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重难点05 三角形全等、相似及综合应用（三角形全等、三角形相似、折叠问题、旋转问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 三角形全等及其应用
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
1. 认真分析题目的已知和求证；
2. 分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
3. 在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
4. 最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
1．（2024 上海）如图，点是上任一点，，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出的是　　
A． B． C． D．
1．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
2．下面是“作角的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；
（3）作射线．
所以射线即为所求．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
3．综合探究
问题情境：是等边三角形，点是AC上一点，点在的延长线上，且，连接，．
猜想证明∶
（1）如图1，当点D是的中点时，______；（填“”，“”或“”）
（2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程）
问题解决：
（3）如图3，当点是边上任意一点时，取的中点，连接．求的度数．
4． “综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答：
(1)如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长；
(3)将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少．
5．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的中线有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，，点是的中点，连接．用尺规作的垂直平分线分别交，于点，，连接．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)已知：在中，，点是的中点，垂直平分，求证：．
证明：
___________①
点是的中点，垂直平分
，___________②
在和中
．
进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④___________．
模型02 三角形相似及其应用
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
认真分析题目的已知和求证；
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键。
1.（2024·山西）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在中，，，，将沿下列各图中的剪开，剪下的阴影三角形与不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（ ）
嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，． ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵， ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题
C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题
3．如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ．

4． 在菱形中，，点E在射线上，连接、．
(1)如图1，当点E是边的中点，求的正切值；
(2)如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长；
(3)当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长．
5．如图1，在四边形的边上任取一点，点不与，重合，分别连结，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把叫做四边形边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形边上的强相似点．
(1)如图1，若，试判断点是不是四边形的边上的相似点？______（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，在中，，直角顶点在直线上，分别过点，作于点，于点，试判断点是不是四边形边上的相似点？并说明理由；
(3)如图3，，平分，平分交于点，过点作于点，交于点，求证：点是四边形边上的一个强相似点．
模型03 三角形折叠问题探究
考｜向｜预｜测
与三角形的性质有关的折叠问题，该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1. 运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2. 在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
3. 利用勾股定理列方程求出x；
4. 进行相关计算解决问题.
1．（2023 山东）对于题目：“如图，点M，N分别是长方形ABCD的边AB和BC上的点，沿MN折叠长方形ABCD，点B落在点B′处，若∠MNB′与∠CNB′两个角之差的绝对值为45°，确定∠BNM的所有度数．”甲的结论是∠BNM＝45°，乙的结论是∠BNM＝60°．下列判断正确的是（ 　　）
A．甲的结论正确
B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合在一起才正确
D．甲、乙的结论合在一起也不正确
1．如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交于点D、E．如果，的周长为，那么的长为（　　）．

A． B． C． D．
2．如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ．
3．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ．
4．如图，在平行四边形中，， ，P是射线上一点，连接，沿将三角形折叠，得三角形．
(1)当时， _______度；
(2)如图，当时，_____度，并求此时线段的长度；
(3)当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出线段的长度．
模型04 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
1. 找准旋转中心；
2. 确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；
3. 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
4. 数形结合进行分析、解答。
1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　 　）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
1．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．
【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法．
(1)思路梳理：
A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ．
B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到．
(2)类比引申
如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明．
2．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______；
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．
1．（2024·山西）小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（ ）
A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
2．（20244·福建）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
3．（2024·浙江）如图，在中，∠ABC＝90°，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长 ．
4．（2023·四川）如图，将一张等腰三角形纸片（），沿折叠后点与点重合，点为线段上一点，连接，将三角形沿折叠，点恰好落在直线上的点，则的余角的度数为 ．
5．（2024·广东）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点、在轴上，在轴上，，直线分别与轴、轴、线段、射线交于点、、、．
(1)当时，求证：
(2)探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)在轴上是否存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值以及点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·山东）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容．
思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？
(1)【应用发现】
小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究：
如图1，如果和中，，，．则可证．
证明：在上取一点，使．
，①______．
又
而．②______．
，③______．
又．（AAS）．
．
小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论．
请补全小明证明中①②③④所缺的内容．
总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形．
(2)【拓展探究】
为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点．
①如图3，若，求证：点为的中点；
（说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分）
②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值．
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，点E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为 ．

