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综合检测题
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为(　　)
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
【答案】　B
【解析】　由S＝αR2，得16＝×2R2，R＝4，所以l＝α·R＝8.
2．已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】　C
【解析】　由已知，tan θ＝－，所求原式可化为＝－＝.
3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】　A
【解析】　由最小正周期为π，可排除B，再将x＝代入函数，可知A正确．
4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)
【答案】　D
【解析】　本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．
5．函数f(x)＝x－|sin 2x|在上零点的个数为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
【答案】　C
【解析】　分别作出函数y＝x和y＝|sin 2x|的图象，如图所示．
由图可知，这两个函数图象在上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝x－|sin 2x|在上的零点个数为5.
6．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】　D
【解析】　由题意，为了得到函数y＝sin＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有点向右平移个单位．
7．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开、花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时～14时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T＝25＋10sin，则在6时～14时中，观花的最佳时段约为(　　)
A．6.7时～11.6时 B．6.7时～12.2时
C．8.7时～11.6时 D．8.7时～12.2时
【答案】　C
【解析】　当t∈[6,14]时，t＋∈，则T＝25＋10sin在[6,14]上单调递增．设花开、花谢的时间分别为t1，t2.由T1＝20，得sin＝－，t1＋＝，解得t1＝≈8.7时；由T2＝31，得sin＝0.6≈sin ，t2＋≈，解得t≈11.6时．故在6时～14时中，观花的最佳时段约为8.7时～11.6时．故选C.
8.如图所示，P，Q，R为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与坐标轴的三个交点，且P(1,0)，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为(　　)
A．2 B．
C． D．4
【答案】　C
【解析】　由题意可得Q(4,0)，R(0，－4)，|PQ|＝3，函数f(x)的最小正周期T＝6＝，解得ω＝.
∵函数f(x)的图象经过点Q，R，
∴又|φ|≤，
∴φ＝－，∴A＝.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9．给出下列各函数值，其中符号为负的是(　　)
A．cos(－2 200°) B．tan(－10)
C． D．sin 2cos 3tan 4
【答案】　BD
【解析】　对于A，cos(－2 200°)＝cos 2 200°＝cos(360°×6＋40°)＝cos 40°>0，符号为正；
对于B，tan(－10)＝－tan 10＝－tan(10－3π)，且0<10－3 π<，所以tan(10－3π)>0，tan(－10)符号为负；
对于C，＝＝>0，符号为正；
对于D，<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2cos 3tan 4<0，符号为负．
故选BD.
10．关于函数f(x)＝cos x＋|cos x|的说法正确的是(　　)
A．最小正周期是2π
B．在区间[0,1]上是减函数
C．图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称
D．是周期函数且图象有无数条对称轴
【答案】　ABD
【解析】　f(x)＝
画出f(x)的图象如图所示．
由图象知，函数的最小正周期为2π，故A正确；
函数在上为减函数，故B正确；
函数图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，故C错误；
函数图象有无数条对称轴，且最小正周期是2π，故D正确．
??11.已知点A(0,2)，B是函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)的图象上的两个点，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
【答案】　AD
【解析】　∵f(0)＝4sin φ＝2，<φ<π，∴φ＝.由f＝4sin＝0，得ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝6k－4(k∈Z)，又0<ω<6，∴ω＝2，故f(x)＝4sin，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝4sin＝4sin的图象．令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．计算sin 330°＋cos 240°＋tan 180°＝ 　　　　.
【答案】　－1
【解析】　原式＝－sin 30°－cos 60°＋0＝－－＝－1.
13．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2 024)＝ 　　　　.
【答案】　
【解析】　由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.
由点(1,1)在函数图象上，
可得f(1)＝sin＝1，
故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又φ∈[0,2π)，所以φ＝，故f(x)＝sin.
所以f(2 024)＝sin＝
sin＝sin＝.
14．函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为 　　　　.
【答案】　
【解析】　f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，∴f(x)＝cos，将f(x)左移φ个单位，得到g(x)＝cos的图象，由于图象关于原点对称，∴2φ＋＝kπ＋，(k∈Z)解得φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)(1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
【解析】　(1)∵r＝＝5|a|，
∴当a>0时，r＝5a，
∴sin α＝＝－，cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝－；
当a<0时，r＝－5a，
∴sin α＝＝，cos α＝－，
∴2sin α＋cos α＝.
(2)当点P在第一象限时，sin α＝，cos α＝，
2sin α＋cos α＝2；
当点P在第二象限时，sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；
当点P在第三象限时，sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；
当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝－.
16．(本小题满分15分)已知函数y＝3tan.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的定义域；
(3)说明此函数的图象是由y＝tan x的图象经过怎样的变换得到的？
【解析】　(1)函数y＝3tan的最小正周期T＝.
(2)由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数的定义域为.
