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期末专项培优：长方体和正方体的表面积
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）在一个大正方体上面放置一个棱长是3分米的小正方体（如图），和之前的大正方体相比，表面积增加了（　　）
A．54平方分米 B．45平方分米
C．36平方分米
2．（2024秋 盐都区期末）一本书长15厘米，宽10厘米，厚2厘米，如果要将2本这样的书包装在一起，至少要（　　）平方厘米的纸。
A．300 B．500 C．740 D．760
3．（2024秋 庐江县期末）如图是从8个相同的小正方体组成的一个大正方体中拿走一个小正方体，剩下图形的表面积和原来大正方体的表面积比较，（　　）
A．变大了 B．变小了 C．不变
4．（2024秋 晋源区期末）将一个大长方体分成两个完全一样的小长方体，按如图所示的三种切法，表面积分别增加50平方厘米、40平方厘米、90平方厘米。原来大长方体的表面积是（　　）平方厘米。
① ② ③
A．90 B．180 C．360 D．390
5．（2024 万全区）把一个高6分米，底面半径2分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图）．这时表面积（　　）
A．不变 B．增加了12平方分米
C．增加了24平方分米 D．减少了24平方分米
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新邵县期末）如图，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是 　 　平方厘米。
7．（2024秋 丰泽区期末）如图所示，一个长方体包装盒长16厘米、宽12厘米、高5厘米，包装礼物的时候至少需要 　 　平方厘米的彩纸才能把它完全包上；用彩带捆扎（打结处需用20厘米），至少需要 　 　厘米长的彩带。
8．（2024秋 盐都区期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了 　 　米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要 　 　平方米玻璃。
9．（2024秋 海门区期末）劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是 　 　厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是 　 　平方厘米。
10．（2024秋 晋源区期末）如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下正方体木料的表面积是 　 　平方厘米。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 阎良区期末）如果两个正方体的棱长总和相等，那么它们的表面积也相等． 　 　
12．（2024春 慈利县期中）把一个长2m、宽1.5m、高3m的纸箱放在地面上，它最多占地6m2。 　 　
13．（2024春 信阳期末）体积是1立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是1平方米。 　 　
14．（2024 玉溪）一个正方体棱长为2厘米，它的棱长之和与表面积相等。 　 　
15．（2024 巧家县）把一个正方体平均分成2份，表面积增加，体积不变。 　 　
四．计算题（共1小题）
16．（2024春 沧州期中）计算如图各图形的表面积。
（1）
（2）
五．应用题（共4小题）
17．（2024春 吉林期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5m。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？
18．（2024春 珠海校级期中）一个正方体的棱长总和是60分米，它的棱长是多少分米？它的表面积是多少平方分米？
19．（2024秋 南京期中）一个长方体木块，如果它的高减少3分米，那么就成为一个正方体，这是它的表面积减少72平方分米。求原来长方体的表面积。
20．（2024秋 莱阳市期中）正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？
六．解答题（共2小题）
21．（2024春 历下区期末）榫卯是中国古代建筑、家具及木制器械的主要构造方式，其特点在于两个木构件通过凹凸结合的方式连接。具体来说，凸出的部分称为榫（或榫头），凹进的部分称为卯（或榫眼、榫槽）。连接时，一个构件的榫头会插入到另一个构件的卯眼中，从而实现两个构件的稳固连接。现有一款零件（如图1所示），若将两个完全相同的此零件按照榫卯结构（如图2所示）组装并固定在一起，外部全部涂上颜料。根据图1中给出的数据，请你算一算，连接在一起的两个零件没有被涂色的所有面的面积之和是多少平方厘米？
22．（2024春 沈丘县期中）妈妈买了一盒糕点，这盒糕点的包装盒有两层，如图，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体。如果把内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，那么包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处不计）
期末专项培优：长方体和正方体的表面积
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C B C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）在一个大正方体上面放置一个棱长是3分米的小正方体（如图），和之前的大正方体相比，表面积增加了（　　）
A．54平方分米 B．45平方分米
C．36平方分米
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】C
【分析】依据题意结合图示可知，和之前的大正方体相比，表面积增加了4个边长是3分米的正方形的面积，由此解答本题。
【解答】解：3×3×4＝36（平方分米）
答：和之前的大正方体相比，表面积增加了36平方分米。
故选：C。
【点评】本题考查的是正方体的表面积的应用。
2．（2024秋 盐都区期末）一本书长15厘米，宽10厘米，厚2厘米，如果要将2本这样的书包装在一起，至少要（　　）平方厘米的纸。
A．300 B．500 C．740 D．760
