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期中检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚均匀的硬币次，正面朝上的次数为次
B．清明时节雨纷纷
C．三角形的内角和为
D．个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
2．2025年1月24日下午，2024年安徽全省经济运行情况新闻发布会举行．根据地区生产总值统一核算结果．2024年安徽省地区生产总值为50625亿元．其中数据“50625亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．小明一家四口人随机分乘2辆缆车到某景点观光游览，每辆缆车最多乘坐2人，则小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，边长为，的长方形，它的周长为面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，相交于点O，平分，若，则（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在英语单词中任意选一个字母，选出的字母为“e”的概率为 ．
10．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）．
11．若可以配成一个完全平方公式，则的值为 ．
12．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ．
账号： ， ， 密码．
13．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ．
14．若与的两边分别平行，且，，则 ．
15．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为26；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为 ．

16．如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，在中，，，．请证明：．
20．如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，作，求的度数．
21．对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
22．为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解”），佳佳随机调查了若干人．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)随机调查了______人，扇形统计图中的值为______；
(2)补全条形统计图；
(3)估计在名市民中基本了解垃圾分类的人数；
(4)若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率．
23．如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持．
(1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）．
(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理．
(3)当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）．
《期中检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B A A D C
1．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握随机事件的概念是解题的关键；
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、投掷一枚均匀的硬币次，正面朝上的次数为次，是随机事件，不符合题意；
B、清明时节雨纷纷，是随机事件，不符合题意；
C、三角形的内角和为，是不可能事件，不符合题意；
D、个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，符合题意；
故选：D
2．D
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将“50625亿”写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：“50625亿”．
故选D．
3．B
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设小明一家四口人为、、、，其中代表小明，代表爸爸，先列出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：设小明一家四口人为、、、，其中代表小明，代表爸爸，
则2辆缆车的分配情况有：，；，；，；，；，；，；
共有6种情况，其中小明与爸爸同乘一辆缆车的情况有种；
∴小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，积的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方等于先把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． ，此选项不正确；
B． ，此选项正确；
C． ，此选项不正确；
D． ，此选项不正确；
故答案为：B．
5．A
【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠得到，进而求得，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：由折叠得到，
∴，
∵在长方形纸条中，，
∴．
故选：A
6．A
【分析】本题考查了整式混合运算的运用，由题意可得，，再代入展开后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：，
，
平分，，
，
和是对顶角，
．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数，由概率公式求解即可．
【详解】解：单词中共有5个字母，
其中“e”出现了2次，
故任意选择一个字母恰好是字母“e”的概率为：．
故答案为：．
10．（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：添加的条件是，理由如下：
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查了完全平方式，根据，得出，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵可以配成一个完全平方公式，
∴
∴，
当时，则；
当时，则；
即的值为，
故答案为：
12．
【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可得或，进而列出方程求出的值即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
∵，，
∴或，
解得或，
∴或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查的是完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解本题的关键．设长方形的长为，宽为，由图可得，，由图可得，，再利用整体思想进行变形求解即可．
【详解】解：设长方形的长为，宽为，
由图可得，， 即①，
由图可得，， 即②，
由①②得，， 所以，
即长方形的面积为，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解．
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
∵
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
综上，的读数为或，
故答案为：或．
17．(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
（1）根据零指数幂、负整数指数幂及有理数的运算法则计算即可；
（2）根据积的乘方和同底数幂乘、除法运算法则进行计算即可；
（3）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式加减运算法则进行计算即可；
（4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．，9
【分析】本题考查整式的化简求值，先运用完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项化简后，把x，y的值代入即可解答．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
19．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)或
【分析】（）根据角平分线的定义解答即可求解；
（）分在的同侧和异侧两种情况，分别画出图形解答即可求解；
本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义等，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∴；
（2）解：当在的同侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在的异侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
21．(1)
(2)
【分析】（）根据新定义计算即可；
（）由新定义得，由完全平方公式得，进而即可求解；
本题考查了有理数的新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)，
(2)见解析
(3)人
(4)
【分析】本题考查概率统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、由样本估计总体、一步概率问题及简单概率公式等知识，数形结合是解题的关键；
（1）从两个统计图中可知“非常了解”的人数为150人，占调查人数的，可求出调查人数；C．“基本了解”的人数除以总人数得到占比，即可求得的值；
（2）求出“了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中“基本了解”占调查人数的，因此估计10000人的是“基本了解”；
（4）得到被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民人数，被调查的“非常了解”的居民人数，由简单概率公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）人，，
故答案为：，；
（2）人，补全条形统计图如图所示：
（3）人，
答：在名市民中基本了解垃圾分类的人数为人．
（4）非常了解：人，
了解：人，
基本了解：人，
答：抽到“非常了解”的居民概率为．
23．(1)否
(2)图见解析，，理由见解析
(3)与之间的数量关系为或或．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，整式加减的应用．
（1）根据角的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明；
（3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧，
∴点P与点Q不共点，
∴和没有公共顶点，
∴和不可能为对顶角，
故答案为：否；
（2）解：补全图形，如图，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
综上，与之间的数量关系为或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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