(3)把函数y＝tan x图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数y＝tan的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan的图象．
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈，求函数f(x)的值域．
【解析】　(1)由题图可得f(x)＝2sin，
由－＋2kπ≤2x＋π≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为
，k∈Z.
(2)因为x∈，所以2x＋π∈，
所以当x＝时，f(x)min＝－，
当x＝－时，f(x)max＝2，
所以函数f(x)的值域为[－，2]．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝－sin2x＋asin x＋1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
(2)若当a>0时，函数f(x)的最大值是3，求实数a的值．
【解析】　(1)当a＝1时，f(x)＝－sin2x＋sin x＋1，
令t＝sin x，－1≤t≤1；
则y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
当t＝时，函数f(x)的最大值是，
当t＝－1时，函数f(x)的最小值是－1，
所以函数f(x)的值域为.
(2)当a>0时，f(x)＝－sin2x＋asin x＋1
＝－2＋1＋，
当≥1，即a≥2时，当且仅当sin x＝1时，f(x)max＝a，又函数f(x)的最大值是3，所以a＝3；
当0<<1,0当且仅当sin x＝时，f(x)max＝1＋，
又函数f(x)的最大值是3，所以1＋＝3，
所以a＝2，又0综上，实数a的值为3.
19．(本小题满分17分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用．如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米．以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米(规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数)．
(1)写出h(单位：米)关于t(单位：秒)的函数解析式h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B；
(2)若盛水筒P在t1，t2时刻距离水面的高度相等，求t1＋t2的最小值．
【解析】　(1)如图，过O作OC⊥PB交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转＝rad，则∠MOP＝t.
又因为∠COM＝∠OMA，sin∠OMA＝＝＝，所以∠COM＝，
则∠COP＝t－.PB＝OP·sin∠COP＋CB＝5sin＋，t∈[0，＋)，
即h(t)＝5sin＋，t∈[0，＋)．
(2)不妨设t1>t2≥0，由题意得5sin＋＝5sin＋，
故sin＝sin，
①t1－＝t2－＋2k1π，k1∈N*，解得t1＝t2＋60k1，k1∈N*，故t1＋t2＝2t2＋60k1≥60，当且仅当t2＝0，k1＝1时，等号成立．
②t1－＋t2－＝π＋2k2π，k2∈N，解得t1＋t2＝40＋60k2，显然当k2＝0时，t1＋t2取得最小值，最小值为t1＋t2＝40.
综上，t1＋t2的最小值为40.
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第一章　三角函数
章末梳理
知识结构　理脉络
考点整合　提技能
题型一
　角的概念与弧度制
(2)扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？
【答案】　(1)C　(2)见解析
[归纳提升]
归纳提升：
(1)关于角度与弧度的互化
角度与弧度的互化关键是掌握互化公式，或是由π＝180°简单推导互化公式，对于常见的角度、弧度建议识记其互化关系．
(2)关于弧度值公式的应用
在涉及扇形的面积、弧长、圆心角等问题时，往往要用到弧度值公式的变形使用，以及扇形面积的两种表达式确定未知量或直接求面积．
题型二
三角函数的定义与诱导公式
[归纳提升]
归纳提升：
1．解决正弦、余弦函数值和不等式问题，利用单位圆中三角函数定义求解．利用三角函数定义解题时要注意角的终边落在射线上还是直线上，注意分类讨论．
2．利用诱导公式求值一般按“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”的步骤进行．
注意：
①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化．
②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．
③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．
3.(1)设函数f(x)＝sin x，x∈R，对于以下三个命题：
①函数f(x)的值域是[－1,1]；
题型三
正、余弦函数的图象与性质
(2)下列函数中，奇函数的个数为(　　)
①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0,2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】　(1)C　(2)C
(2)①f(－x)＝x2sin(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，为奇函数，所以正确；
②f(－x)＝sin(－x)＝－f(x)，但定义域不关于原点对称，不是奇函数，所以不正确；
③f(－x)＝sin(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，为奇函数，正确；
④f(－x)＝－x·cos(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，为奇函数，所以正确．
[归纳提升]
归纳提升：
解决正弦、余弦函数的性质问题，要利用单位圆中的正弦、余弦函数的定义求解，并结合基本初等函数的性质解决问题．例如函数的定义域问题．
题型四
求三角函数的解析式
[归纳提升]
归纳提升：
由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．
(1)平衡点法
(2)确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．
(3)利用单调性
将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.
题型五
三角函数的性质
[归纳提升]
归纳提升：
(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化．
(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且还要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图象法或单位圆法．
(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行．本题是三角函数与对数函数复合的函数，应在其定义域上对三角函数的单调区间进行等价转化求出该函数的单调区间，若对数函数的底数是字母时，还应注意对字母进行分类讨论，才能确定该函数的单调区间．
(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．

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