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专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。
模型01 实数的计算
考｜向｜预｜测
1.实数的计算一般为解答题第1题：
2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合：
3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字.
答｜题｜技｜巧
1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3.实数运算的“三个关键”
①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4.常见的公式及易错点：
负整数指数幂：（为正整数）；
（2）零指数幂：
（3）特殊角的三角函数值：
，，，
，，，
，，．
（4）常见的易错点：
，
（2024 济南）计算：．
【答案】6．
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式＝3﹣1+4
＝3﹣1
＝6．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
1．（2024 乐山模拟）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟练掌握相关知识点是关键．
2．（2024 五华区校级模拟）计算：．
【答案】5．
【分析】先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
＝5．
【点睛】本题考查实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
3．（2024 甘肃二模）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
＝3﹣31
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
4．（2024 荷塘区校级模拟）计算：．
【答案】2024．
【分析】利用特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂计算即可．
【详解】解：
＝2+2022
＝2024．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幂．根据60度角的正切值、绝对值及负整数指数幂的意义即可求得结果．
5．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根运算法则计算，再合并即可；
（2）先根据零指数幂、算术平方根、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
＝1﹣7+9
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．计算：
（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）；
（2）．
【答案】（1）﹣2；
（2）4．
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）先算括号里面的，再算乘方、开方，再算乘法，最后算减法即可．
【详解】解：（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）
＝5+5+（﹣12）
＝10+（﹣12）
＝﹣2；
（2）
＝362
＝6﹣2
＝4．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
模型02 整式的混合运算与化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过
程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题：
2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母：
3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体代人法
答｜题｜技｜巧
1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
4.常用的乘法公式：
（1）完全平方公式：；
（2）平方差公式：．
（2024 甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【答案】2a+b，3．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入a＝2，b＝﹣1，求出答案即可．
【详解】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
1．（2024 连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．
【答案】6a﹣18．
【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2
＝a2﹣9﹣（a2﹣6a+9）
＝a2﹣9﹣a2+6a﹣9
＝6a﹣18．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
2．（2024 镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
【答案】不正确，正确解答见解析．
【分析】根据题目中的解答过程可知，小明的解答不正确；根据乘法公式将题目中的式子展开，再去括号合并同类项即可将正确的解答过程写出来．
【详解】解：由题目中的解答过程可知：小明的解答不正确，
正确解答：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2
＝m2﹣9﹣（m2+2m+1）
＝m2﹣9﹣m2﹣2m﹣1
＝﹣2m﹣10．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．（2024 北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．
（1）当x＝0时，求P的值；
（2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除．
【答案】（1）﹣5；
（2）理由见解析．
【分析】（1）把x＝0代入多项式计算即可；
（2）先计算出P的值为5（x﹣1），然后判断即可．
【详解】解：（1）当x＝0时，P＝22﹣9＝4﹣9＝﹣5；
（2）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9
＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9
＝5x﹣5
＝5（x﹣1），
∵x为整数，
∴5（x﹣1）是5的倍数，
即多项式P能被5整除．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2024 城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0．
【答案】2y2﹣xy，原式＝27．
【分析】先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy
＝2（x2﹣2xy+y2）﹣2x2+3xy
＝2x2﹣4xy+2y2﹣2x2+3xy
＝2y2﹣xy，
∵|x﹣3|0，
∴x﹣3＝0，x+y＝0，
解得：x＝3，y＝﹣3，
∴当x＝3，y＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2﹣3×（﹣3）＝2×9+9＝18+9＝27．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2024 城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1．
【答案】2xy+2y2，﹣2．
【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，然后将x＝2，y＝﹣1代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y）
＝x2﹣4xy+4y2+2x2﹣2y2﹣3x2+6xy
＝（x2+2x2﹣3x2）+（﹣4xy+6xy）+（4y2﹣2y2）
＝0+2xy+2y2
＝2xy+2y2，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）+2×（﹣1）2＝﹣2．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
6．（2024 北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再将已知变形代入得出答案．
【详解】解：（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）
＝x2+2x+1+x2+4x+x2﹣9
＝3x2+6x﹣8，
∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
∴原式＝3（x2+2x）﹣8
＝3×1﹣8
＝3﹣8
＝﹣5．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
模型03 分式的运算及化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找
解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解
2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以内的有理数：
3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还会涉及因式分解。
答｜题｜技｜巧
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（2024 哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．
【答案】．
【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解．
【详解】解：由题意，原式
．
又x＝2cos30°﹣tan45°
＝21
1，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
1．（2025 泗洪县一模）先简化，再求值：，其中．
【答案】见试题解答内容
【分析】先对x2﹣4分解因式，再通分、约分，进行化简求值．
【详解】解：原式
，
当x1时，
原式．
【点睛】考查分式的化简求值，比较简单．
2．（2024 西城区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
【答案】，．
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：（1）
，
当x＝5时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2024 深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝1．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【详解】解：原式＝（）

