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(共36张PPT)
第一章　三角函数
§7 正切函数
7.3　正切函数的图象与性质
素养目标　定方向
必备知识　探新知
知识点1　正切曲线
正切函数的图象称作正切曲线．
知识点2　正切函数的图象与性质
π
奇函数
关键能力　攻重难
题型一
正切函数的定义域、值域问题
[归纳提升]
归纳提升：
求正切函数定义域的方法
〉对点训练1
【分析】　(1)利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间．(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小．
题型二
正切函数的单调性及应用
[归纳提升]
归纳提升：
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
〉对点训练2
【分析】　(1)根据正切函数最小正周期求解．(2)根据函数y＝asin x＋btan x是奇函数求解．
题型三
正切函数的周期性与奇偶性
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，则f(x)＝g(x)＋2.
因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asin x＋btan x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数．
因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3，
则g(－3)＝3.故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5.
[归纳提升]
归纳提升：
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性：
〉对点训练3
A．是奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是(　　)
【答案】　(1)A　(2)B
课堂检测　固双基
【答案】　B
2．下列各式中正确的是(　　)
A．tan 735°>tan 800°
B．tan 1>－tan 2
【答案】　D
3．在区间[0，π]内，函数y＝sin x与y＝tan x的图象交点的个数是(　　)个．(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　C
【答案】　(－∞，－1]∪[1，＋∞)第一章　§7　7.3　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】　由正切函数的定义域，令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝－2tan的定义域为.故选D.
2．tan x≥1的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】　D
【解析】　作函数y＝tan x，x∈的图象，作函数y＝1的图象，观察图象可得当≤x<时，tan x≥1，即x∈时，不等式tan x≥1的解集为，又正切函数y＝tanx为周期函数，周期为π，所以不等式tan x≥1的解集为，故选D.
3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A．±1 B．1
C．±2 D．2
【答案】　A
【解析】　＝，ω＝±1.
4．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　)
【答案】　A
【解析】　由f(x)＝tan ，
知f(x＋2π)＝tan
＝tan ＝f(x)．
∴f(x)的周期为2π，排除B，D.
令tan ＝0，得－＝kπ(k∈Z)．
∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，
即图象过点，故选A.
5．函数y＝tan 的定义域为，则函数的值域为(　　)
A．(，＋∞) B．
C．(－，＋∞) D．
【答案】　C
【解析】　由tan＝－.故函数的值域为(－，＋∞)．
6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为(　　)
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】　B
【解析】　在同一直角坐标系中画出函数y＝tan x与函数y＝sin x在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B.
二、填空题
7．函数y＝3tan的对称中心的坐标为 　　　　　　　　.
【答案】　(k∈Z)
【解析】　令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(k∈Z)．
8．函数y＝tan的单调区间是　　　　.
【答案】　(k∈Z)
【解析】　y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
9．函数f(x)＝tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为________.
【答案】　
【解析】　由题意可得T＝2，所以＝2，a＝.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1【解析】　因为1所以1<<，即因为k∈N*，所以k＝3，则f(x)＝2tan，
由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，所以定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数，
由－＋kπ<3x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2tan，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)的定义域是
B．f(x)的值域是R
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小正周期是π
【答案】　B
【解析】　令2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，故A错误；
因函数y＝tanx值域为R，则f(x)值域为R，故B正确；
f(－x)＝2tan＝－2tan≠－f(x)，则f(x)不是奇函数，故C错误；
f(x)的最小正周期为，故D错误．故选B.
2．已知函数f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，若f＝1，则f＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
【答案】　C
【解析】　∵f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，f＝1，∴f＝mtan－ksin＋2＝m－k＋2＝1，∴m－k＝－1，∴f＝mtan－ksin＋2＝－m＋k＋2＝3.
3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．tan>tan
B．sin 145°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
D．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞)
【答案】　BD
【解析】　A错误，tan＝tan＝tan，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan1，故sin 145°4．(多选)已知函数f(x)＝tan x，对任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是(　　)
A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)
C．f(0)＝1 D．>0
【答案】　AD
【解析】　由于f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan 0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故D正确．
二、填空题
5．给出下列命题：
(1)函数y＝tan |x|不是周期函数；
(2)函数y＝tan x在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．
其中正确命题的序号是 　　　　　.
【答案】　(1)(3)(4)
【解析】　y＝tan |x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tan x在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cos x是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
6．若tan≤1，则x的取值范围是 　　　　　.
【答案】　(k∈Z)
【解析】　令z＝2x－，在上满足tan z≤1的z的值是－三、解答题
7．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的主要性质．
【解析】　由y＝|tan x|＋tan x知
y＝(k∈Z)．
其图象如图所示．
函数的主要性质为：
①定义域：；
②值域：[0，＋∞)；
③周期性：T＝π；
④奇偶性：非奇非偶函数；
⑤单调性：单调增区间为，k∈Z.
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
【解析】　(1)当θ＝－时，tan θ＝－，函数f(x)＝x2－x－1，对称轴为x＝.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
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