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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练03：函数
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
一次函数与不等式 2024年广东省卷第 10 题通过直线与坐标轴交点求不等式解集，2023年涉及函数增减性 2025 年模拟卷第 10 题可能结合“y=kx+b 的图象解不等式 中
二次函数的图象与性质 2024 年广东省卷第8题考查抛物线开口方向与对称轴，2023 年涉及顶点坐标. 2024年第8题2025 年模拟卷第8题可能结合“a、b、c符号判断”. 中
二次函数的应用 2024 年东省卷第20 题考杳二次函数的销售问题，2023 年涉及抛物线最值. 2025 年模拟卷第20 题可能结合“新能源汽车销量预测”. 中
反比例函数 2024 年东省卷第23 题第（1）问考查反比例函数的性质 2025 年模拟卷第23 题第（1）问可能会考查反比例函数的图象与性质.. 中
函数的综合压轴题 2024 年东省卷第23 题反比例函数与折叠问题，2023年涉及二次函数与几何综合问题. 2025 年模拟卷第23 题第可能会考查函数与几何的综合问题. 难
考向01:一次函数的图象与性质
1．（2025 广东一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则点（k，﹣b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025 江海区一模）一次函数y＝2x+4的图象如图，下列说法正确的是（　　）
A．点B的坐标是（﹣4，0）
B．△AOB的面积是8
C．y随x的增大而增大
D．点（1，5）在函数图象上
3．（2025 广东模拟）已知点A（﹣2，y1），B（0，y2）在一次函数y＝（k+2）x+b（k、b为常数）的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k＞0 D．k＜0
4．（2025 罗湖区校级模拟）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且与函数y＝4x﹣3的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
5．（2025 东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
考向02:一次函数与方程、不等式
1．（2025 白云区一模）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝7
2．（2025 阳西县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
3．（2025 蓬江区校级一模）如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式kx+b＞﹣2的解集为（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＞2
4．（2025 东莞市校级一模）如图，已知直线y1＝x+2与y2＝﹣2x﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的不等式y1≥y2的解集是（　　）
A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
5．（2025 电白区一模）已知一次函数y1＝kx与y2＝ax+b的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．abk＜0
B．当x＞2时，y1＞y2
C．关于x的方程kx＝ax+b的解是x＝2
D．将y2＝ax+b向下平移|b|个单位，则平移后与y1＝kx的交点为（0，1）
考向03:一次函数的应用
1．（2025 盐田区二模）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（mmol/L）与年龄x（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度L/（mmol/L） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求L关于x的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练 50%～70%
无氧耐力训练 70%～90%
2．（2025 天河区一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知A，B两地相距s米，甲、乙两机器人从A地同时出发，沿同一直线同向而行至B地．甲机器人前4秒钟以a米/秒的速度行进，之后速度提升为2a米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达B点．（1）求A，B两地之间的距离s及a的值；
（2）分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象：
（3）求两机器人出发多长时间时相距1米？
3．（2025 南沙区一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至60℃，机器温度y与时间x成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180℃后保持恒温状态；
③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是 　 　 ℃/min，开机3分钟时，温度为 　 　 ℃；
（2）当0≤x≤4时，求机器温度y与时间x的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在80℃以上持续时间．
4．（2025 花都区一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升.9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）m＝　 　 米/秒，n＝　 秒；
（2）求线段AB所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
5．（2025 连州市模拟）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
考向04:反比例函数的图象与性质
1．（2025 兴宁市一模）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
2．（2025 化州市一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 东莞市模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
4．（2025 广东一模）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 　 　 ．
5．（2025 白云区一模）如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为 　 　 ．
6．（2025 广东模拟）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是6，则k的值为 　 ．
考向05:反比例函数与一次函数的综合
1．（2025 陆丰市一模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为6，求点P的坐标．
2．（2025 广州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