，
当a＝1时，原式1．
【点睛】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2024 平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．
【答案】1．
【分析】利用分式的混合运算法则将化简为，再根据题意得到x2＝x+1，将x2＝x+1代入化简后的式子求解．
【详解】解：
，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴上式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
5．（2024 朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x） 的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先化简所求式子，再根据x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再将x+2y＝﹣2代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（x）


＝2（x+2y）
＝2x+4y，
∵x+2y+2＝0，
∴x+2y＝﹣2，
∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2024 大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
计算：
甲同学 解：原式． 乙同学 解：原式
我选择：　甲/乙　同学
【答案】甲/乙．
【分析】甲同学：先通分，然后根据分式的乘法法则计算即可；
乙同学：根据乘法的分配律计算即可．
【详解】解：甲同学：原式
＝x+2；
乙同学：原式
＝x+2．
故答案为：甲/乙．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．（2024 开封二模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式＝[]
解：原式
（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）③；②；
（2）2x．
【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
＝[]


＝2x；
若选择乙同学的解法：


＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
模型04 二次根式的计算
考｜向｜预｜测
二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角函数进行综合考查。
答｜题｜技｜巧
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（2024 甘肃）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】解：原式＝33
＝0．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并同类二次根式．
1．（2024 甘州区二模）计算：4（）2．
【答案】﹣7．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式＝2（3+2+2）
＝25﹣2（2）
＝25﹣22
＝﹣7．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2024 临渭区三模）计算：．
【答案】23．
【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式＝3
＝33
＝23．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
3．（2024 浙江模拟）先化简，再求值：，其中a2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把a的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14
＝2a2﹣10﹣a2+4a+14
＝a2+4a+4
＝（a+2）2，
当a2时，原式＝（2+2）2＝6．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
4．（2024 青神县模拟）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可．
【详解】解：原式＝24﹣1
＝24﹣11
＝4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
5．计算：．
【答案】5﹣2．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式计算即可．
【详解】解：原式＝51﹣（3﹣2）
＝51﹣3+2
＝5﹣2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则，学会用代入法解方程组．
6．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）13+4；
（2）115．
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【详解】解：（1）原式＝（3）2﹣1﹣（12﹣41）
＝27﹣1﹣12+41
＝13+4；
（2）原式＝2
＝123﹣2
＝115．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
一．解答题（共14小题）
1．（2024 北京）计算：．
【答案】．
【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可．
【详解】解：
＝12
．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识．
2．（2024 青海）计算：tan45°+π0﹣||．
【答案】．
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式，进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式．
3．（2024 吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
【答案】6．
【分析】先将原式化简，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：（a+1）（a﹣1）+a2+1
＝a2﹣1+a2+1
＝2a2
∵，
∴原式＝2×（）2＝6．
【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，正确进行计算是解题关键．
4．（2024 重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1）．
【答案】（1）4a﹣2；
（2）．
【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减；
（2）先计算括号里面的分式加减，再进行因式分解、约分．
【详解】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）（1）