2．如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点 重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到，点 的对应点分别是点，直线与边交于点（点不与点重合），与边 交于点．
(1)折痕的长为　　　　．
(2)在绕点 旋转的过程中，试判断 与的数量关系，并证明你的结论．
(3)在绕点旋转的过程中，探究下列问题：
如图，当直线经过点时，的长为　　　　　．
如图，当直线 时，求的长．
(4)在绕点 旋转的过程中，连接，则的最小值为 ．
3．【基础方法】
（1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；

【方法应用】
（2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度；
【应用拓展】
（3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积．
4．如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)[问题发现]当时，_____；当时，____；
(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明；
(3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______．
5．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．
(1)问题发现
如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空:
①的值为 ；
②的度数为 ．
(2)类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，．
①求的度数；
②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，若，，求四边形的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 三角形全等及其应用
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
1. 认真分析题目的已知和求证；
2. 分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
3. 在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
4. 最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
1．（2024 上海）如图，点是上任一点，，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：、补充，先证出，后能推出，故此选项错误；
、补充，先证出，后能推出，故此选项错误．
、补充，不能推出，故此选项正确；
、补充，先证出，后能推出，故此选项错误；
故选：．
1．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：．
2．下面是“作角的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；
（3）作射线．
所以射线即为所求．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及基本作图，由作图可得， ，根据三角形全等的判定方法“”解答，熟练掌握三角形全等的判定方法，读懂题目信息是解题的关键．
【详解】解∶连接， ，
由作图可得， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
故选：．
3．综合探究
问题情境：是等边三角形，点是AC上一点，点在的延长线上，且，连接，．
猜想证明∶
（1）如图1，当点D是的中点时，______；（填“”，“”或“”）
（2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程）
问题解决：
（3）如图3，当点是边上任意一点时，取的中点，连接．求的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；
（2）如图2，过点作，交于点．证明是等边三角形，可得 ，证明，，可得结论，
（3）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．
【详解】证明：（1）在等边中，，
∴，
∵是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2），
理由如下：如图2，过点作，交于点．
是等边三角形
，
是等边三角形，
，
∴，即
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）如图所示，延长至，使，连，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴， ，，
∴
又∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
4． “综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答：
(1)如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长；
(3)将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少．
【答案】(1)四边形为正方形，理由见详解
(2)或1．
(3)
【分析】(1)由旋转的性质可得，，由正方形的判定可求解；
(2)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解，
(3)由勾股定理可求的长，则点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，即可求解．
【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下∶
∵旋转角度为，
∴， ，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形．
（2）解：依题意得，，
∴，
①若，则，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
②若，则
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴
∴，
③若，则，
同理①可得旋转角
，不为锐角不合题意．
综上所述，若为等腰三角形，的长为或1．
（3）解：如图，连接，，
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴，，
∴，
∴点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，当点M在的延长线上时，有最大值为，
∴的最大值是．
5．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的中线有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，，点是的中点，连接．用尺规作的垂直平分线分别交，于点，，连接．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)已知：在中，，点是的中点，垂直平分，求证：．
证明：
___________①
点是的中点，垂直平分
，___________②
在和中
．
进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④___________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④等腰三角形的两底角的平分线相等
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和画法，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）按照线段垂直平分线的尺规画法画图，再连接对应点即可．
（2）根据等边对等角得，根据垂直平分线的性质可得，结合即可证明，同理得出等腰三角形的两底角的平分线相等，据此填空即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）证明：
，
点是的中点，垂直平分
，，
在和中
，
．
进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：
等腰三角形的两底角的平分线相等．
故答案为：①②③④等腰三角形的两底角的平分线相等．
模型02 三角形相似及其应用
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
认真分析题目的已知和求证；
分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形
最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键。
1.（2024·山西）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
1．如图，在中，，，，将沿下列各图中的剪开，剪下的阴影三角形与不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
2．如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（ ）
嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，． ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵， ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题
C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．
【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题，淇淇的做法添加的条件有问题，应为，说法正确；证明过程中用到两组对应边成比例及一组对应角相等，不能证明两个三角形相似，证明过程错误，故B选项符合题意；
故选：B．
3．如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ．

