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9．2.2　向量的数乘
9．2.2　向量的数乘(1)
1. 掌握实数与向量的积的定义及数乘的含义．
2. 掌握平面向量数乘的运算律，并进行有关的运算．
活动一 了解向量数乘的概念
1. 概念的引入：
质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3a来表示．
试作出a与3a.
2. 向量数乘的定义：
思考1
λa与a的长度与方向分别有什么关系？
3. 向量的数乘满足的运算律：
4. 概念的辨析：
设λ，μ∈R，则下列结论中不正确的是______．(填序号)
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
④λa与a的方向相同(λ≠0，a≠0).
活动二　掌握向量的数乘运算　
例1　已知向量a和向量b，求作向量－2.5a和向量2a－3b.
平面向量的数乘运算与向量的加减法一样，都有它的几何意义，向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算，运算的结果都是向量．
点C在线段AB上，且||＝||，若＝λ，则λ的值为(　　)
A. 　 B. －　 C. 　 D. －
例2　计算：
(1) 3(a－b)－2(a＋2b)；
(2) 2(2a＋6b－3c)－3(－3a＋4b－2c).
(1) (－3)×4a；
(2) 3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3) (2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
思考2
向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？
例3　设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，计算：－＋(2b－a).(用i，j表示)
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，实数看成是向量的系数．
已知向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，求4a－3b.(用e1，e2表示)
1. (教材改编)已知λ∈R，a≠0，则下列结论中正确的是(　　)
A. |λa|＝λ|a| B. |λa|＝|λ|a C. |λa|＝|λ||a| D. |λa|>0
2. (2024商洛期中)已知向量a是非零向量，则a方向上的单位向量为(　　)
A. B. － C. ± D. λa(λ∈R且λ≠0)
3. (多选)对于非零向量a，下列说法中正确的是(　　)
A. 2a的长度是a长度的2倍，且2a与a方向相同
B. －的长度是a长度的，且－与a方向相反
C. 若λ＝0，则λa等于零
D. 若λ＝，则λa是与a同向的单位向量
4. (2023上海青浦高级中学期中)已知向量a，b，x满足关系式3a＋4(b－x)＝0，那么可用向量a，b表示向量x＝________．
5. (教材改编)如图，已知D是△ABC中边BC的中点，＝a，＝b.
(1) 若O是△ABC的重心，试用a，b表示；
(2) 若O是△ABC的重心，求＋＋.
9．2.2　向量的数乘(2)
理解两个平面向量共线(平行)的条件及含义．
活动一 掌握向量数乘的概念及简单应用
例1　已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：与共线，并用表示.
思考
如果两个非零向量共线，那么它们满足什么条件？反之，如果它们满足这个条件，那么它们共线吗？
活动二 掌握向量共线定理
问题：平面向量共线定理：
活动三　掌握向量共线定理的应用　
例2　(1) 已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1和e2不共线．求证：向量a＋b与向量6e1－2e2共线；
(2) 设非零向量a，b不共线，向量c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若c∥d，求k的值．
两个非零向量共线的充要条件是：存在一个实数λ使得b＝λa，若a，b中有一个是零向量，则a与b必共线．
已知向量a，b，满足(a＋3b)－(a－b)＝(3a＋2b)，求证：向量a与b共线．
例3　设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
利用向量共线得三点共线时，务必要说明有个公共点．
已知a＝2e1－2e2，b＝－3(e2－e1)，求证：a与 b是共线向量．
1. (教材改编)设D为△ABC所在平面内的一点，若＝3，则下列关系中正确的是(　　)
A. ＝－＋ B. ＝－
C. ＝＋ D. ＝－
2. (2024郑州期中)设a，b都是非零向量，则下列条件中为＝成立的充分条件的是(　　)
A. a＝－2b B. a∥b C. a＝3b D. a∥b且|a|＝|b|
3. (多选)已知e为非零向量，向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法中正确的是(　　)
A. a∥b B. 向量a，b方向相反
C. |a|＝3|b| D. b＝－3a
4. (教材改编)若非零向量＝，且设＝λ，则实数λ＝________．
5. 已知非零向量e1，e2不共线．
(1) 若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2) 若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
9．2.2　向量的数乘(3)
两个平面向量共线的应用．
活动一 掌握向量共线定理的应用
例1　如图，在△OAB中，C为AB上的一点，＝λ(λ≠－1)，求证：＝.
平面上三点共线的向量表示的一般结论：平面上三点A，B，C共线的等价条件是存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1，O为平面内任意一点．
在△OAB所在平面内，若点C满足＝m＋n，且A，B，C三点共线，求证：m＋n＝1.
活动二　掌握向量共线定理的综合应用
例2　如图，在△ABC中，＝，EF∥BC交AC于点F，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.
一个向量用其他向量表示时，一定要放在一个三角形中，利用向量的加减法及数乘去完成．
如图，已知两定点A，B，P是直线AB上的一点，且满足＝，试用，表示.
例3　在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，且DM与AC相交于点H，求证：＝.
在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，＝＋λ，求λ的值．
1. (教材改编)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝2，则等于(　　)
A. －＋ B. ＋ C. －＋ D. ＋
2. 如图，在△AOB中，C是点B关于点A的对称点，＝2，DC，OA相交于点E，若＝λ，则实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024重庆江北开学考试)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若＝＋，则M是BC的中点
B. 若＝－＋，则点M是△ABC的重心
C. 若＝2－，则M，B，C三点共线
D. 若＝，则＝＋
4. (2024衡阳月考)已知S△ABC＝3，M是△ABC内一点，且＋2＝，则△MBC的面积为________．
5. (2023忻州一中期中)如图，在△OBC中，A是BC的中点，D是线段OB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.
