5×5×5＝125（立方厘米）答：原来正方体的体积是125立方厘米。
故选：B。
【点评】本题关键是理解两面涂色的小正方体所处的位置，从而求得大正方体的棱长。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 建邺区期末）一个表面涂色的大正方体被切成若干个棱长1厘米小正方体，若两面涂色的一共有36个，则一面涂色的有 　54　个。大正方体体积是 　0.125　立方分米。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】54、0.125。
【分析】依据题意可知，两面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包含顶点处），由此计算出大正方体一条棱被分成多少个小正方体，再计算一个面被分成多少个小正方体，然后计算大正方体被分成多少个小正方体，一面涂色的小正方体在大正方体的6个面上，由此解答本题。
【解答】解：36÷12＝3（个）
3+2＝5（个）
5×5＝25（个）
25×5＝125（个）
25﹣4﹣3×4
＝25﹣4﹣12
＝9（个）
9×6＝54（个）
1×1×1＝1（立方厘米）
1立方厘米＝0.001立方分米
125×0.001＝0.125（立方分米）
答：一面涂色的有54个，大正方体体积是0.125立方分米。
故答案为：54、0.125。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
7．（2024秋 新邵县期末）如图的物体是用1立方分米的正方体摆成的，它的体积是 　9　立方分米。如果给它的表面涂色，其中三面涂色的正方体有 　2　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】9，2。
【分析】有几个正方体，它的体积就是多少立方分米；根据图形的特征，数一数三面涂色的正方体有几个即可。
【解答】解：它的体积是：3+6＝9（立方分米）
三面涂色的正方体有2个，在最后的角上。
答：它的体积是9立方分米。如果给它的表面涂色，其中三面涂色的正方体有2个。
故答案为：9，2。
【点评】解答本题关键是明确图形的特征。
8．（2024秋 修文县期末）一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 　6　个，2面涂色的小正方体有 　12　个，3面涂色的小正方体有 　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】6；12；8。
【分析】
把大正方体的每条棱平均分成3份，则每条棱上有3个小正方体；根据只有一面涂色的小正方体在每个大正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部，据此即可解答问题。
【解答】解：1面涂色：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
2面涂色：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
3面涂色：8个。
答：1面涂色的小正方体有6个，2面涂色的小正方体有12个，3面涂色的小正方体有8个。
故答案为：6；12；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除去顶点处的），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
9．（2024秋 金水区期末）一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有 　24　个，一面涂色的小正方体有 　24　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成4份，那么每条棱都有4个小正方体，两个面涂色的小正方体处在12条棱的中间，在大正方体每个面的中间部分的小正方体有一面涂色；据此解答即可。
【解答】解：（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
答：两面涂色的小正方体有24个；一面涂色的小正方体有24个。
故答案为：24；24。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
10．（2024春 商河县期末）一个正方体大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大面包沿长、宽、高切成27块相同的小正方体，两个面有酥皮的有 　12　块，一个面有酥皮的有 　6　块。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】12；6；。
【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：如图：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（块）
答：两个面有酥皮的有12块，一个面有酥皮的有6块。
故答案为：12；6；。
【点评】本题关键要明确：三面有色的在8个顶点上，两面有色的在12条棱上，一面有色的在每个面的中间，无色的在里心。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　×　
【考点】染色问题．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】×
【分析】一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，切成同样大的小正方体，共切成了53个，即125个。位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5﹣2）个小正方体，据此解答即可。
【解答】解：如图
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
所以两面涂色的小正方体有36个；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体两面涂色。
12．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】
如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
13．（2022秋 钦州期末）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的体积216立方厘米。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，已知两面涂色的有48块，48÷12＝4（块），即每条棱长上除了顶点外，都有4块小正方体两面涂色，所以每条棱长上共有6块小正方体，则大正方体共有6×6×6＝216（块）小正方体，进而得出原来正方体的体积。
【解答】解：48÷12+2
＝4+2
＝6（块）
6×6×6＝216（块）
1×1×1×216＝216（立方厘米）
即原来正方体的体积216立方厘米，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】抓住正方体切割小正方体的特点，以及表面除顶点外位于棱上的小方块两面涂色的特点即可解决问题。
