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山东省青岛市2025年高考数学考前练习卷（二）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
6．某学校为提高学生学习英语的积极性，举办了英语知识竞赛，把2000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）
A．a的值为0.015 B．估计成绩低于80分的有50人
C．估计这组数据的众数为80 D．估计这组数据的第60百分位数为87
7．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（ ）
A．8 B．4 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为分析甲班学生某次数学调研测试情况，采用男生、女生分层随机抽样的方法，抽取总人数的20%组成一个样本，该样本中男生的成绩为，女生成绩为，分析发现男生成绩和女生成绩的中位数都是、方差均都是，若男生成绩与女生成绩的平均数分别为，则（ ）
A．该班级参加调研测试人数为50人 B．样本中位数为
C．样本平均数为 D．样本方差
10．已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
11．如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．与不可能垂直
B．三棱锥体积的最大值为
C．若都在同一球面上，则该球的表面积是
D．直线与所成角的取值范围为（）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的内角、、的对边分别为、、，其外接圆半径，则的面积为 ．
13．已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为 ．
14．已知函数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
(1)求；
(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
16．某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 38 48 58 68 78 88
质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；
(2)已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据：，，，.
（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
17．已知抛物线：与双曲线：相交于点．
(1)若，求抛物线的准线方程；
(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
18．“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
《山东省青岛市2025年高考数学考前练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D D D C B ABD ABD
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】根据集合的补集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B
2．C
【分析】根据复数的除法运算、共轭复数、复数的模，复数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
3．D
【分析】根据向量夹角为钝角可得向量数量积为负数且不共线得解.
【详解】因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，
故选：D
4．D
【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，与，
答案A没有幂函数图像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
5．D
【分析】根据等差数列的性质求解.
【详解】因为,
所以，.
故选：D
6．D
【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，根据频率分布直方图计算可估计总体判定可判定B，利用众数、百分位数的求法C，D.
【详解】易知，解得，所以A错误；
成绩低于80分的频率为，所以估计总体有人，所以B错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以C错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
8．B
【分析】根据所给条件可得，当时可推出，由函数单调性可得，即可得解.
【详解】由题意，，
又，
所以，
若，
则，
所以
由是定义域为的单调递增函数，可知有且只有成立，
所以，
故选：B
9．ABD
【分析】根据分层抽样定义得到总人数，判断A，根据中位数，平均数，方差的定义判断B、C、D.
【详解】不妨设，．
对于A，由分层随机抽样的概念可知，该班级男生和女生人数相等，所以该班参加调研测试人数为（人），所以A正确；
对于B，两组成绩和的中位数分别为，则．
又因为样本成绩排序，前面有四个，后面有四个，所以样本成绩的中位数，即为两组成绩合并后的中位数，则中位数为，
所以样本中位数为，所以B正确；
对于C，样本平均数即为两组成绩合并后的平均数，所以C错误；
对于D，样本方差，所以D正确，
故选：ABD.
10．ABD
【分析】根据对称中心完全相同得到，计算，得到函数解析式，，A正确，，B正确，代入验证知C错误D正确，得到答案.
【详解】对称中心完全相同，则周期相同，，则，
，是的一个对称中心，
故，，即，
又，故当，时满足条件，故，
对选项A：，函数定义域为，为偶函数，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：当时，不是的对称轴，错误；
对选项D：当时，，,故是的对称中心，正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；
对于B选项：取的中点，连接，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断；
对于C，根据，可得都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断；
对于D选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围.
【详解】解：对于A选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，故A错误；
对于B，取的中点，连接，
则，且，
因为，
当平面平面时，三棱锥体积的最大值，
在中，，则，
此时，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以都在同一球面上，且球的半径为，
所以该球的表面积是，故C正确；
对于D，作，
因为为的中点，所有，
，所以，
所以，所以，
可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，
所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内，
，，
所以与所成角的取值范围，所以正确，
故选：BCD.
【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.
12．/0.75
【分析】利用正弦定理的比值与外接圆半径的关系可得，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】解：由题，由正弦定理得，
所以 ，
所以 .
故答案为：
13．/
【分析】化简直线为，得到恒过定点，根据题意，得到点落在以为直径的圆上，其中半径为，结合，即可求解.
【详解】由直线，可化为，
由方程组，解得，可得直线恒过定点，
则，
因为在动直线上的投影为点，即，
所以点落在以为直径的圆上，其中圆的半径为，
设的中点为，可得，
又因为，可得，所以的最大值为.
故答案为：.
14．2783
【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案.
【详解】由知，
设，则，
对照系数，得，则，即，
则，
的图象关于点中心对称；
故．
即
，
故答案为：2783
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求；
（2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
16．(1)
(2)当产品的尺寸约为72时，收益z的预报值最大
【分析】（1）结合非线性回归方程的求法求得关于的回归方程.
（2）求得的表达式，结合二次函数的性质求得当约为时，收益的预报值最大.
【详解】（1）对两边取自然对数得.
令，，则，其中.
根据所给统计量及最小二乘估计公式有：
，
，
又，所以，所以y关于x的回归方程为.
（2）由（1）得，所以.
令，则当时，z取得最大值，
此时，
所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.
17．(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）求出，代入求出即可求出准线方程.
（2）把直线的方程分别与、联立，用表示出，进而求出切点的坐标，再求出三角形面积即得结果.
【详解】（1）由，得，将其代入，得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
于是，令，则直线的方程为，
点，由，得，
所以，
点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
18．(1)有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据男女生各名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解.
（2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期.
19．(1)；.
(2)答案见解析
【分析】（1）分别取和即可求得的值，对进行分奇偶讨论，即可得到的通项公式；
（2）根据题意化简得到，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以，所以.
又因为，所以.
当为奇数时，，
所以，，
作差，，所以.
当为偶数时，，
所以，，
作差，，所以.
所以，.
（2）由第1小问得，，
所以令，
所以
.
所以.
下面证明：
因为，
所以.
下面证明：
因为，
所以，
所以.
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式和，放缩之后再进行求和，即可证明不等式.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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