(1) 用向量a与b表示向量 ，；
(2) 若＝，求证：C，D，E三点共线．
9．2.2　向量的数乘(1)
【活动方案】
1. 略
2. 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．
思考1：①|λa|＝|λ||a|；
②若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反．
特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0.
3. λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
4. ④　根据向量数乘的运算律知①②③正确；因为a≠0，所以当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反，故④错误．
例1　略
跟踪训练　D　因为点C在线段AB上，且||＝||，所以点A，B，C的位置关系如下图所示．因为＝λ，所以＝－，所以λ＝－.
例2　(1) a－7b　(2) 13a
跟踪训练　(1) －12a　(2) 5b　(3) －a＋5b－2c
思考2：相同点：都是两个量的运算；
不同点：前者结果为向量，后者为实数．
例3　原式＝－a＋b＝－i－5j.
跟踪训练　原式＝4(e1＋2e2)－3(3e1－5e2)＝－5e1＋23e2.　
【检测反馈】
1. C　若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向相同，大小等于λ|a|；当λ<0时，λa与a方向相反，大小等于|λ||a|，所以|λa|＝|λ||a|，故A，B错误，C正确；|λa|≥0，故D错误．
2. A　因为||＝1，且与向量a方向相同，所以为a方向上的单位向量．
3. ABD　对于A，2a的长度是 a长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；对于B，－的长度是a长度的，且－与a方向相反，故B正确；对于C，若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；对于D，若λ＝，则λa是与a同向的单位向量，故D正确．故选ABD.
4. a＋b　因为3a＋4(b－x)＝0，所以x－b＝a，则x＝a＋b.
5. (1) 因为D是△ABC中边BC的中点，O是△ABC的重心，
所以＝＝＝a＋b.
(2) 因为D是△ABC中边BC的中点，O是△ABC的重心，
所以＋＝2.
又＝＝2，
所以＋＝＝－，
所以＋＋＝0.
9．2.2　向量的数乘(2)
【活动方案】
例1　因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，所以与共线．
又DE＝BC，且与同向，
所以＝.
思考：可线性表示　共线
问题：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
例2　(1) a＋b＝3e1－e2＝(6e1－2e2)，
所以a＋b与6e1－2e2共线．
(2) 因为c∥d，所以c与d共线，所以存在实数λ，使c＝λd，即ka＋b＝λ(a＋kb).
又a，b不共线，故k＝±1.
跟踪训练　由已知得2(a＋3b)－5(a－b)＝2(3a＋2b)，即2a＋6b－5a＋5b＝6a＋4b，即－9a＝－7b，所以a＝b，所以向量a与b共线．
例3　因为＝2e1－8e2，＝－＝e1－4e2，
所以＝2，所以与共线．
又存在公共点B，所以A，B，D三点共线．
跟踪训练　当e1，e2共线时，存在实数λ，
使e1＝λe2，所以a＝2(λ－1)e2，b＝3(λ－1)e2，
所以a＝b，所以a与b共线；
当e1，e2不共线时，a＝b，所以a与b共线．
综上所述，a与b是共线向量．
【检测反馈】
1. A　因为＝3，所以－＝3(－)，所以＝－＋.
2. C　因为a，b都是非零向量，＝，且和分别表示与a和b同向的单位向量，所以向量a与b同向，结合选项可知＝成立的充分条件为a＝3b.
3. ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，所以a∥b，3|a|＝|b|，且向量a，b方向相反．故选ABD.
4. －　因为＝，所以＋＝－，即＝－，可得＝－.因为＝λ，所以λ＝－.
5. (1) 因为b＝6a，所以a与b共线．
(2) 因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
所以，共线．
又，有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
9．2.2　向量的数乘(3)
【活动方案】
例1　由＝λ，得－＝λ－λ，
所以(1＋λ)＝＋λ.
因为λ≠－1，所以＝.
跟踪训练　＝－＝(m－1)＋n.
因为A，B，C三点共线，
所以存在λ，使＝λ，
即(m－1)＋n＝λ＝－λ＋λ，
所以所以m＋n＝1.
例2　由题意，得＝－＝b－a.
因为＝，EF∥BC，
所以＝＝(b－a).
因为＝＝－a，
所以＝＋＝－a＋(b－a)＝b－a.
跟踪训练　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋.
例3　由题意，得AM∥DC，则△AMH∽△CDH.
因为M是AB的中点，且AB＝CD，
所以＝＝，
所以AH＝AC，
所以＝.
跟踪训练　由题意，得＝＋λ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
【检测反馈】
1. A　如图，由对角线AC与BD交于点O，＝2，得＝＝(＋)＝＋，所以＝－＝＋－＝－＋.
2. B　由题意知，A为BC的中点，所以＝＋.又＝2，则＝，故＝λ＝＋＝×＋＝＋.因为D，E，C三点共线，所以＋＝1，解得λ＝.
3. ACD　对于A，若＝＋，则－＝－，化简可得＝，可得M为BC的中点，故A正确；对于B，若点M为△ABC的重心，则＋＋＝0，即＝－－，故B错误；对于C，若＝2－，则－＝－，即＝，所以M，B，C三点共线，故C正确；对于D，若＝，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故D正确．故选ACD.
4. 　如图，取AC的中点D，由＋2＝，得＋＝－2，则2＝－2，即＝，所以M为BD的中点，所以S△MBC＝S△BCD＝S△ABC＝.
5. (1) 因为＝a，＝b，所以＝＋＝－a－b，
＝＋＝＋＝＋(＋)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.
(2) 因为＝－＝(－b)－(－a－b)＝a＋b＝，
所以，共线．
又，有公共点C，
所以C，D，E三点共线．

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