．
【点睛】此题考查了代数式的混合运算能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并能进行正确地计算．
5．（2024 潍坊）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）﹣1；（2）a﹣2，．
【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减；
（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得．
【详解】解：（1）
＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1；
（2）
＝a﹣2；
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键．
6．（2024 西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0．
【答案】a2﹣4a+1，﹣2．
【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2﹣4a+1，由所给条件得到a2﹣4a＝﹣3，整体代入，即可得到结果．
【详解】解：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1）
＝（9a2﹣6a+1）﹣8a2+2a
＝（9a2﹣8a2）+（﹣6a+2a）+1
＝a2﹣4a+1
∵a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝a2﹣4a+1＝﹣3+1＝﹣2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
7．（2024 山西）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
（2）化简（）．
【答案】（1）﹣10；
（2）．
【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
（2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]
＝（﹣6）（）﹣2+（﹣3﹣1）
＝（﹣6）（）﹣2﹣4
＝﹣2﹣4﹣4
＝﹣10；
（2）（）

．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．
8．（2024 广安）先化简（a+1），再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】，当a＝0时，原式＝﹣1，当a＝2时，原式＝0．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【详解】解：原式＝（）

，
由题意得：a≠1且a≠﹣2，
当a＝0时，原式1，
当a＝2时，原式0．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
9．（2024 甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．
【答案】，当x＝1时，原式（答案不唯一）．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2，
∴整数x＝1或﹣1，
∴当x＝1时，原式（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10．（2024 烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（），再求值．
【答案】，．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可．
【详解】解：（）
＝（）

，
根据计算器可得m＝±±±2，
∵4﹣2m≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11．（2024 绵阳）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）0；
（2），．
【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）
＝12|1|﹣3
＝12（1）﹣3
＝123
＝0；
（2）

，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
12．（2024 北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．
【详解】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
＝3．
【点睛】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键．
13．（2024 淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
【答案】；．
【分析】根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
原式
，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（2024 泰安）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）7；
（2）．
【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）；
＝7；
（2）
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
一．解答题（共14小题）
1．（2024 茂南区校级一模）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算平方、零次幂、负整数指数幂，再计算加减．
【详解】解：
＝4﹣3+1+3
＝5．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
2．（2024 罗湖区校级模拟）计算：．
【答案】1．
【分析】先计算零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减
【详解】解：
＝21+2
1+2
＝1．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
3．（2024 湘阴县二模）计算：．
【答案】5．
【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式
＝4+1
＝5．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
4．（2024 渭源县模拟）计算：．
【答案】4．
【分析】先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
＝4．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
5．（2024 郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【答案】（1）6；
（2）10﹣4x．
【分析】（1）根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案．
（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【详解】解：（1）原式＝2+1+3
＝6；
（2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+9
＝10﹣4x．
【点睛】此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2024 娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，．
【答案】4xy﹣2y2，．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代入计算即可得．
【详解】解：原式＝4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4xy﹣2y2；
将x＝﹣2，代入得：
原式
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
7．（2024 南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1．
【答案】2b2，2．
【分析】先根据多项式除以单项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣3ab+ab﹣3b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+3ab﹣ab+3b2
＝2b2，
当b＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2＝2×1＝2．
【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
8．（2025 闵行区一模）计算：．
【答案】．
【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【详解】解：
1
．
【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．（2024 甘州区二模）计算：4（）2．
【答案】﹣7．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式＝2（3+2+2）
＝25﹣2（2）
＝25﹣22
＝﹣7．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
10．（2024 工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将括号内部分通分合并再约分，最后代入求值即可．
【详解】解：
（）
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2024 庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x），其中x．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式 x+1，
当x时，原式1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2024 武冈市校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
【答案】，．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（）

，
当x＝5时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
13．（2024 龙华区三模）先化简，再求值：，其中a2﹣a﹣2＝0．
【答案】，﹣2．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式，接着解方程得到a1＝﹣1，a2＝2，然后根据分式有意义的条件得到a＝﹣1，最后把a的值代入计算即可．
【详解】解：原式[]

，
解方程a2﹣a﹣2＝0得a1＝﹣1，a2＝2，
∵a﹣2≠0且a﹣3≠0且a+3≠0，
∴a＝﹣1，
当a＝﹣1时，原式2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
14．（2024 南岗区一模）先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°+1．
【答案】，．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将a的值代入计算即可．
【详解】解：原式

