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进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周测7
2025.4
一 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
2．已知等差数列的前5项和，则 ．
3．若,则b的值为 .
4．二项式的展开式中常数项为 (结果用数值表示)
5．已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 .
6．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 .
7．已知事件与事件相互独立，如果，，那么 .
8．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .
9．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是 ．
10.设某型飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机才可安全飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才能安全飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是_______
11．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .
12．在空间中，是一个定点，已知圆锥上的所有点到的距离都不超过1，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为 ．
二 选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
14．复数，，，，则（ ）
A．、、三数都不能比较大小 B．、、三数的大小关系不能确定
C． D．
15．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在
16．已知函数的图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（ ）．
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三 解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在直四棱柱中，底面是菱形，且．
(1)求证：直线；
(2)求二面角的大小．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知向量，，函数.
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在运动会上，甲 乙 丙参加跳高比赛，比赛成绩达到米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：
乙：
丙：
假设用频率估计概率，且甲 乙 丙的比赛成绩相互独立
(1)求甲在比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲 乙 丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求的数学期望；
(3)甲 乙 丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？
20．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知椭圆，直线过点且与椭圆交于两点，直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，且，求的取值范围;
(3)当直线变化时，面积的最大值记为.问是否可能与无关？若是，求出此时的值和的取值范围；若不是，说明理由.
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记．
(1)设，分别写出及；
(2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值；
(3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”．
进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周测7
2025.4
一 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
2．已知等差数列的前5项和，则 ．
【答案】11
3．若,则b的值为 .
【答案】81
4．二项式的展开式中常数项为 (结果用数值表示)
【答案】．
5．已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 .
【答案】
6．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 .
【答案】
7．已知事件与事件相互独立，如果，，那么 .
【答案】
8．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .
【答案】4.
9．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是 ．
【答案】
10.设某型飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机才可安全飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才能安全飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是_______
【答案】
【详解】每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为p，且各引擎是否有故障是独立的，
4引擎飞机可以正常工作的概率是
2引擎飞机可以正常工作的概率是
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，得到
11．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .
【答案】/
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．设，，则，
由①②得，，，代入③整理得，，
两边同时除以得，，即，
即，解得，即．故答案为：
12．在空间中，是一个定点，已知圆锥上的所有点到的距离都不超过1，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为 ．
【答案】
【详解】由题意可知：圆锥上的所有点到的距离都不超过1，
则圆锥在以为球心，以1为半径的球内，
当圆锥体积最大时，圆锥内接于球，设球心到底面的距离为，
如图所示：，，圆锥底面半径为，则，
圆锥的体积为：，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值，此时，.故答案为：
二 选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【答案】B
14．复数，，，，则（ ）
A．、、三数都不能比较大小 B．、、三数的大小关系不能确定
C． D．
【答案】C
【详解】，，，
，当且仅当时，取等号
15．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在
【答案】A
【详解】当时，，
解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意；
当时，
，即，
若整数恰有2个，则首先，解得，
设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，
则，则，
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意，
故可取到的值有或或.故选：A.
16．已知函数的图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（ ）．
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】C
【详解】命题①：设曲线关于点对称的曲线上的点为，任取平面上一点，则点关于对称的点为在曲线上，
则有，即，仍为函数，
故命题①正确；
命题②：对求导得，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且有最小值，任取直线，设关于直线的对称点为，
则有，解得：，因为，
所以，即经过对称后，函数上的最低点必在第二象限或第三象限，
又函数与在第一象限有交点，关于对称后，对称图像仍与交于同一点，所以对称之后的图像与轴有两个公共点，所以对称之后不是函数.
三 解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在直四棱柱中，底面是菱形，且．
(1)求证：直线；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【详解】（1）底面是菱形，，
又因为四棱柱为直四棱柱，所以底面，
底面，，平面，
所以平面，平面，.得证.
（2）取BC中点，，且底面是菱形，则，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：
则不妨设，，，
，，设平面的法向量为，
则，令，得，
又平面的法向量为，
所以二面角的平面角的余弦值为：，
所以二面角的大小为.
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知向量，，函数.
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由．
【答案】(1)，增区间是；(2)答案见解析；
【详解】（1）由题意，
由，得，所以增区间是；
（2），又，即，所以，，
由正弦定理，，
当时，，，因此，只有一解；
时，，无解；时，，，三角形只有一解，
时，，又，因此，所以有两解，可能为锐角也可能为钝角．综上，时，三角形无解，或时三角形只有一解，时，三角形有两解；
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在运动会上，甲 乙 丙参加跳高比赛，比赛成绩达到米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：
乙：
丙：
假设用频率估计概率，且甲 乙 丙的比赛成绩相互独立
(1)求甲在比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲 乙 丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求的数学期望；
(3)甲 乙 丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？
【答案】(1)； (2)； (3)丙获得概率的估计值最大.
【详解】（1）甲比赛成绩有10次，大于等于的有2次，
所以甲获得优秀奖的概率为.
（2）的可能取值为，时，没有人获得优秀奖，，
同理，
0 1 2 3
所以.
（3）由题意，甲跳出夺冠的概率相等，为，
跳出夺冠的概率为，跳出夺冠的概率为，
故甲夺冠的概率为；
丙跳出并获得冠军概率为，跳出并获得冠军的概率为，所以丙获得冠军的概率估计值为；乙夺冠的概率为.
所以丙获得概率的估计值最大.
20．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知椭圆，直线过点且与椭圆交于两点，直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，且，求的取值范围;
(3)当直线变化时，面积的最大值记为.问是否可能与无关？若是，求出此时的值和的取值范围；若不是，说明理由.
【答案】(1) (2)
(3)当时，与无关，此时.
【详解】(1)由题意，，故椭圆方程为 ……4分
(2)设，由， ……1分
得
因为点A也在椭圆上，故 ……4分
化简整理得，由，得 ……6分
(3)直线斜率不存在时，O、A、B共线，故可设
与椭圆方程联立化简得
于是，的面积 ……2分
令，则 ……5分
即当时，与无关. ……6分
又因为，故
综上，当时，与无关，此时. ……8分
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记．
(1)设，分别写出及；
(2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值；
(3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”．
【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析
【详解】（1），
由二次函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当时，.
（2）因为，所以，
令，可得或，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当趋近负无穷，趋近，当趋近正无穷，趋近正无穷，
又，，的图象如下图，
当时，在时，，
则，不成立，
当时，在时，，
则，成立，
由图象，结合题意要使在有与，
且对任意闭区间，均有不等式成立，
所以的最大值为.
（3）下面证明充分性：
当与其中一式成立时，
不可能为常值函数，先任取，总有或，
假设存在，使得，
记，则，
因为存在，则或，
不妨设，则，否则当，
此时，矛盾，
进而可得，则，因此①.
最后证明为上的严格减函数，
任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，否则，
记，则，
，
同理若，所以，
根据①可得：.
情况二：若，则，否则，
，由此矛盾，因为，同情况一可得矛盾，
因此.
情况三：若，同上述可得，，
所以.
情况四：若，同上述可得，，，
所以.
情况五：若，同上述情况二可证明恒成立.
情况六：若，同上述情况一可证明恒成立.
即为上的严格增函数.

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