3．（2025 兴宁市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
4．（2025 雷州市一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
5．（2025 黄埔区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）点N是直线AB上的一点，过点N作平行于x轴的直线MN交反比例函数的图象于点M，连接BM，3，求△BMN的面积．
6．（2025 潮阳区一模）如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数y（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
考向06:二次函数的图象
1．（2025 光明区二模）已知二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0，b≠0，c≠0），则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 香洲区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 深圳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 汕头校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
考向07:二次函数的性质
1．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
2．（2025 香洲区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．（2025 天河区一模）如图，抛物线y1与直线y2相交于点A和点B，点A，B的横坐标分别为﹣2和4，则当y1＞y2时x的取值范围为（　　）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
4．（2025 封开县一模）已知二次函数y＝x2+2x﹣1，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
5．（2025 罗湖区模拟）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C． D．
考向08:二次函数的图象与系数的关系
1．（2025 惠东县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4a﹣2b+c＜0
D．am2+bm≤4﹣c（m）为任意实数
2．（2025 电白区模拟）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2＜4ac，②abc＞0，③3a+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　）
A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
3．（2025 高州市一模）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+2b+c＞0；③abc＜0；④3a+c＜0，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025 惠州模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，且经过点（2，0），对称轴是直线，给出下列说法：①abc＜0；②x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2025 潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＜0；③；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝2；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
考向09:二次函数的实际应用问题
1．（2025 连州市模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
2．（2025 化州市一模）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动n米再射门，足球恰好经过OC区域（含点O和C），求n的取值范围．
3．（2025 江海区一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　 　 m；
（2）设自行车车棚面积为S（m2），车棚宽度AB为x（m），求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
4．（2025 坪山区模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元kg） 10 11 12
y（kg） 4000 3900 3800
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　 　 ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
5．（2025 东莞市校级一模）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
考向10:函数的综合压轴题
1．（2025 化州市一模）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a+b+3）2＝0， ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y经过C、D两点．
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）求反比例函数解析式；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
2．（2025 清城区一模）【问题背景】
矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E．
【构定联系】
（1）请连接AB，则　　 ，　 　 ，AB与EF的位置关系为　 　 ；
（2）当k为何值时，以EF为直径的圆与AB相切；
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，点P为线段CF上一动点（包含端点），连接EP，以线段EP为边，在EP所在的直线的右上方作等边△EPQ，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离．
3．（2025 东莞市模拟）如图1，矩形ABCD的两个顶点A，B分别落在x，y轴上，顶点C，D位于第一象限，对角线AC，BD交于点G，OA＝6，OB＝4，若双曲线经过点C，G．
（1）求k的值；
（2）点M，N分别在射线AB、射线DA上，满足CM⊥MN，CN⊥DM，求∠MCN的度数；
（3）如图2，若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点P是线段AC上一动点，与x轴交于点K，L，过点P作PH⊥x轴于点H，当KL2﹣PH2取得最大值时，求此时△CHG的面积．
4．（2025 番禺区一模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2+2mx﹣m﹣1（m为常数）的图象记为G，点P的坐标为（2m，m2﹣m﹣2）．
（1）当点（1，0）在图象G上时，试解答以下问题：
①求函数G的解析式；
②将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x＝1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象F，若函数y＝n与图象F至少有三个交点，求n的取值范围；
