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建平中学2024-2025学年第二学期高一年级数学数列周测
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若成等比数列，则 ．
2．在等差数列中，已知，则 ．
3．数列中，，且满足，数列的通项公式是 ．
4．数列的前项和为，则它的通项公式为 ．
5．已知无穷数列满足（为正整数），且，则 ．
6．已知等比数列的前项和满足，则 ．
7．已知数列，当时， ．
8．等差数列中，，若，则 ．
9．已知数列均为等差数列，设，且，则使成立的的最大值为 ．
10．设数列满足，且（为正整数），则数列的通项公式是 ．
11．在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货。如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余 元．（精确到1元）
12．对任意，函数满足，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（ ）.
A． B． C． D．
14．设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则＂＂是＂存在最小值＂的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）.
A．23 B．12 C．20 D．
16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为＂内和数列＂，并令，称为的＂伴随数列＂，下列四个命题：
（1）若为等差数列，则为内和数列
（2）若为等比数列，则为内和数列
（3）若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列
（4）若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列
其中真命题的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知数列是等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求及其最小值．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
若数列的前项和为，且满足．
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的通项公式。
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列，若为等比数列，则称具有性质．
（1）若数列具有性质，且，求的值；
（2）若，判断数列是否具有性质并证明；
（3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式。
21.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分8分．
对于函数和数列，若，则称为函数的＂影数列＂，为函数的一个＂镜数列＂.
已知，
（1）若为的＂影数列＂，为的＂镜数列＂，
（i）求的值；
（ii）比较和的大小，并用数学归纳法证明．
（2）若为函数的＂影数列＂，为函数的＂镜数列＂，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
建平中学2024-2025学年第二学期高一年级数学数列周测
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若成等比数列，则 ．
【答案】
【详解】由题设，，可得．
2．在等差数列中，已知，则 ．
【答案】-1
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，
则，即，
所以．
3．数列中，，且满足，数列的通项公式是 ．
【答案】
【详解】∵是等差数列，
设的公差为，
4．数列的前项和为，则它的通项公式为 ．
【答案】
【详解】因为数列的前项和为，若，则；
若，则；
且符合上式，所以．
5．已知无穷数列满足（为正整数），且，则 ．
【答案】4
【详解】因为无穷数列满足（为正整数），且，
所以数列为等比数列，公比为，首项为2，所以．
6．已知等比数列的前项和满足，则 ．
【答案】273
【详解】等比数列的前项和满足成等比数列，
所以，即．故答案为：273
7．已知数列，当时， ．
【答案】99
【详解】，则
解得．
8．等差数列中，，若，则 ．
【答案】682
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
若，则有，解得，
故，又由，则，
而，所以，故得数列是首项，公比为4的等比数列，故．
9．已知数列均为等差数列，设，且，则使成立的的最大值为 ．
【答案】33
【详解】由等差数列的通项公式性质，知道必定为关于的二次函数，且，
,则为二次函数顶点．设，将代入，知，
则，当时，单调递减，
计算知道，而，故的最大值为：33．
10．设数列满足，且（为正整数），则数列的通项公式是 ．
【答案】
【详解】由，得，由，得，
由，得，由此猜想的一个通项公式：（为正整数）；
用数学归纳法证明：（1）当满足，命题成立；
假设当（为正整数）时命题成立，即，则当时，，命题仍然成立，
由（1）和（2）可知：（为正整数）．
11．在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货。如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余 元．（精确到1元）
【答案】39664
【详解】设，从10月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，，同理可得，
所以，而，
所以数列是等比数列，公比为1.2，
所以，即，
所以
12．对任意，函数满足，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 ．
【答案】
【详解】∵，
展开为，
即．即，化为
数列是周期为2的数列．
∵数列的前15项和为，∴．
又，解得．∴．
由，解得．
又，令数列的前项和为，
则当为奇数时，
，取极限得；
则当为偶数时，
，
取极限得；
若数列的前项和的极限存在，则，故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】等式左边需增加的代数式是：
14．设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则＂＂是＂存在最小值＂的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，由，则，故必有最小值，
故＂＂是＂存在最小值＂的充分条件；
当时，有，
则有最小值，故＂＂不是＂存在最小值＂的必要条件；
即＂＂是＂存在最小值＂的充分而不必要条件.
15．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）.
A．23 B．12 C．20 D．
【答案】D
【详解】由题意可知：，
当时，；当时，，
两式相减可得：，整理得：，
所以，或，
当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大，
此时，解得，此时；
当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大，
此时，解得，此时；综上所述：的最大值为.
16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为＂内和数列＂，并令，称为的＂伴随数列＂，下列四个命题：
（1）若为等差数列，则为内和数列
（2）若为等比数列，则为内和数列
（3）若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列
（4）若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列
其中真命题的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】对于命题（1），（2）：例如，可知即为等差数列也为等比数列，则，但不存在，使得，所以不为内和数列，故（1），（2）错误；
对于命题（3）：因为，对任意，可知存在，
使得，
则，即，且内和数列为严格增数列，
可知，所以其伴随数列为严格增数列，故（3）正确；
对于命题（4）：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为严格增数列，但不是严格增数列，故（4）错误；故选B.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知数列是等差数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】（1）； （2），最小值为-105．
【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以．
（2）由（1）可得，
当或时，取得最小值，最小值为-105.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
若数列的前项和为，且满足．
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的通项公式。
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：当时，且，即，可得，且.故数列是以首项为2，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可知，即，当时，，
当时，不符号上式，所以．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【答案】（1）2480人； （2）11月13日新感染者人数最多为630人．
【详解】（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为50，
又，则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，．
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即解得或（舍），
此时，所以11月13日新感染者人数最多为630人．
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列，若为等比数列，则称具有性质．
（1）若数列具有性质，且，求的值；
（2）若，判断数列是否具有性质并证明；
（3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式。
【答案】（1）分别为 （2）数列具有性质，证明见解析
（3）
【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为，
由，得，
又；
（2）数列具有性质；
证明：因为，所以，
则，即为等比数列，所以数列具有性质．
（3）因为，则，
故适合该式，故，
所以由得，
则，
因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，
故，
当为偶数时，
当为奇数时，
故．
21.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分8分．
对于函数和数列，若，则称为函数的＂影数列＂，为函数的一个＂镜数列＂.
已知，
（1）若为的＂影数列＂，为的＂镜数列＂，
（i）求的值；
（ii）比较和的大小，并用数学归纳法证明．
（2）若为函数的＂影数列＂，为函数的＂镜数列＂，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】（1）（i）20， （ii）见解析 （2）不存在，理由见解析
【详解】（1）（i）由题意，；
所以
（ii）当时，；当时，；当时，；
当时，，当时，，数学归纳法证明如下
①当时，，命题成立；
②假设当时，命题成立，即，则当时，
∵，即命题也成立，由①②可知，当时，．
（2），则，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，所以新，假设数列中存在连续三项构成等比数列，，
故，整理得到，
当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立；
所以等式无正整数解，故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.

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