【答案】或
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可．
【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，，
分两种情况：
①当时，，
即，
或（舍去），
；
②当时，，
即，
，
或，
经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去，
当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
4． 在菱形中，，点E在射线上，连接、．
(1)如图1，当点E是边的中点，求的正切值；
(2)如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长；
(3)当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证和均为等边三角形，再由点E为的中点得，，则，设，则，，进而在中可求出的正切值；
（2）过点D作于M，先求出，则，从而得，进而得，则，，证得，则，，再由勾股定理求出，进而可得的长；
（3）过点E作于N，先证点C只能和点G是对应点得，则，从而得，设，则，在中由得，进而得，再证得，即，由此解出x即可得的长．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
∵四边形为菱形，，
∴，，，，
∴和均为等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴在中，；
（2）解：过点D作于M，如图2所示：
∵，和均为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
又∵的面积等于，
∴，
∵的边和的边上的高相同，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：过点E作于N，如图3所示：
∵和均为等边三角形，，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∵与以点E、G、B所组成的三角形相似，
∴点C只能和点G是对应点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设，
∴，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故．
5．如图1，在四边形的边上任取一点，点不与，重合，分别连结，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把叫做四边形边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形边上的强相似点．
(1)如图1，若，试判断点是不是四边形的边上的相似点？______（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，在中，，直角顶点在直线上，分别过点，作于点，于点，试判断点是不是四边形边上的相似点？并说明理由；
(3)如图3，，平分，平分交于点，过点作于点，交于点，求证：点是四边形边上的一个强相似点．
【答案】(1)是
(2)是，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的综合应用，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
（1）根据题意证明和，得到；
（2）证明即可；
（3）分别证明和即可得出结论．
【详解】（1）解：是
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点E是四边形的边上的相似点；
故答案为：是；
（2）解：点是四边形边上的相似点，
理由：
，
．
，
．
．
．
，
．
．
点是四边形边上的相似点．
（3）证明：平分，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
，
．
，
．
同理：，
．
点是四边形边上的一个强相似点．
模型03 三角形折叠问题探究
考｜向｜预｜测
与三角形的性质有关的折叠问题，该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1. 运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2. 在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
3. 利用勾股定理列方程求出x；
4. 进行相关计算解决问题.
1．（2023 山东）对于题目：“如图，点M，N分别是长方形ABCD的边AB和BC上的点，沿MN折叠长方形ABCD，点B落在点B′处，若∠MNB′与∠CNB′两个角之差的绝对值为45°，确定∠BNM的所有度数．”甲的结论是∠BNM＝45°，乙的结论是∠BNM＝60°．下列判断正确的是（ 　　）
A．甲的结论正确
B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合在一起才正确
D．甲、乙的结论合在一起也不正确
【答案】D
【详解】解：由折叠的性质可知：∠MNB′＝∠BNM，
①当∠MNB′与∠CNB′两个角之差为45°，即∠MNB′＝∠CNB′+45°时，∠CNB′＝∠MNB′﹣45°＝∠BNM﹣45°，
∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，
∴∠BNM+∠BNM+∠BNM﹣45°＝180°，
解得：∠BNM＝75°，
②当∠CNB′与∠MNB′两个角之差为45°，即∠MNB′＝∠CNB′﹣45°时，∠CNB′＝∠MNB′+45°＝∠BNM+45°，
∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，
∴∠BNM+∠BNM+∠BNM+45°＝180°，
解得：∠BNM＝45°
综上所述：∠BNM＝75°或45°．
故选：D．
1．如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交于点D、E．如果，的周长为，那么的长为（　　）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换的性质，由翻折变换的性质得出是解题的关键．
由翻折变换的性质得出，进而由即可解答．
【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合，
∴，
∵，的周长为，
∴．
故选：B．
2．如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答．
【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示：
∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，
∴，
，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，，且
∴，
则，
∵，，
则，
∴，
故，
∵，
∴，
∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
3．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，然后根据长方形的性质及角的运算可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．如图，在平行四边形中，， ，P是射线上一点，连接，沿将三角形折叠，得三角形．
(1)当时， _______度；
(2)如图，当时，_____度，并求此时线段的长度；
(3)当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出线段的长度．
【答案】(1)85或95或5
(2)45，
(3)9或或
【分析】（1）分两种情况，利用折叠的性质求解即可；
（2）作于，由，可得，再利用勾股定理求出，即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，当点在线段上时，
；
当点在直线的左侧时，如图，
；
当点在的延长线上时，
由折叠知，；
故答案为：85或95或5；
（2）解：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
作于，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
故答案为：45；
（3）解：①当点在上时，
，
，
，
，
在中，
；
②当在上时，
由折叠可知，，，
又，
，
，
四边形为菱形，
．
③当在的延长线上时，，
设，
，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
；
综上，的长为9或或．
模型04 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
1. 找准旋转中心；
2. 确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；
3. 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
4. 数形结合进行分析、解答。
1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　 　）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
1．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．
【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法．
(1)思路梳理：
A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ．
B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到．
(2)类比引申
如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可；
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
,,
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
,
点、、共线，
,
,,
,即，
在和中，
，
，
,
,即,
故答案为：；
（2），理由如下，
如图所示，
,
把绕点逆时针旋转至,可使与重合，
,
点、、在一条直线上，
,
,,,
，
,
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
2．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______；
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．
【答案】(1)①2；②2
(2)当时，的大小无变化，见解析
(3)10或6
【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键．
（1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得；
（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化；
（3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解．
【详解】（1）解：①当时，
，
，
，
，即，
；
故答案为：2；
②当时，如图所示：
则三点共线，
，
，
，
，，
即，
；
故答案为：2；
（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，
即：，而，
，
，
故：当时，的大小无变化；
（3）当旋转到如图位置，，三点共线时右侧），
由题意得：，
由，得：，
由勾股定理得：，
，
当旋转到如图位置，，三点共线时左侧），
此时，，是的中位线，
，
由勾股定理得：，
，
故线段的长为10或6．
1．（2024·山西）小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（ ）
A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等，
故选：A．
2．（20244·福建）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似．
④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似；
故正确的有①②③，
故选：B．
3．（2024·浙江）如图，在中，∠ABC＝90°，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长 ．
【答案】或
【分析】连接并延长，交于点，的延长线交于点，根据轴对称的性质得垂直平分，，，由得，所以；利用勾股定理解得，然后利用面积法解得，再分两种情况讨论：①，且，可推导出，，则有，进而可得；②，且，可推导出，则有，进而可得．
【详解】解：连接并延长，交于点，的延长线交于点，
∵将沿直线折叠，点的对应点为点，
∴垂直平分，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
即，
∴，
分两种情况讨论，
①当，且时，如图1，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
②当，且时，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
4．（2023·四川）如图，将一张等腰三角形纸片（），沿折叠后点与点重合，点为线段上一点，连接，将三角形沿折叠，点恰好落在直线上的点，则的余角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，余角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，先根据折叠的性质得出，再根据折叠得出，最后根据余角的定义求出结果即可．
【详解】解：∵，沿折叠后点与点重合，
∴，
∵将三角形沿折叠，点恰好落在直线上的点，
∴，
∴的余角的度数为：.
故答案为：．
5．（2024·广东）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点、在轴上，在轴上，，直线分别与轴、轴、线段、射线交于点、、、．
(1)当时，求证：
(2)探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)在轴上是否存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值以及点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)存在，，或，或，
【分析】由四边形是平行四边形，得，结合，得，，点、的坐标分别为：、，把代入，得，即点，从而即可求解；
先由待定系数法求得直线的表达式为：，联立和求出，当中时，，进而得点，即可求解；
证明，和的相似比为或，则或，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点、的坐标分别为：、，
当时，，
∴，
即点，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
设直线：，
∵点、的坐标分别为：、，
∴，
解，
∴直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，
当时，，
∴点，
当中时，，
∴，
点，
∴，
由点的坐标得，；
（3）解：在轴上存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
过点作轴于点，过点作轴于点，见图、、，
设点，
由知，点、的坐标分别为：、，
则，，，，
∵轴于点，过点作，，
∴，，
，
，
以点、、为顶点的三角形与相似，
则：或，
故和的相似比为或，
则：：或，
当时，如图，，
当相似比为时，如图，
，
则，，
即且，
解得：，，
即点，；
当相似比为时，如图，
，
则，，
则且，
解得：，，
则点，；
当时，如图，
当相似比为时，如图，
，
则，，
则且，
解得：，，
即点，；
当相似比为时，
经验证，该情况不存在，
综上，在轴上存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似；点，或，或，
6．（2024·山东）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容．
思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？
(1)【应用发现】
小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究：
如图1，如果和中，，，．则可证．
证明：在上取一点，使．
，①______．
又
而．②______．
，③______．
又．（AAS）．
．
小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论．
请补全小明证明中①②③④所缺的内容．
总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形．
(2)【拓展探究】
为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点．
①如图3，若，求证：点为的中点；
（说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分）
②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值．
【答案】(1)①；②；③
(2)①见解析；②
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；
（1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解；
（2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，，
在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解；
【详解】（1）解： 证明：在上取一点，使．
，
．
又
而．
．
，
．
又．
．
．
故答案为：；；
（2）①法一：证明：在上取一点，使得，
则，
，
，
，
，
，
即，
在与中
，
，
，
点为的中点；
法二：证明：在的延长线取一点，使得，
则
，
，
，
，
，
，
在与中
，
点为的中点；
法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
在与中，
，
，
点为的中点；
证明：在的延长线取一点，使得，
则，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
点为的中点，
②
详细解答如下：
依题意画出图形如图所示，
为等边三角形，
，，，
在上取点使得，
是等边三角形，
，，
，，
，
又点为的中点，
，
，
在与中
，
，
又，
，
；
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，点E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为 ．