（2）当m＞0时，将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
5．（2025 广东一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OB＝OC且OB OC＝64．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值；
（3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在△MNE与△BOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025 广东模拟）已知直线l过点P（0，2），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，与x轴负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点．
（1）当A是PM中点时，求直线l的解析式；
（2）若点M的横坐标为m，（m＜0），AB中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式；
（3）以AB为直径的圆C交直线OB于D，OD OB是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由．
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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练03：函数
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
一次函数与不等式 2024年广东省卷第 10 题通过直线与坐标轴交点求不等式解集，2023年涉及函数增减性 2025 年模拟卷第 10 题可能结合“y=kx+b 的图象解不等式 中
二次函数的图象与性质 2024 年广东省卷第8题考查抛物线开口方向与对称轴，2023 年涉及顶点坐标. 2024年第8题2025 年模拟卷第8题可能结合“a、b、c符号判断”. 中
二次函数的应用 2024 年东省卷第20 题考杳二次函数的销售问题，2023 年涉及抛物线最值. 2025 年模拟卷第20 题可能结合“新能源汽车销量预测”. 中
反比例函数 2024 年东省卷第23 题第（1）问考查反比例函数的性质 2025 年模拟卷第23 题第（1）问可能会考查反比例函数的图象与性质.. 中
函数的综合压轴题 2024 年东省卷第23 题反比例函数与折叠问题，2023年涉及二次函数与几何综合问题. 2025 年模拟卷第23 题第可能会考查函数与几何的综合问题. 难
考向01:一次函数的图象与性质
1．（2025 广东一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则点（k，﹣b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，
∴k＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴点（k，﹣b）在第四象限内，
故选：D．
【点评】此题考查一次函数图象与系数的关系，判定点所在的象限，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键．
2．（2025 江海区一模）一次函数y＝2x+4的图象如图，下列说法正确的是（　　）
A．点B的坐标是（﹣4，0）
B．△AOB的面积是8
C．y随x的增大而增大
D．点（1，5）在函数图象上
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝4，
∴点B坐标为（0，4），故A错误；
令y＝0，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴点A坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S△AOBOA OB2×4＝4，故B错误；
∵一次函数y＝2x+4中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故C正确；
当x＝1时，y＝2×1+4＝6≠5，
∴点（1，5）不在函数图象上，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，一次函数的图象，熟知以上知识是解题的关键．
3．（2025 广东模拟）已知点A（﹣2，y1），B（0，y2）在一次函数y＝（k+2）x+b（k、b为常数）的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】直接根据y1＜y2即可得出y随x的增大而增大，进而可求k的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（0，y2）在一次函数的图象上，且y1＜y2，﹣2＜0，
∴y随x的增大而增大，
∴k+2＞0，
∴k＞﹣2，
故答案为：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4．（2025 罗湖区校级模拟）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且与函数y＝4x﹣3的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
【分析】设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，根据两一次函数平行，k值不变先求得k＝﹣2，再求得函数y＝4x﹣3的图象与y轴的交点，把交点的坐标代入解析式求出b值，就可以求出其解析式．
【解答】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b．
∵一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，
∴k＝﹣2，
把x＝0代入y＝4x﹣3得，y＝﹣3，
∴函数y＝4x﹣3的图象交y轴于点（0，﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝﹣2x+b，得b＝﹣3，
∴这个一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了两条直线相交和平行的问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式．
5．（2025 东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：当a＜0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意；
当a＞0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数y＝x+a是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项；
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．
考向02:一次函数与方程、不等式
1．（2025 白云区一模）如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝7
【分析】先求出点P的坐标为（4，7），由图象可以知道，当x＝4时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把y＝7代入y＝2x﹣1，得：
7＝2x﹣1，解得：x＝4，
∴点P的坐标为（4，7），
