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2025年浙江中考数学一模卷数学精选03-作图题
一、解答题
1．（2025·浙江舟山·一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法）
(2)在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据作一个角等于已知角的作图步骤，作出即可；
（2）根据题意画出图形，证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题．
【详解】（1）解：如图即为所作；
（2）解：在射线上取点D，连结交于点O，且点O是的中点，
，
，，
，
，
．
2．（2025·浙江湖州·一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
(1)如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
(2)如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
(3)如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）
(2)图见解析（作法不唯一）
(3)图见解析（作法不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点即可得；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得；
（3）先连接，交于点，再连接，并延长交于点，然后连接，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，格点和线段即为所求（答案不唯一）．
．
（2）解：如图，点即为所求（作法不唯一）．
．
（3）解：如图，点和四边形即为所求（作法不唯一）．
．
3．（2025·浙江衢州·一模）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线．
依据小柯的“新方法”解答下列问题．
(1)说明是的角平分线的理由．
(2)若，垂足为O，当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质．
（1）根据作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分；
（2）先根据已知证明，可得，由此证明四边形为平行四边形，进而得出，，由，即可解题．
【详解】（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即平分，
（2）∵
∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∴，
∴
4．（2025·浙江杭州·一模）已知：如图，平分，于点D．
(1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹）
(2)在上题条件下已知，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查作图一复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
（1）在的左侧作，交于点即可；
（2）过点作于点，解直角三角形求出，，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：在的左侧作，交于点，
直线即为求作的；
理由：由作法可知：，
；
（2）解：过点作于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使．
作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为．
(1)求证：通过尺规作图，；
(2)若，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作图可得垂直平分，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角以及已知条件得出，，进而即可得证；
（2）根据（1）的结论可得得出，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，又，则，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正切的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明．
(1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
(2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，
对于（1），过圆心画一条直径，再分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过两个交点画直线，与交于点C，D，连接，则就是所求作的三角形；
对于（2），连结，，根据垂径定理得，即，再说明是等边三角形，可得，然后根据圆周角定理得，可求出，则结论可证.
【详解】（1）解：图1即为所作图形．
（2）解：如图2，连结OD，BD．
∵是的中垂线，为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
7．（2025·浙江杭州·一模）综合与实践
某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构．
【图形结构再认识】
（1）如图，在中，，于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改）
① ② ③
【特殊情况研究】
（2）小澄发现，当图中的时，点D是的黄金分割点，请你说明理由．
【图形拓展深化】
（3）小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明．
【答案】（1）见详解（2）是，理由见详解（3）线段，证明见详解
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，于点D，得，证明；再结合，故，根据在中，；运用勾股定理得，，结合，则，即可作答．
（2）先证明，再运用，故，结合整理得，即可作答．
（3）作的垂直平分线，则的垂直平分线与的交点为点E，连接，过D作的垂线交于点F，证明，得，则，根据，所以，运用代入化简，即可作答．
【详解】解：（1）①证明如下：∵，
∴，
∵于点D．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵于点D．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
③∵于点D，
∴在中，；
∴在中，；
∵，
∴；
（2）∵于点D，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴点D是的黄金分割点，
（3）作的垂直平分线，则的垂直平分线与的交点为点E，连接，过D作的垂线交于点F，即为所求线段：
在中，点E是的中点，
∴，
由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴．
8．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）在中，．
(1)尺规作图：在找一点D，使点D到点A、点C的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)在（1）的前提下，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了作垂直平分线线，垂直平分线的性质，勾股定理，以及求角的正切等知识，掌握垂直平分线的作图以及性质是解题的关键．
（1）作的垂直平分线即可．
（2）根据题意设，则，则，根据线段垂线平分线得出，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：如下图：点D即为所求，
（2）解：∵，
∴设，则．
∴，
∵是的中垂线，
．
，
，
9．（2025·浙江·模拟预测）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中作一点，使．
(2)在图2中作一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的基本作图方法，是解题的关键．
（1）作外接圆的圆心，则圆心D即为所求；
（2）方法一：延长，截取，则此时点E即为所求；方法二：延长截取，则点E即为所求．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点，
∵，
∴；
（2）解：方法一：如图，点E即为所求；
∵，
∴，
∴；
方法二：如图，点E即为所求；
∵，
∴，
∴．
10．（2025·浙江嘉兴·一模）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，，．用直尺和圆规作，E是边上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则．