【答案】，或
【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时点坐标；当时，，同样方法求此时点坐标．
【详解】设，
当时，，解得，
，
当时，，
，
，轴，
，，
∵，
，
当时，，
即，
解得，
，
解得（舍去），，
此时点坐标为；
当时，，
即，
解得，
，
解得（舍去），，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为，或．
故答案为：，或．
2．如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点 重合，然后展开铺平，得到折痕 ；第二步：然后将 绕点顺时针方向旋转得到，点 的对应点分别是点，直线与边交于点（点不与点重合），与边 交于点．
(1)折痕的长为　　　　．
(2)在绕点 旋转的过程中，试判断 与的数量关系，并证明你的结论．
(3)在绕点旋转的过程中，探究下列问题：
如图，当直线经过点时，的长为　　　　　．
如图，当直线 时，求的长．
(4)在绕点 旋转的过程中，连接，则的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)；
(4)
【分析】（）证明，得到，即可求解；
（）．连接，证明即可求证；
（）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解；过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解；
（）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，
由旋转的性质得，，，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）由旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：；
如图，过作于，交于，则四边形是矩形，
∴，
∵ ，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得；
（4）解：如图，连接，则，
当三点共线时，，此时的值最小，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴的最小值，
故答案为：．
3．【基础方法】
（1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；