∵一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，
∴关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是x＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，数形结合是解答本题的关键．
2．（2025 阳西县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
3．（2025 蓬江区校级一模）如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式kx+b＞﹣2的解集为（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＞2
【分析】利用函数图象写出函数y＝kx+b的函数值大于﹣2所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，
所以当x＞﹣1时，kx+b＞﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（2025 东莞市校级一模）如图，已知直线y1＝x+2与y2＝﹣2x﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的不等式y1≥y2的解集是（　　）
A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
【分析】利用图象法求不等式的解集即可．
【解答】解：由图象可知：x≥﹣1时，直线y1不在直线y2的下方，
∴y1＞y2的解集为x≥﹣1；
故选：C．
【点评】本题考查图象法求不等式的解集．正确的识图，利用图象法解不等式是解题的关键．
5．（2025 电白区一模）已知一次函数y1＝kx与y2＝ax+b的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．abk＜0
B．当x＞2时，y1＞y2
C．关于x的方程kx＝ax+b的解是x＝2
D．将y2＝ax+b向下平移|b|个单位，则平移后与y1＝kx的交点为（0，1）
【分析】根据函数图象经过的象限可判定a，b，k的符号，根据两直线的交点可得对应方程的解，根据函数图象的平移可得图象经过的象限，由此即可求解．
【解答】解：A、一次函数y1＝kx经过第一、三象限，故k＞0，
一次函数y2＝ax+b图象经过点第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴abk＜0，故该选项正确，不符合题意；
B、结合图形，当x＞2时，y1＞y2，故B选项正确，不符合题意；
C、关于x的方程kx＝ax+b的解是x＝2，故C选项正确，不符合题意；
D、∵一次函数y2＝ax+b图象与y轴交于点（0，b），一次函数y1＝kx的图象过原点，
∴将y2＝ax+b向下平移|b|个单位，则平移后与y1＝kx的交点为（0，0），故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点求对应方程的解，掌握一次函数图象的性质，两直线交点的含义是关键．
考向03:一次函数的应用
1．（2025 盐田区二模）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（mmol/L）与年龄x（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度L/（mmol/L） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求L关于x的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练 50%～70%
无氧耐力训练 70%～90%
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出x＝28时L的值，再无氧耐力的训练时血乳酸浓度占最大浓度的百分比求出血乳酸浓度控制的范围．
【解答】解：（1）根据题意设L关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（15，12）和（20，11.5）代入解析式得：，
解得，
∴L关于x的函数关系式为y＝﹣0.1x+13.5；
（2）当x＝28时，L＝﹣0.1×28+13.5＝10.7，
∵10.7×70%＝7.49（mmol/L），10.7×90%＝9.63（mmol/L），
∴7.5mmol/L≤血乳酸浓度≤9.6mmol/L．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是用待定系数法求出一次函数解析式．
2．（2025 天河区一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知A，B两地相距s米，甲、乙两机器人从A地同时出发，沿同一直线同向而行至B地．甲机器人前4秒钟以a米/秒的速度行进，之后速度提升为2a米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达B点．（1）求A，B两地之间的距离s及a的值；
（2）分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象：
（3）求两机器人出发多长时间时相距1米？
【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程+后2秒的行程＝A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程＝速度×时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程＝速度×时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：（1）A，B两地之间的距离s＝2×6＝12（米），
根据题意，得4a+2a×（6﹣4）＝12，
解得a＝1.5，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）前4秒时，y＝1.5x，
当x＝4时，y＝1.5×4＝6，
则后2秒时，y＝6+2×1.5（x﹣4）＝3x﹣6，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为y，其图象如图所示：
（3）乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为y＝2x（0≤x≤6），
当0≤x≤4时，得2x﹣1.5x＝1，
解得x＝2，
当4＜x≤6时，得2x﹣（3x﹣6）＝1，
解得x＝5，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
3．（2025 南沙区一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至60℃，机器温度y与时间x成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180℃后保持恒温状态；
③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是 　 　 ℃/min，开机3分钟时，温度为 　 　 ℃；
（2）当0≤x≤4时，求机器温度y与时间x的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在80℃以上持续时间．
【分析】（1）根据“开机1分钟空烧预热至60℃”列式计算预热阶段机器温度上升的平均速度，求出操作阶段机器温度上升的平均速度，从而求出开机3分钟时的温度即可；
（2）根据预热阶段机器温度上升的平均速度写出OA段的函数关系式，根据操作阶段机器温度上升的平均速度写AB段函数关系式，再根据x的取值范围写成分段函数的形式；
（3）求出当0≤x≤4时y＝80对应的x的值，利用待定系数法求出断电阶段机器温度y与时间x的函数关系式并求出y＝80对应的x的值，两个x的差值即为所求．