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】将最大的两个面拼起来，表面积最小，观察长、宽、高数据，上下两个面最大，因此拼成长15厘米，宽10厘米，高（2×2）厘米的长方体，表面积最小，根据长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，列式计算即可。
【解答】解：2×2＝4（厘米）
（15×10+15×4+10×4）×2
＝（150+60+40）×2
＝（150+100）×2
＝250×2
＝500（平方厘米）
答：至少要500平方厘米的纸。
故选：B。
【点评】本题考查了长方体表面积的计算。
3．（2024秋 庐江县期末）如图是从8个相同的小正方体组成的一个大正方体中拿走一个小正方体，剩下图形的表面积和原来大正方体的表面积比较，（　　）
A．变大了 B．变小了 C．不变
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】看图可知，拿走一个小正方体，就减少了三个面，同时又增加了三个面，则图形的表面积没有变。
【解答】解：因为拿走一个小正方体，就等于减少了三个面，同时又增加了三个面，所以说图形的表面积和拼成的大正方体的表面积相比没有变。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是：看计算表面积所用的面有没有变化，从而问题得解。
4．（2024秋 晋源区期末）将一个大长方体分成两个完全一样的小长方体，按如图所示的三种切法，表面积分别增加50平方厘米、40平方厘米、90平方厘米。原来大长方体的表面积是（　　）平方厘米。
① ② ③
A．90 B．180 C．360 D．390
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】每种切法都多出了两个相同的面，①的切法相当于增加了上、下两个面，②的切法相当于增加了左、右两个面，③的切法相当于增加了前、后两个面，因此，增加部分的面积之和就相当于原长方体的表面积。
【解答】解：50+40+90＝180（平方厘米）
答：原来大长方体的表面积是180平方厘米。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键明白：增加部分的面积之和就相当于原长方体的表面积。
5．（2024 万全区）把一个高6分米，底面半径2分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图）．这时表面积（　　）
A．不变 B．增加了12平方分米
C．增加了24平方分米 D．减少了24平方分米
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体后，体积不变，表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
【解答】解：6×2×2
＝12×2
＝24（平方分米）
答：表面积增加24平方分米。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，以及圆柱表面积的意义及应用。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新邵县期末）如图，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是 　112　平方厘米。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】112。
【分析】根据题意可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。表面积减少的是正方体的4个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，原来长方体的表面积等于正方体的14个面的面积。据此解答。
【解答】解：32÷4×14
＝8×14
＝112（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是112平方厘米。
故答案为：112。
【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积的意义及应用，关键是求出正方体的一个面的面积。
7．（2024秋 丰泽区期末）如图所示，一个长方体包装盒长16厘米、宽12厘米、高5厘米，包装礼物的时候至少需要 　664　平方厘米的彩纸才能把它完全包上；用彩带捆扎（打结处需用20厘米），至少需要 　96　厘米长的彩带。
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体的特征．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】664、96。
【分析】依据题意结合图示可知，彩纸的面积等于长16厘米、宽12厘米、高5厘米的长方体的表面积，彩带的长度等于2个长加上2个宽加上4个高再加上打结处长度，由此解答本题。
【解答】解：（16×12+16×5+12×5）×2
＝（192+80+60）×2
＝332×2
＝664（平方厘米）
16×2+12×2+5×4+20
＝32+24+20+20
＝96（厘米）
答：需要664平方厘米的彩纸，96里面的彩带。
故答案为：664、96。
【点评】本题考查的是长方体的表面积的应用。
8．（2024秋 盐都区期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了 　12　米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要 　5.92　平方米玻璃。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】12；5.92。
【分析】根据长方体的特点，长、宽、高各有4条，即选在4根1米为长，4根1.2米为宽，4根8分米为高，再根据长方体的棱长和＝（长+宽+高）×4；注意单位换算，将8分米换算成以米作单位，即低级单位转化为高级单位用除以两个单位之间的进率，1米＝10分米；
给这个柜台6个面安装玻璃，就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2代入公式计算即可。
【解答】解：8分米＝0.8米
（1+1.2+0.8）×4
＝3×4
＝12（米）
（1×1.2+1×0.8+1.2×0.8）×2
＝（1.2+0.8+0.96）×2
＝2.96×2
＝5.92（平方米）
答：做这个柜台一共用了12米，至少需要5.92平方米。
故答案为：12；5.92。
【点评】本题考查了长方体棱长和表面积计算的应用。