14．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】√
【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
【解答】解：由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√。
【点评】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
15．（2023春 桐梓县期末）把27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，给大正方体表面涂上红色，其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】√
【分析】因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，没有涂色的小正方体在中心；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；
3面涂色的都在顶点处，所以一共有8个，
两面涂色的有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
12﹣8＝4（个）
即其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
四．应用题（共1小题）
16．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】空间观念．
【答案】125立方厘米。
【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12+2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。
【解答】解：36÷12+2
＝3+2
＝5（个）
1×5＝5（厘米）
5×5×5
＝25×5
＝125（立方厘米）
答：原来大正方体的体积是125立方厘米。
【点评】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。
五．操作题（共1小题）
17．（2022春 巩义市期末）在学习探索图形时，我们用棱长lcm的正方体拼成如图的三个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体分别有 　8　，　8　，　8　块，你发现它们位置的规律是 　都位于顶点处　。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】8，8，8，都位于顶点处。
【分析】小正方休组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，一个正方体有8个顶点，因此，三面涂色的有8块，且不论由多少个小正方体组成的大正方体，三面粉色的块数是一定的，都是8块。
【解答】解：三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有1块，共8块。
故答案为：8，8，8，都位于顶点处。
【点评】解答此题的关键是根据模型（或用土豆、萝卜等切割）填表，然后再根据表中的数据找到规律，然后再根据规律解答。
六．解答题（共3小题）
18．（2024秋 天宁区期末）明明去蛋糕店买了一个正方体蛋糕。他让蛋糕店师傅将蛋糕的四周和上面都涂上奶油（底面不涂）。现在他将蛋糕每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕。请你在如图画一画，表示分的情况，并思考以下问题：
（1）一共能分成 　27　块小蛋糕。
（2）这些小蛋糕中，涂上奶油最多的有 　3　面。
（3）妈妈乳糖不耐受，不能吃奶油。妈妈最多可以吃到 　2　块小蛋糕。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】；（1）27；（2）3；（3）2。
【分析】根据题意，将蛋糕每条棱平均分成3份，切成大小相同的小正方体蛋糕。据此分一分，切一切即可；
（1）分割后的大正方体变成小正方体的块数为（3×3×3）块；
（2）顶点处3面涂奶油（仅上底面处顶点），即涂上奶油最多的有3面。
（3）即一面都不涂奶油的块数，因下底面未涂奶油，即未涂奶油的块数为（3﹣2）×（3﹣2）×（3﹣2）+1，即妈妈最多可以吃到的块数。
【解答】解：如下图所示：
（1）3×3×3＝27（块），即一共能分成27块小蛋糕。
（2）顶点处最多3面涂奶油，即这些小蛋糕中，涂上奶油最多的有3面。
（3）未涂奶油的小正方体蛋糕有2块，即妈妈最多可以吃到2块小蛋糕。
故答案为：（1）27；（2）3；（3）2。
【点评】本题考了染色问题的应用。
19．（2024春 黄石期末）把一个正方体的六个面都涂上油漆，如图所示：
（1）三面涂色的小立方体有　8　个；
（2）两面涂色的小立方体有　12　个；
（3）一面涂色的小立方体有　6　个；
（4）没有涂色的小立方体有　1　个．
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把大正方体切成大小相同的3×3×3＝27个小正方体的每个棱上有3个小正方体，三面涂色的正方体都在顶点处，所以有8个．两面涂色的小正方体都在棱上，所以有12个．只有一个面涂色的在六个面的中间，所以有6个，六个面都没涂色的在大正方体的中间，所以只有1个．
【解答】解：3×3×3＝27（个），
（1）三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个，
（2）两面涂色的有：（3﹣2）×12＝12（个），
（3）一面涂色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×6＝6（个），
（4）没有涂色的有：27﹣12﹣6﹣8＝1（个）；
答：三个面涂色的小正方体有8个，两个面涂色的小正方体有12个，一个面涂色的小正方体有6个，没有涂色的小正方体有1个．
故答案为：8，12，6，1．
【点评】此题考查了立方体的切拼知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
20．（2024春 章丘区期中）一个正方体，将它的表面涂成蓝色，然后切成棱长1厘米的小正方体。已知两面涂色的有24块，这个大正方体的体积是多少立方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】64立方厘米。
【分析】由于两面涂色的小正方体处在12条棱的中间，所以用24除以12求出每条棱的中间小正方体的个数，然后再加上2求出每条棱上小正方体的个数，进而求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式解答即可。
【解答】解：24÷12+2
＝2+2
＝4（个）
1×4＝4（厘米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：这个大正方体的体积是64立方厘米。
【点评】本题关键是理解两面涂色的小正方体所处的位置。
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