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2024-2025学年浙江七年级数学下第五章《分式》竞赛题
一．选择题（共10小题）
1．（2024 温江区校级自主招生）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＝5 B．x≠5 C．x＝0 D．x≠0
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠5，
故选：B．
2．（2022 武昌区校级自主招生）对于下列说法，错误的个数是（　　）
①是分式；②当x≠1时，成立；③当x＝﹣3时，分式的值是零；④a；⑤；⑥2﹣x．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】①不是分式，本选项错误；②当x≠1时，原式成立，本选项正确；③当x＝﹣3时，分式没有意义，错误；④原式先计算除法运算，再计算乘法运算得到结果，即可做出判断；⑤原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；⑥原式先计算乘法运算，相减得到结果，即可做出判断．
【解答】解：①不是分式，本选项错误；
②当x≠1时，x+1，本选项正确；
③当x＝﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误；
④a÷b，本选项错误；
⑤，本选项错误；
⑥2﹣x 2，本选项错误，
则错误的选项有5个．
故选：B．
3．（2021 衡阳县自主招生）已知ab＝1，M，N，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【分析】根据异分母分式加减，分别计算出M、N的值，就不难判断它们的大小．
【解答】解：∵M，ab＝1，
∴M1；
同理，N1，
∴M＝N．
故选：B．
4．（2020 浙江自主招生）用去分母方法解分式方程，产生增根，则m的值为（　　）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x+1）＝0，得到x＝0或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1），
得2x2﹣（m+1）＝（x+1）2
∵原方程有增根，
∴最简公分母x（x+1）＝0，
解得x＝0或﹣1，
当x＝0时，m＝﹣2．
当x＝﹣1时，m＝1，
故选：D．
5．（2020 深圳自主招生）已知：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0，则的值等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】等式左右两边同时乘以2，可化为3个完全平方式的和为0的形式，然后利用非负数的性质求m、n的值，代入即可求出分式的值．
【解答】解：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0变形，得
2m2+2n2+2mn+2m﹣2n+2＝0
即（m+1）2+（n﹣1）2+（m+n）2＝0
∴m+1＝0，n﹣1＝0
解得m＝﹣1，n＝1．
∴1+1＝0．
故选：B．
6．（2021 苏州自主招生）已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式的值是（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据已知可得a2+4＝2020a，然后代入式子进行计算，即可解答．
【解答】解：∵a2﹣2020a+4＝0，
∴a2+4＝2020a，
∴
＝a2﹣2019a4
＝a2+4﹣2019a
＝2020a﹣2019a
＝a
＝2020，
故选：B．
7．（2019 武侯区校级自主招生）已知x+y+z＝0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（　　）
A．3 B．14 C．16 D．36
【分析】根据已知条件和完全平方公式变形即可求解．
【解答】解：∵x+y+z＝0，且，
设a＝x+1，b＝y+2，c＝z+3，
则a+b+c＝x+y+z+6＝6，
0，
∴0，
即ab+ac+bc＝0，
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2
＝a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝62﹣2×0
＝36．
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为36．
故选：D．
8．（2018 武侯区校级自主招生）如果存在三个实数m、p、q，满足m+p+q＝18，且，则的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】3，据此求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵m+p+q＝18，且，
∴
3
＝（m+p+q）（）﹣3
＝183
＝14﹣3
＝11
故选：D．
9．（2017 下陆区校级自主招生）若a，b，c满足：a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则的值为（　　）
A．9 B．12 C．6 D．3
【分析】先根据题意得出a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵a2+b2+c2＝4，
∴a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2，
∴原式
＝2+c+2+a+2+b
＝a+b+c+6，
∵a+b+c＝3，
∴原式＝3+6＝9．
故选：A．