9．（2024秋 海门区期末）劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是 　15　厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是 　2000　平方厘米。
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体的特征．
【专题】应用意识．
【答案】15，2000。
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，那么高＝棱长总和÷4﹣（长+宽），再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。
【解答】解：240÷4﹣（25+20）
＝60﹣45
＝15（厘米）
240÷12＝20（厘米）
20×20×5
＝400×5
＝2000（平方厘米）
答：长方体的高是15厘米，彩纸面积是2000平方厘米。
故答案为：15，2000。
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．（2024秋 晋源区期末）如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下正方体木料的表面积是 　30　平方厘米。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】30。
【分析】根据题意可知：把这根长方体木料锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长．表面积减少的是锯下的正方体的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（74﹣54）÷4×6
＝20÷4×6
＝5×6
＝30（平方厘米）
答：锯下正方体木料的表面积是30平方厘米。
故答案为：30。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的表面积的意义及应用，关键是求出原来长方体木料的底面的面积，即锯下的正方体的一个面的面积。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 阎良区期末）如果两个正方体的棱长总和相等，那么它们的表面积也相等． 　√　
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】综合判断题；立体图形的认识与计算．
【答案】√
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等、6个面的面积都相等，如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等，所以这两个正方体的表面积一定相等．据此判断．
【解答】解：如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等，所以这两个正方体的表面积一定相等．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体的表面积公式的灵活运用．
12．（2024春 慈利县期中）把一个长2m、宽1.5m、高3m的纸箱放在地面上，它最多占地6m2。 　√　
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】√。
【分析】根据长方体的特征得知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。
求纸箱的最大占地面积，就是长方体的最大面的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，分别求出三组面的面积，再比较大小即可。
【解答】解：2×1.5＝3（m2）
2×3＝6（m2）
把一个长2m、宽1.5m、高3m的纸箱放在地面上，它最多占地6m2。本题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查的是长方体的表面积的应用。
13．（2024春 信阳期末）体积是1立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是1平方米。 　×　
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】运算能力．
【答案】×
【分析】由“体积是1立方米的长方体木箱”可知，这个木箱的每个面的面积就不一定是1平方米，所以它的占地面积就不一定是1平方米。
【解答】解：长方体木箱的体积是1立方米，则每个面的面积就不一定是1平方米，
所以它的占地面积不一定是1平方米。所以题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是先求出长方体每个面的面积，从而可以知道它的占地面积。
14．（2024 玉溪）一个正方体棱长为2厘米，它的棱长之和与表面积相等。 　×　
【考点】长方体和正方体的表面积．
【答案】×
【分析】根据题意，棱长之和是长度单位，表面积是面积单位，无法比较，据此解答即可。
【解答】解：分析可知，棱长之和是长度单位，表面积是面积单位，无法比较，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了长度单位和面积单位的认识知识，结合题意分析解答即可。
15．（2024 巧家县）把一个正方体平均分成2份，表面积增加，体积不变。 　√　
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】√
【分析】根据正方体、长方体的表面积的意义、体积的意义可知，把一个正方体平均分成2份，表面积增加了，体积不变。据此判断。
【解答】解：把一个正方体平均分成2份，表面积增加了，体积不变。这种说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的表面积的应用、体积的意义及应用。
四．计算题（共1小题）
16．（2024春 沧州期中）计算如图各图形的表面积。
（1）
（2）
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）13.5cm；（2）88cm。
【分析】（1）根据证方体的表面积＝棱长×棱长×6代入数据计算即可；
（2）这是一个长是6cm、宽是4cm、高是2cm的长方体的展开图，根据长方体的表面积公式列式计算即可。
【解答】解：（1）1.5×1.5×6
＝2.25×6
＝13.5（cm）
答：表面积是13.5cm。
（2）（6×4+6×2+4×2）×2