【方法应用】
（2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度；
【应用拓展】
（3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）正方形的面积为．
【分析】（1）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解；
（2）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值，据此求解即可．
【详解】解：（1）根据旋转知：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即；
（2）过点作交的延长线于点，如图，

∵，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
根据上面结论可知，
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）如图，过点作，取，连接，，如图，

∵，，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴线段有最大值时，只需最大即可，
在中，，
当三点共线时，取最大值，此时，
在等腰直角三角形中，，，
作于点M，

则．
在中，，
∴正方形的面积．
4．如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)[问题发现]当时，_____；当时，____；
(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明；
(3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______．
【答案】(1)；；
(2)没有变化，证明见解析；
(3)．
【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论；
（） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论；
（）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论；
此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，的大小没有变化；
证明：在中，
∵，，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为，
在中，，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．
(1)问题发现
如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空:
①的值为 ；
②的度数为 ．
(2)类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，．
①求的度数；
②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)①1；②
(2)①；②
(3)35
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）①仿照（1）①的作法解答；
②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案；
（3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解．
【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
∴
，
∴；
②解：∵，
，
；
故答案为1；；
（2）解：①∵和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，即，
在和中，
，
∴，
，，
；
②，
理由如下：为等腰直角三角形，，
，
∴；
（3）解：由（2）可知：，，，
∵，，
∴，
∴．
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