10．（2024 苍南县校级自主招生）如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2，4，那么的值为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
【分析】根据a+b+c+d＝2，4，将所求式子变形，即可求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵a+b+c+d＝2，4，
∴
1111
＝2×（）﹣4
＝2×4﹣4
＝8﹣4
＝4，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2020 深圳自主招生）若a1＝1，a2＝1，a3＝1，…；则a2013的值为　m　 ．（用含m的代数式表示）
【分析】把a1代入求出a2，把a2代入求出a3，依此类推得到一般性规律，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：a1＝1，a2＝111，a3＝11+m﹣1＝m，a4＝1，
∵2013÷3＝671，∴a2013＝m，
故答案为：m．
12．（2020 浙江自主招生）若x3，则　　 ．
【分析】将x3两边平方整理可得x211，再把分式分子、分母都除以x2可得原式，代入计算可得．
【解答】解：∵x3，
∴x2﹣29，
则x211，
∴，
故答案为：．
13．（2021 鄞州区校级自主招生）已知非零实数a，b，c满足，则　　 ．
【分析】根据已知条件求得a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），然后代入即可求得．
【解答】解：∵，
∴2a+2b+2c＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0，
∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），
∴原式，
故答案为：．
14．（2020 瓯海区校级自主招生）若x2+x﹣2018＝0，的值为 　2020　 ．
【分析】先化简分式，然后把x2+x＝2018代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝x2+x+1+1
＝x2+x+2，
∵x2+x﹣2018＝0，
∴x2+x＝2018，
∴当x2+x＝2018时，原式＝2018+2＝2020，
故答案为：2020．
15．（2018 市北区校级自主招生）已知3，则　4　 ．
【分析】根据3，可得：x﹣y＝﹣3xy，应用代入法，求出的值是多少即可．
【解答】解：∵3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
∴
＝4
故答案为：4．
16．（2018 涪城区校级自主招生）已知关于x的方程2有一个正数解，则m的取值范围　m＜6且m≠3　 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：x﹣2x+6＝m，
解得：x＝6﹣m，
由分式方程有一个正数解，得到6﹣m＞0，且6﹣m≠3，
解得：m＜6且m≠3，
故答案为：m＜6且m≠3
17．（2024 罗湖区校级自主招生）若abc≠0，，则　0　 ．
【分析】利用“代1”法将进行变形处理即可求得答案．
【解答】解：∵abc≠0，，
∴a+b+c
＝（a+b+c）（）
（b+c） （a+c） （a+b）
（a+b+c），
所以0．
故答案为：0．
18．（2023秋 虹口区校级期末）已知：a2+4a+1＝0，且3，则m的值为　19　 ．
【分析】由a2+4a+1＝0，得a2＝﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，
3
即（﹣56﹣4m）a﹣14﹣m＝（﹣12m+96）a﹣3m+24，
∴﹣56﹣4m＝﹣12m+96，﹣14﹣m＝﹣3m+24，
解得m＝19．
故答案为19．
三．解答题（共4小题）
19．（2020 瓯海区校级自主招生）计算题．
（1）已知x为实数，且，则x2+x的值．
（2）实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值．
【分析】（1）先设x2+x＝y，可把已知条件转化为y＝2，再去分母整理得y2+2y﹣3＝0，由此求出y的值即可得出答案；
（2）先由2a＝5，2b＝10得2b÷2a＝10÷5，进而得2b﹣a＝21，则b﹣a＝1，即a＝b﹣1，再由2b＝10，2c＝80得2c÷2b＝80÷10，进而得2c﹣b＝8＝23，则c﹣b＝3，即c＝b+3，然后将a＝b﹣1，c＝b+3代入代数式2006a﹣3344b+1338c中进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）设x2+x＝y，
则可转化为：y＝2，
去分母，等式两边同时乘以y得：3﹣y2＝2y，
整理得：y2+2y﹣3＝0，
∴（y﹣1）（y+3）＝0，
∴y﹣1＝0或y+3＝0，
由y﹣1＝0，解得：y＝1，
由y+3＝0，解得：y＝﹣3，
经检验，y＝1，y＝﹣3是方程y＝2的根，
∴x2+x的值1或﹣3；
（2）∵2a＝5，2b＝10，
∴2b÷2a＝10÷5，
即2b﹣a＝21，
∴b﹣a＝1，则a＝b﹣1，
又∵2b＝10，2c＝80，
∴2c÷2b＝80÷10，
即2c﹣b＝8＝23，
∴c﹣b＝3，则c＝b+3，
∴2006a﹣3344b+1338c
＝2006×（b﹣1）﹣3344b+1338×（b+3）
＝2006b﹣2006﹣3344b+1338b+4014
＝（2006﹣3344+1338）b+4014﹣2006
＝2008．
20．（2023 徐汇区校级自主招生）计算．
【分析】先对分母因式分解，通过十字相乘法和提取公因式即可将原式变形为，通过拆项可将原式变为，化简，再根据异分母分式减法法则进行计算，即可求解．
