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合江中学高2024级高一下期期中考试数学试题
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第I卷(选择题共58分)
一 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.设复数,则z的共轭复数为( )
A. B. C.1 D.
2.若向量,,则( )
A. B.5 C.20 D.25
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则( )
A.30° B.60° C.90° D.30°或150°
4.为了得到函数的图象,只需把函数图象上所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移.
B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移.
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移.
D.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移.
5.已知,且,,则( )
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,P在线段BC上,满足,O为线段AP上一点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称
C.在区间内有2个零点 D.在区间上单调递增
8.如图,摩天轮的半径为,摩天轮的中心点O距地面的高度为,摩天轮做匀速转动,每转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内,点P距离地面超过的时长为( )
A. B. C. D.
二 多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知是虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若复数,,则
B.若复数,则复数z的虚部等于
C.若复数为纯虚数,则
D.
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则△ABC是等腰三角形
C.若,则△ABC是直角三角形
D.若△ABC为锐角三角形,则
11.已知函数,则( )
A.对于任意的,均为偶函数
B.当时,的最小正周期为
C.当时,
D.当时,在上有12个零点
第II卷(非选择题共92分)
三 填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量,,若,则实数_______________.
13.已知复数z满足,则的最大值为_______________.
14.已知锐角△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足:,则角A的取值范围是_______________.
四 解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知与是平面内的两个向量,,,与的夹角为.
(1)求及;
(2)在平面直角坐标系下,若,求在方向上的投影向量的坐标.
16.(15分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,,求△ABC的面积.
17.(15分)
如图,已知函数的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
(1)求函数的解析式;
(2)已知,,角的终边与单位圆交于点,求的值.
18.(17分)
成都天府绿道专为骑行而建,以绿道为线,串联上百个生态公园,一路上树木成荫 鸟语花香,目前已然成为成都新的城市名片.成都市政府为升级绿道沿途风景,计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域ABC做绿化,如图,已知,为提升美观度,设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若米,求BC的长;
(2)绿化完成后,某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点,该游客从A到D,再从D到B,然后从B到D,最终返回D点拍照.已知,求游客所走路程的最大值.
19.(17分)
定义:非零向量的“特征三角函数”为,向量称为函数的“特征向量”.
(1)若,求的“特征向量”的坐标;
(2)设向量的“特征三角函数”为,若关于x的方程在上有两个不同的实根,求k的取值范围;
(3)设向量的“特征三角函数”为,若函数的最小值不小于,求a的取值范围.
数学试题参考答案
一 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.D
8.B
设时点距离底面的高度为,
由题意得,周期,
所以,所以,即,
可得,令,则,所以,
令,即,
所以,解得,令,则,
所以在摩天轮转动的一圈内,点距离地面超过的时长为故选:B.
二 多项选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.
9.CD
10.AD
【详解】对于A,根据正弦定理,由可得,大边对大角,所以.故A正确:
对于B,根据正弦定理,由可得,即,则或,即或,所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误;
对于,则或,即或,所以是直角三角形或钝角三角形,故C错误;
对于D,若为锐角三角形;则,即,
因为函数在上单调递增,所以,即,故D正确.故选:AD.
11.ABD
A项:的定义域为,即证明,A选项正确:
B项:,因为函数的最小正周期均为,
所以的最小正周期为,B选项正确:
C项:取选项错误;
D项:由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正周期为,在每个周期内存在2个零点,
因为区间的长度为,又
所以6个周期内为12个零点,选项正确.故选:ABD.
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
13.
【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心,1为半径
的圆上,的几何意义为所对应的点到点的距离,因为,
所以的最大值为故答案为:
14【答案】
【详解】由,可得:,
由正弦定理可得:,
再由余弦定理:,
再结合正弦定理可得:,所以,
即,即,
因为是锐角三角形,,所以,或,
当时,又,所以,即,
所以,此时为直角,舍去,
当时,可得:,即,同时:,即,
综上角的取值范围是,故答案为:
四 解答题:本题共5小题,共77分.
15.【答案】(1).
因为,所以.
(2)在方向上的投影向量为
16.【详解】(1)因,则,
由余弦定理得,,
因,则.
(2)由得,,
因,则,即,
故
17.【详解】(1)
,由图象可得,
又最高点,最低点,联立解得,
所以函数的解析式为.
(2),因为,解得,
由角的终边与单位圆交于点;可得,
所以.
18.【详解】(1)在中,由余弦定理得
,所以米;
(2)因为,所以,记,
由正弦定理得,
即,所以,
,
其中,所以当时,的最大值为米.
即游客所走路程的最大值为米.
19.【详解】(1)由题意可得:
,
则的“特征向量”.
(2)由题意可得,其中
因为关于的方程在上有两个不同的实根,
所以关于的方程在上有两个不同的实根.
当时,,
则.在上单调递增,在上单调递减.
因为,
所以,即.
(3)由题意可得.
设,
则,所以.
当,即时,在上单调递增,
则,解得,
因为,所以;
当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
则,解得;
当,即时,在上单调递减,
则,解得,
因为,所以.
综上,的取值范围是.
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