，
当a＝2cos30°+1＝211时，
原式
．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质把所求式子化简．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。
模型01 实数的计算
考｜向｜预｜测
1.实数的计算一般为解答题第1题：
2.涉及到的知识点有：零次幂、-1的奇偶次幂、数的乘方、负整数指数幂、绝对值、开方运算、特殊角的三角函数值等，一般为3-5个知识点的组合：
3.乘方、负整数指数幂涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字.
答｜题｜技｜巧
1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3.实数运算的“三个关键”
①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4.常见的公式及易错点：
负整数指数幂：（为正整数）；
（2）零指数幂：
（3）特殊角的三角函数值：
，，，
，，，
，，．
（4）常见的易错点：
，
（2024 济南）计算：．
1．（2024 乐山模拟）计算：．
2．（2024 五华区校级模拟）计算：．
3．（2024 甘肃二模）计算：．
4．（2024 荷塘区校级模拟）计算：．
5．计算：
（1）； （2）．
6．计算：
（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）．
模型02 整式的混合运算与化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过
程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题：
2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母：
3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体代人法
答｜题｜技｜巧
1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
4.常用的乘法公式：
（1）完全平方公式：；
（2）平方差公式：．
（2024 甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
1．（2024 连州市二模）化简：（a﹣3）（a+3）﹣（a﹣3）2．
2．（2024 镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
3．（2024 北戴河区一模）已知多项式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．
（1）当x＝0时，求P的值；
（2）若x为整数，试说明多项式P能被5整除．
4．（2024 城中区校级三模）求代数式2（x﹣y）2+（﹣4x3y+6x2y2）÷2xy的值，其中|x﹣3|0．
5．（2024 城中区校级二模）先化简，再求值：（x﹣2y）2+2（x﹣y）（x+y）﹣3x（x﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1．
6．（2024 北京模拟）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
模型03 分式的运算及化简
考｜向｜预｜测
1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找
解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解
2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2，字母的系数为10以内的有理数：
3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还会涉及因式分解。
答｜题｜技｜巧
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（2024 哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．
1．（2025 泗洪县一模）先简化，再求值：，其中．
2．（2024 西城区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
3．（2024 深圳模拟）先化简，再求值：，其中a＝1．
4．（2024 平江县二模）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．
5．（2024 朝阳区一模）已知x+2y+2＝0，求代数式（x） 的值．
6．（2024 大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
计算：
甲同学 解：原式． 乙同学 解：原式
我选择：　 　同学
7．（2024 开封二模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式＝[]
解：原式
（1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
模型04 二次根式的计算
考｜向｜预｜测
二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角的三角函数进行综合考查。
答｜题｜技｜巧
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（2024 甘肃）计算：．
1．（2024 甘州区二模）计算：4（）2．
2．（2024 临渭区三模）计算：．
3．（2024 浙江模拟）先化简，再求值：，其中a2．
4．（2024 青神县模拟）计算：．
5．计算：．
6．计算：
（1）；
（2）．
1．（2024 北京）计算：．
2．（2024 青海）计算：tan45°+π0﹣||．
3．（2024 吉林）先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中．
4．（2024 重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1）．
5．（2024 潍坊）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
6．（2024 西宁）先化简，再求值：（3a﹣1）2﹣2a（4a﹣1），其中a满足a2﹣4a+3＝0．
7．（2024 山西）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
（2）化简（）．
8．（2024 广安）先化简（a+1），再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
9．（2024 甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．
10．（2024 烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（），再求值．
11．（2024 绵阳）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
12．（2024 北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．
13．（2024 淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
14．（2024 泰安）（1）计算：；
（2）化简：．
1．（2024 茂南区校级一模）计算：．
2．（2024 罗湖区校级模拟）计算：．
3．（2024 湘阴县二模）计算：．
4．（2024 渭源县模拟）计算：．
5．（2024 郸城县四模）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（）﹣1；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
6．（2024 娄星区校级二模）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，．
7．（2024 南充模拟）化简并求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣3b），其中b＝﹣1．
8．（2025 闵行区一模）计算：．
9．（2024 甘州区二模）计算：4（）2．
10．（2024 工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中．
11．（2024 庐阳区校级模拟）先化简再求值：（2x），其中x．
12．（2024 武冈市校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
13．（2024 龙华区三模）先化简，再求值：，其中a2﹣a﹣2＝0．
14．（2024 南岗区一模）先化简，再求代数式的值，其中a＝2cos30°+1．
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