【解答】解：
21．（2022 常州自主招生）．
【分析】方程中，每个分式的分子、分母相差2，可以将每个分式化为1与一个分式的和，将分子化简，再将两个分母相差2的分式通分，化为整式方程求解．
【解答】解：原方程化为（1）﹣（1）＝（1）﹣（1）
整理，得，
．
，
（19﹣2x）（17﹣2x）＝（13﹣2x）（11﹣2x），
解方程，得x，
经检验x为原方程的根．
22．（2023 渝北区校级自主招生）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2的值．
解：∵，∴4即4
∴x4∴x22＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x，y，z，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求x的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【分析】（1）根据题意，可知，然后变形整理，即可得到所求式子的值；
（2）根据材料2中的例子，可以求得所求式子的值；
（3）根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴；
（3）设，
∴①，
②，
③，
①+②+③，得
，
④，
④﹣①，得：，
④﹣②，得：，
④﹣③，得：，
∴，，，
∵
∴，
∴，
解得，k＝4，
∴，，，
∴．
第1页（共3页）2024-2025学年浙江七年级数学下第五章《分式》竞赛题
一．选择题（共10小题）
1．（2024 温江区校级自主招生）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＝5 B．x≠5 C．x＝0 D．x≠0
2．（2022 武昌区校级自主招生）对于下列说法，错误的个数是（　　）
①是分式；②当x≠1时，成立；③当x＝﹣3时，分式的值是零；④a；⑤；⑥2﹣x．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．（2021 衡阳县自主招生）已知ab＝1，M，N，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
4．（2020 浙江自主招生）用去分母方法解分式方程，产生增根，则m的值为（　　）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2
5．（2020 深圳自主招生）已知：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0，则的值等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（2021 苏州自主招生）已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式的值是（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．（2019 武侯区校级自主招生）已知x+y+z＝0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（　　）
A．3 B．14 C．16 D．36
8．（2018 武侯区校级自主招生）如果存在三个实数m、p、q，满足m+p+q＝18，且，则的值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2017 下陆区校级自主招生）若a，b，c满足：a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则的值为（　　）
A．9 B．12 C．6 D．3
10．（2024 苍南县校级自主招生）如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2，4，那么的值为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
二．填空题（共8小题）
11．（2020 深圳自主招生）若a1＝1，a2＝1，a3＝1，…；则a2013的值为　　 ．（用含m的代数式表示）
12．（2020 浙江自主招生）若x3，则　　 ．
13．（2021 鄞州区校级自主招生）已知非零实数a，b，c满足，则　　 ．
14．（2020 瓯海区校级自主招生）若x2+x﹣2018＝0，的值为 　　 ．
15．（2018 市北区校级自主招生）已知3，则　　 ．
16．（2018 涪城区校级自主招生）已知关于x的方程2有一个正数解，则m的取值范围　　 ．
17．（2024 罗湖区校级自主招生）若abc≠0，，则　　 ．
18．（2023秋 虹口区校级期末）已知：a2+4a+1＝0，且3，则m的值为　　 ．
三．解答题（共4小题）
19．（2020 瓯海区校级自主招生）计算题．
（1）已知x为实数，且，则x2+x的值．
（2）实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值．
（2023 徐汇区校级自主招生）计算．
（2022 常州自主招生）．
22．（2023 渝北区校级自主招生）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2的值．
解：∵，∴4即4
∴x4∴x22＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x，y，z，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求x的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
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