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第4章因式分解章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
3．下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若多项式可因式分解为，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．14
5．在中，若三边长a，b，c满足，，则边长c为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥
7．若，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．因式分解： ．
10．当整数为 时（只写一个），多项式能用平方差公式分解因式．
11．若，则 ．
12．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ．
13．已知，，，则代数式的值为 ．
14．计算的值为 ．
三、解答题
15．分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
16．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．
(1)求原来的二次三项式；
(2)将（1）中的二次三项式分解因式．
17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
18．阅读以下材料：
根据有理数乘法（除法）法则可知：
若（或），则或；若（或，则或．
根据上述知识，可求不等式的解集．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ；
（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
19．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由．
20．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，发现可以用两种方法表示矩形纸板的面积：方法1：_______，方法2：______，利用面积相等可以将代数式因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
《第4章因式分解章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A A A C
1．C
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．逐项分解因式的即可求解．
【详解】解：A. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
B. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
C. ，不能因式分解，故该选项符合题意；
D. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解．
【详解】解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，
∴，即的值是负数．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可．
【详解】解：
，
∵关于x的多项式可因式分解为，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是正确掌握因式分解的方法．
根据完全平方公式和平方差公式对等式变形，可求出边长c．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，得
，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
，
∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，由可得，即得，再对多项式因式分解得，最后把的值代入计算即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
\∴，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解．
【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确；
若，则，假设可以分解为一个整式的平方，
设，
则
,
，，，，,
，
，,
这与矛盾，
∴假设不成立，
故，则不可能分解为一个整式的平方，
∴②正确；
若，且，，，，均为正整数，
则有，，，，，
或，，，，，
或，，，，共三种情况，故③错误；
故选：C．
9．
【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查了公式法分解因式．直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：当时，．
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查二次根式的计算，因式分解，求代数式的值．将变形为，再代入，计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵多项式进行因式分解得到，
∴，
∴，
故答案为：5．
13．3
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解因式的应用，把原多项式扩大2倍得完全平方式是解题关键．
【详解】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可；
（2）提取公因式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
，
．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法．
（1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可；
（2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
，
，
∴原来的二次三项式为：；
（2）解：．
17．(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
18．（1）；（2）或
【分析】本题主要考查解不等式、因式分解的应用，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．
（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
【详解】解：原不等式可化为，
故可得①或②．
由①得，无解，
由②得，，
原不等式的解集为：，
故答案为：．
（2）由知，
①或②，
解不等式组①，得：；
解不等式组②，得：；
所以不等式的解集为或．
19．(1)
(2)是等腰三角形或直角三角形，理由见解析
【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键．
（1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解；
（2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解．
【详解】（1）解
；
（2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下．
或
或
是等腰三角形或直角三角形．
20．(1)
(2)，，
(3)49
【分析】本题考查的是多项式乘多项式与图形的面积，完全平方公式的变形求值．
（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，
由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：，，；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
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