小明：如图3，以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则．
(1)填空：判断他们的作图方法是否正确（填“正确”或“错误”）．
①小红的作法______；
②小明的作法______．
(2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】(1)①正确；②错误
(2)选择小红的做法，见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和等边对等角的性质．
（1）根据题意可得到结论；
（2）利用平行四边形的性质和等边对等角三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：①小红的作法正确；
②小明的作法错误．
（2）解：选择小红的做法．
理由：因为四边形是平行四边形，所以，
由作图得，
所以，
因为，
所以．
所以小红的做法正确．
选择小明的做法．
理由：因为四边形是平行四边形，
所以，
由作图得，
所以
因为
所以，
所以小明的做法错误．
11．（2025·浙江绍兴·一模）已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下．
甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形．
乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接，，得四边形．
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．
【答案】甲、乙两位同学的作法都正确，理由见解析
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、矩形的判定等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据平行四边形的判定方法、矩形的判定方法判断并证明即可．
【详解】解：当甲、乙两位同学的作法都正确．
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又∵点，在异侧，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点是的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
12．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．
(1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求；
（2）取格点，满足，则即为所求，
【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比为．
（2）解：如图，格点即为所求，
理由：连接并延长，为上点，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键．
13．（2024·浙江宁波·二模）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题．
(1)在图 1 中以点 为旋转中心，作 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
(2)设 外接圆圆心为点 ，则在(1)的条件下，求 扫过的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）分别作线段的垂直平分线，相交于点O，分别作线段的垂直平分线，相交于点，由题意得，，由勾股定理可得的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：分别作线段的垂直平分线，相交于点O，分别作线段的垂直平分线，相交于点，
由题意得，，
由勾股定理得，，
∴ 扫过的面积为： ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年浙江中考数学一模卷数学精选03-作图题
一、解答题
1．（2025·浙江舟山·一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法）
(2)在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长．
2．（2025·浙江湖州·一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
(1)如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
(2)如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
(3)如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
3．（2025·浙江衢州·一模）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线．
依据小柯的“新方法”解答下列问题．
(1)说明是的角平分线的理由．
(2)若，垂足为O，当，时，求的长．
4．（2025·浙江杭州·一模）已知：如图，平分，于点D．
(1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹）
(2)在上题条件下已知，，求的长．
5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使．
作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为．
(1)求证：通过尺规作图，；
(2)若，求．
6．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明．
(1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
(2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
7．（2025·浙江杭州·一模）综合与实践
某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构．
【图形结构再认识】
（1）如图，在中，，于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改）
① ② ③
【特殊情况研究】
（2）小澄发现，当图中的时，点D是的黄金分割点，请你说明理由．
【图形拓展深化】
（3）小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明．
8．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）在中，．
(1)尺规作图：在找一点D，使点D到点A、点C的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)在（1）的前提下，若，求的值．
9．（2025·浙江·模拟预测）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中作一点，使．
(2)在图2中作一点，使．
10．（2025·浙江嘉兴·一模）小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，，．用直尺和圆规作，E是边上一点．
小红：如图2，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则．
小明：如图3，以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则．
(1)填空：判断他们的作图方法是否正确（填“正确”或“错误”）．
①小红的作法______；
②小明的作法______．
(2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
11．（2025·浙江绍兴·一模）已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下．
甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形．
乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接，，得四边形．
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．
12．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．
(1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
13．（2024·浙江宁波·二模）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题．
(1)在图 1 中以点 为旋转中心，作 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
(2)设 外接圆圆心为点 ，则在(1)的条件下，求 扫过的面积．
试卷第1页，共3页
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