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期中检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，，1 B．41，40，9 C．37，35，8 D．69，60，11
3．已知则，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
4．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，．则的周长是（ ）
A．32 B．16 C．21 D．42
6．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．13
8．如图，矩形中，O为AC中点，过点O的直线分别与交于点E、F，连结交于点M，连结，若，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①；②四边形是菱形；③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．化简： ．
10．如图，已知正方形，，则 ．
11．如图，是的高，，则的长是 ．
12．如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ．
13．若，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
14．在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为 ．
15．如图，在梯形中，，，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为 ．
16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
19．如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
20．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
(1)请求出观测点C到公路的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
21．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求．
22．图①、图②均是7×7的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，作出以为边的正方形；
(2)在图②中，作出的中线；
(3)在图①中画出正方形的一条对称轴，使它与平行．
23．如图，在正方形中，，E为正方形内一点，，连结，过点D作，垂足为点F，交的延长线于点G，连结．
(1)求的度数；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
24．如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为、上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平．
(1)点D的坐标是　　　，点E的坐标是　　　，点F的坐标是　　　；
(2)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．
25．阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题：
(1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ，
(2)观察下面的变形规律并解决问题：
①，，，……若为正整数，请你猜想： ，
②计算：
《期中检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C C D A C
1．A
【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握被开方数为整数且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，符合题意；
B．，不符合题意；
C．的被开方数是小数，因此不是最简二次根式不符合题意；
D．的被开方数是分数，因此不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理逐项判断三条线段能否构成直角三角形即可解答．
【详解】解：A．，故选项A不符合题意；
B．，故选项B符合题意；
C．，故选项C不符合题意；
D．，故选项D不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键．
根据二次根式有意义的条件求出，进而求出y的值，代入中进行计算求解．
【详解】解：根据二次根式的意义得，，
，
当时，，，
，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识，根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和，
∴斜边长为，
∴点A所表示的数为，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，，，即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴的周长，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
7．A
【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，
∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，；
∵，
∴，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；故①是正确的；
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确，
设的面积为a，
∵，
则，
而M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．
9．/
【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，根据化简，再结合负数的绝对值等于它的相反数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
10．
【分析】本题主要查了正方形的性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，再由勾股定理解答，即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
11．4
【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据等角对等边，结合三线合一和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
故答案为：4．
12．2
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
证明四边形是平行四边形，得到，则，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，因式分解的应用，实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键．
根据题意中提取公因式可得，即可得出，根据二次根式的性质可得，，再根据实数比较大小的方法进行求解即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
∴．
故答案为：．
14．或10或5．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
又是三边所在直线上的一点，
如图所示，点、、符合题意，
①当点在上时，如上图点，
，，
；
②当点在上时，如上图点，
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，
，即，
解得，（负值已舍去）
，
③当点在上时，如上图点，
设，那么，
，，
，
，
．
综上所述，的长为或10或．
15．14
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线性质，以及勾股定理，过点B作，得到，证明四边形平行四边形，推出，，得到，结合，推出，得到，即可解题．
【详解】解：如图所示，过点B作，
，
，
，
，
，
四边形平行四边形，
则，，，
又，即，
，
，
又，则．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，，，，，
∴，
∴的面积为，
的面积为，
∵与的面积相等，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
17．(1)10
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式．
（1）（2）（3）（4）根据二次根式的乘法法则计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
18．(1)4
(2)
【详解】（1）解：
将，代入上式得，
原式；
（2）解：
将，代入上式得，
原式．
19．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键；
用中点定义得，，再依据平行四边形的性质得到，，进而推出，，，由此判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等得出结论 ．
【详解】证明：点，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
．
20．(1)观测点C到公路的距离为米
(2)此车没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C作于H，
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：米，
米
米
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒，
∴此车没有超速．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论；
（2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置，
，，
又四边形为长方形，
，
，
而，
在与中：
；
（2）解：∵四边形为长方形，
，，
，
，
设，
则，，
在中，，
即，
解得．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点D，连接即可；
（2）取格点D，连接交于点E，则即为所求；
（3）取格点E，F，连接交于点G，连接交于点O，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求；
（2）解：如图所示，中线即为所求；
（3）解：如图③所示即为所求作．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，正方形的判定，三角形中位线性质，矩形的性质等知识，熟悉这些知识是解题的关键．
23．(1)
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质及得，由等腰三角形的性质得，从而求得的度数，再由等腰三角形的性质即可求解；
（2）由等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质得是等腰三角形；再由（1）中所求得是等腰直角三角形；
（3）连接，由正方形的性质及勾股定理求得，由勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得，由即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴；
∵，
∴；
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形；理由如下：
∵，，
∴垂直平分线段，
∴，即是等腰三角形；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：连接，如图；
∵四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得：；
由（2）知，是等腰三角形，且；
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握它们是解题的关键；
24．(1)，，
(2)或或
【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，可得点坐标，再证明，可得点坐标，作于点，利用面积法求出，可得点的坐标；
（2）分四种情形分别求解即可．
【详解】（1）解： ，，
，
设，则，
根据翻折的性质可得，，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
过点作于点．
的面积，
，
，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：当点在线段上，时，满足条件，
此时．
当点在上，的面积的最小值，不满足条件，
当点在线段上，时，满足条件，此时．
当点在线段上时，时，满足条件，此时．
综上所述，满足条件的的值为2.5或9.5或14.5．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，坐标与图形变化——对称，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
25．(1)，
(2)① ；② 2025
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式规律探究，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解；
（2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答；
②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式；
，
故答案为：；．
（2）解：①
；
②
．
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