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9.3.1　平面向量基本定理
了解平面向量基本定理及其意义，会用平面内两个不共线的向量表示平面内任一向量．
活动一 平面向量基本定理
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．
探究1：平面内任一向量都可以用这一平面内给定的两个不共线向量表示吗？如图，已知平面中两个不共线向量e1，e2，a是平面内的任一向量，则向量a如何用e1与e2表示？其作法体现了向量的什么运算？试试自己画出另一个向量，也用e1与e2表示．
探究2：平面内的任一向量a都可以用任意两个向量表示吗？
问题：平面向量基本定理：
定理的实质：对于一个平面内两个不共线的向量e1，e2有如下结论：(1) 任何一个向量a都可以表示成e1与e2的一个线性组合，即a＝λ1e1＋λ2e2(存在性)；(2) 这个线性组合的表达式是唯一的，即实数λ1，λ2唯一确定(唯一性).
我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
活动二　掌握平面向量基本定理的简单应用　
例1　设e1，e2是两个不共线的非零向量，已知a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1) 求证：a，b可作为一组基底；
(2) 以a，b为基底，将向量c＝3e1－e2用a，b表示．
两个向量能作为基底的条件是不共线，平面向量基本定理的本质是通过一组基底的线性运算，得到一个新的向量，也可以认为是一个向量在一组基底向量的两个方向上的分解．
例2　平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点M，＝a，＝b，试用a，b表示，，，.
在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，用a，b表示.
活动三 掌握平面向量基本定理的综合应用　　
例3　已知在△OAB中，点C和点B关于点A对称，D是OB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b，用a，b表示，.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对所求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设AN与BM相交于点P，试用a，b表示.
1. (教材改编)已知向量a，b不共线，向量c＝a＋6b，d＝－2a＋xb，c∥d，则实数x的值为(　　)
A. B. －12 C. － D. 12
2. (2023连云港期中)在△ABC中，＝，点P在线段AD上(不与点A，D重合).若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. － B. － C. D.
3. (多选)(2024无锡期中)已知e1，e2是平面内的一组基底，则下列各组向量中，也能作为平面内一组基底的是(　　)
A. 2e1－e2，－4e1＋2e2 B. 2e1－e2，2e2
C. e1－e2，2e1－2e2 D. e1－e2，e1＋e2
4. (2024浙江期中)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝a，＝b，则＝________．(用向量a，b表示)
5. (2024景德镇期中)已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足＝m，＝n，点D在线段BC上，且＝4，E是AD与MN的交点，且＝3.
(1) 分别用，来表示和；
(2) 求证：＋＝1.
9.3.1　平面向量基本定理
【活动方案】
探究1：可以，作法略，向量的加法．画图略．
探究2：不可以，需要两个不共线向量．
问题：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
例1　(1) 设a＝λb，则λ无解，所以a，b不共线，
所以a，b可作为一组基底．
(2) 设c＝ma＋nb＝(m＋n)e1＋(3n－2m)e2＝3e1－e2，
所以解得
所以c＝2a＋b.
例2　＝a＋b，＝－a－b，
＝a－b，＝－a＋b.
跟踪训练　＝＋＝＋(＋)＝－＝b－a.
例3　＝＋＝＋＝＋＋＝2－＝2a－b；
＝＋＝－＋＝－b＋2a－b＝2a－b.
跟踪训练　设＝λ，＝μ，
则＝＋＝a＋λ＝a＋λb，
＝＋＝b＋μ＝μa＋b，
所以解得
所以＝a＋b.
【检测反馈】
1. B　因为向量a，b不共线，c＝a＋6b，d＝－2a＋xb，c∥d，所以c＝λd，即a＋6b＝λ(－2a＋xb)，即1＝－2λ，6＝λx，解得x＝－12.
2. C　如图，设＝a，＝b，因为＝，所以＝b.因为A，P，D三点共线，设＝x，所以＝＋＝a＋x＝a＋x(－)＝a＋x·＝(1－x)a＋b.又＝m＋＝ma＋b，可得解得x＝，m＝.
3. BD　对于A，因为2e1－e2＝－(－4e1＋2e2)，所以2e1－e2，－4e1＋2e2共线，不可以作为基底；对于B，2e1－e2，2e2不共线，可以作为基底；对于C，因为e1－e2＝(2e1－2e2)，所以e1－e2，2e1－2e2共线，不可以作为基底；对于D，e1－e2，e1＋e2不共线，可以作为基底．故选BD.
4. －a＋b　如图，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＝－a＋b.
5. (1) 因为＝4，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
因为＝3，
所以＝＝＝＋.
(2) 由(1)，得＝＋，
因为＝m，＝n，m>0，n>0，
所以＝＋＝＋.
因为M，E，N三点共线，
所以＋＝1.

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