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高二下学期数学期中考试模拟(四)
一、单选题
1．已知m，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
2．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种 B．180种
C．192种 D．168种
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为(　　)
A．－ B．C．－2 D．2
5．方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ）
A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047
C．第21行中，从左到右的第3个数是210
D．第3斜列为：，则该数列的前项和为
11．现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种不同的放法 B．恰有一个盒子不放球，共有1200种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有45种
D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种
三、填空题
12．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 .
13．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有种不同的停放方法 .
14．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为
四、解答题
15．（1）若，求；
（2）证明，并求的值．
16．设.
(1)求；
(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的值；
(3)若，求.
17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？
(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？
(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
18．已知函数.
(1)判定函数在上的零点个数；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．高二下学期数学期中考试模四 答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A A B B B ABD BCD
题号 11
答案 BC
1．A【详解】，，
，A错误；
，B正确；
，
，C正确，
由，可得，即，又，解得：，D正确；
故选：A
2．D【详解】先对3，4，5染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有种，若2和3不同色，则不同的染色方法有种，综上，不同的染色方法有种．故选：D.
3．A【详解】因为，设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.所以在时取到最大值，
所以，即.因为， ，
又因为，所以， 因为在上单调递增，
所以，即，所以.故选：A
4．A【详解】导函数，
因为a，b为正实数，所以当时，，
所以，即在上是增函数，所以最大，所以，所以；又当时，，所以，
即在上是增函数，所以最小，
最小值为.
5．A【详解】依题意，可知为非负整数，
因为，所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
6．B【详解】对任意的，且，，
则，令，则，
由单调性的定义知在上为增函数，.
则在上恒成立，即，
也即在上恒成立，
记，因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数a的取值范围为.
7．B【详解】

由题意，， ，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故选：B．
8．B【详解】因为，当时，都有，
即，即，
令，，则恒成立，
即在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，因为在上单调递减，
所以，所以，即实数的最大值为.
9．ABD【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；
对于B，由A可得，故，又由题设得，
故，即，故B正确；
对于C，由A令得，
即，所以C错误；
对于D，
，故D正确.
10．BCD
【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误；
对于B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以B正确；
对于C：第21行的二项式系数为且，
所以从左到右第三个数是，所以C正确；
对于D：由公式得：
，所以D正确.
故选：BCD．
11．BC
【分析】由题意，根据不同的放法，可得A的正误；根据分组分配的计算方法，可得B的正误；根据分步乘法原理以及分类加法原理，可得C的正误；利用隔板法，可得D的正误.
【详解】对于A，每个球都有个选择，则情况数为，故A错误；
对于B，先选出一个盒子不放球，其情况数为，
将五个球分成四组，其情况数为，
将分好的四组球分配到剩下四个不同的盒子里，其情况数为，
所以总共的情况数为，故B正确；
对于C，先选出一个球放在编号相同的盒子里，其情况数为，
对于剩下的四个球中，符合题意的情况数为，
所以总的情况数为，故C正确；
对于D，先选出一个盒子作为空盒，则其情况数为，
五个相同的球分为四组，必有一组为两个球，
则从剩下的四个盒子中选出一个，放两个球，则其情况数为，
所以总共情况数为故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】构造函数，确定其单调性，转换成，进而可求解；
【详解】设，则，
所以在上是增函数，
不等式可化为，
即，所以，解得.
故答案为：
13．12
【分析】利用相邻问题捆绑法求解.
【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放.
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，
所以共有种不同的停放方法.
故答案为：12.
14．
【分析】利用二项式的展开式通项公式来求解即可.
【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为，
令得，展开式中所有项的系数和为，
由题意知它们相等得，，
再根据展开式通项公式：，
当时，解得，
所以展开式中的常数项为，
故答案为：.
15．（1） ；（2）证明见解析，．
【分析】（1）先利用排列数公式求出，再利用组合数的性质和组合数公式进行求解；
（2）先利用组合数公式证明，再利用所证公式进行化简，进而利用二项式系数和公式求值.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又，，则，解得，
所以；
（2）证明：因为，
所以
.
16．【详解】（1）令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，
即，
解得，又因为，所以的取值为17，18，19.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
17．(1)240；
(2)72；
(3)504；
(4)120；
(5)504.
【分析】（1）利用捆绑法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）对数学是否排在第一节分类讨论即可；
（4）定序问题利用除法可得；
（5）分步将3科插入空位可解.
【详解】（1）第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法；
第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排，有种排法，
所以，数学和语文必须排在一起共有种排法.
（2）第一步，先排语文，有1种排法；
第二步，将历史、体育、英语排成一排，有种排法；
第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有种排法.
所以，总的排法有种排法.
（3）第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有种排法；
第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，
第2步，再从剩下的4个学科（不包括数学）中选一科排在最后一节，有4种排法，
第3步，中间4节任意排，有种排法，
所以，总的排法有.
综上，满足条件的排法有种.
（4）数学、语文、英语的上课顺序共有种，满足条件的顺序只有1种，
故满足条件的排法有种.
（5）第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种；
第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种；
第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种.
所以，总的排法有种.
18． 【详解】（1）由题意得，
当时，因为和单调递增，所以函数单调递增，
而，，
故，
当时，， 单调递减；
当时，，单调递增；
而，
所以函数在上无零点；
当时，，
所以函数在上单调递增，而，
所以函数在上有1个零点.
综上所述，函数在上有1个零点.
（2）令，，
则.
，，
令，，
因为时，，
当时，，，，
所以在上恒成立，
则为增函数，即为增函数，
①当，即时，，
所以在上为增函数，
，
即在上恒成立；
②当，即时，，
，使，
当为增函数；
当为减函数，
，与在上恒成立相矛盾，
不成立.
综上所述，实数m的取值范围是.
19 【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.

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