＝（24+12+8）×2
＝44×2
＝88（cm）
答：表面积是88cm。
【点评】解答此题要运用正方体和长方体的表面积公式。
五．应用题（共4小题）
17．（2024春 吉林期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5m。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】1.25平方米。
【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。
【解答】解：0.5×0.5×5
＝0.25×5
＝1.25（平方米）
答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。
【点评】本题考查的是正方体的表面积的应用。
18．（2024春 珠海校级期中）一个正方体的棱长总和是60分米，它的棱长是多少分米？它的表面积是多少平方分米？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】5分米；150平方分米。
【分析】正方体的棱长和＝12×棱长，据此求出正方体的棱长，再根据正方体表面积＝6×棱长×棱长，据此求出正方体的表面积。
【解答】解：棱长：60÷12＝5（分米）
正方体表面积：6×5×5
＝30×5
＝150（平方分米）
答：它的棱长是5分米，它的表面积是150平方分米。
【点评】本题考查正方体的棱长和与表面积，解答本题的关键是掌握正方体的棱长和与表面积计算公式。
19．（2024秋 南京期中）一个长方体木块，如果它的高减少3分米，那么就成为一个正方体，这是它的表面积减少72平方分米。求原来长方体的表面积。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】288平方分米。
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。根据题意，高减少3分米，这时表面积比原来减少了72平方分米。表面积减少的是高为3分米的长方体的4个侧面的面积。首先求出减少部分的1个侧面的面积，72÷4＝18（平方分米）；由已知如果高减少3分米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；根据长方形的面积公式s＝ab，用18÷3＝6（分米），原来长方体的底面边长就是6分米．原来的高是6+3＝9（分米），再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：原来长方体的底面边长是：
72÷4÷3
＝18÷3
＝6（分米）
高是：6+3＝9（分米）
6×6×2+6×9×4
＝36×2+54×4
＝72+216
＝288（平方分米）
答：原来长方体的表面积是288平方分米。
【点评】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的表面积公式解答即可。
20．（2024秋 莱阳市期中）正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】20平方分米。
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出这个正方体的5个面的总面积即可。
【解答】解：24÷12＝2（分米）
2×2×5
＝4×5
＝20（平方分米）
答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
六．解答题（共2小题）
21．（2024春 历下区期末）榫卯是中国古代建筑、家具及木制器械的主要构造方式，其特点在于两个木构件通过凹凸结合的方式连接。具体来说，凸出的部分称为榫（或榫头），凹进的部分称为卯（或榫眼、榫槽）。连接时，一个构件的榫头会插入到另一个构件的卯眼中，从而实现两个构件的稳固连接。现有一款零件（如图1所示），若将两个完全相同的此零件按照榫卯结构（如图2所示）组装并固定在一起，外部全部涂上颜料。根据图1中给出的数据，请你算一算，连接在一起的两个零件没有被涂色的所有面的面积之和是多少平方厘米？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】2950平方厘米。
【分析】由于是两个完全相同的零件按照榫卯结构组装，所以未涂色的面积相同，只需计算一个未涂色的面积，然后乘2即可得到总面积。未涂色的面包括一个长为40厘米、宽为25厘米的长方形，一个长为13厘米、宽为25厘米的长方形，以及两个长为3厘米、宽为25厘米的长方形。根据“长方形面积＝长×宽”，代入数据计算后相加求和，最后再乘2即可。
【解答】解：长为40厘米、宽为25厘米的长方形面积为：40×25＝1000（平方厘米）
长为13厘米、宽为25厘米的长方形面积为：13×25＝325（平方厘米）
两个长为3厘米、宽为25厘米的长方形面积为：2×3×25＝150（平方厘米）
所以一个未涂色面的面积为：1000+325+150＝1475（平方厘米）
因为有两个完全相同的未涂色面，所以总面积为：1475×2＝2950（平方厘米）
答：连接在一起的两个零件没有被涂色的所有面的面积之和是2950平方厘米。
【点评】本题考查了长方体表面积计算的应用。
22．（2024春 沈丘县期中）妈妈买了一盒糕点，这盒糕点的包装盒有两层，如图，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体。如果把内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，那么包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处不计）
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】几何直观．
【答案】5424平方厘米。
【分析】包装盒有两层，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体，内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，所以外层少了以6为宽，以50为长的长方形的面积，内层少了以50为长，以26宽的长方形的面积，由此根据长方体的表面积公式进行求解即可。
【解答】解：26×50×3+50×6×3+26×6×4
＝3900+900+624
＝5424（平方厘米）
答：包装盒所用硬纸板的面积是5424平方厘米。
【点评】此题考查长方体的表面积的求法，关键是弄清楚外盒和内盒各有几个面组成。
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