【解答】解：（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是60÷1＝60（℃/min），
操作阶段机器温度上升的平均速度是（180﹣60）÷3＝40（℃/min），
则开机3分钟时，温度为60+40×（3﹣1）＝140（℃）．
故答案为：60，140；
（2）当0≤x≤1时，y＝60x，
当1＜x≤4时，y＝60+40（x﹣1）＝40x+20，
∴当0≤x≤4时，机器温度y与时间x的函数关系式为y．
（3）当0≤x≤4时，当y＝80时，得40x+20＝80，解得x＝1.5，
设断电阶段机器温度y与时间x的函数关系式为y（k为常数，且k≠0），
将C（6，180）代入y，
得180，
解得k＝1080，
∴断电阶段机器温度y与时间x的函数关系式为y（x≥6），
当y＝80时，得80，
解得x＝13.5，
13.5﹣1.5＝12（分钟）．
答：三明治机工作温度在80℃以上持续12分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数和反比例关系式的方法是解题的关键．
4．（2025 花都区一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升.9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）m＝　 　 米/秒，n＝　 秒；
（2）求线段AB所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）根据图形计算即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段CD、线段AD所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．
【解答】解：（1）由题意得气球甲的速度为m＝100÷25＝4（米/秒），
n＝40﹣25＝15（秒）．
故答案为：4，15；
（2）由图象知，B（25，100），
∵气球乙的速度为（55﹣10）÷9＝5（米/秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（100﹣55）÷5＝9（秒），
∴25﹣9＝16（秒），
∴A（16，55），
设线段AB所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
将A（16，55），B（25，100）代入得：，
解得，
∴线段AB所在直线的函数解析式为y＝5x﹣25；
（3）如图所示：
由题意得，线段CD所在直线的函数解析式为y＝5x+10，
线段AD所在直线的函数解析式为y＝55，
∵B（25，100），
∴线段OB所在直线的函数解析式为y＝4x，
当0≤x≤9时，由题意得5x+10﹣4x＝16，
解得x＝6；
当9＜x≤16时，由题意得|4x﹣55|＝16，
解得x或x（舍去），
当16＜x≤25时，由题意得4x﹣（5x﹣25）＝16，
解得x＝9（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
【点评】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
5．（2025 连州市模拟）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【分析】（1）描出各点，并连线，即可画出函数图象；用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出当y＝20时对应x的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）描出各点，并连接，如图所示：
（2）由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵点（1，6），（2，10）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y与x的函数表达式为y＝4x+2；
（3）当y＝20时，即4x+2＝20，
解得：x＝4.5，
∴8+4.5＝12.5，
所以圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
考向04:反比例函数的图象与性质
1．（2025 兴宁市一模）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
【分析】根据反比例函数性质即可判断．
【解答】解：∵k＝5＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
∵点B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函数的图象上，1＜5，
∴x2＞x3＞0．
∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴x1＜0，
∴x1＜x3＜x2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，正确进行计算是解题关键．
2．（2025 化州市一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
3．（2025 东莞市模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b的解集，此题得解．
【解答】解：∵两函数图象相交于A、B两点，
∴当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2的图象的下方，
∴不等的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
4．（2025 广东一模）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 　 　 ．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于一、三象限，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y，当k＞0时，图象位于第一、三象限内是解题的关键．
5．（2025 白云区一模）如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为 　 　 ．
【分析】根据反比例函数k值几何意义解答即可．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴，垂足为D，
∵S菱形ABCO＝8，
∴S△ABO＝4，
∵AB＝AO，AD⊥BO，
∴S△AOD＝2，
∴|k|＝2S△AOD＝4，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025 广东模拟）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是6，则k的值为 　 ．
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay＝k，
∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abkk （b）＝6，
∴4k﹣k6，
解得：k，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
考向05:反比例函数与一次函数的综合
1．（2025 陆丰市一模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）先把点A（1，a）代入y＝﹣x+3中求出a得到A（1，2）然后把A点坐标代入y（k≠0）中求出k得到反比例函数的表达式；
（2）求得C的坐标，设P（m，0），则PC＝|m﹣3|，根据三角形面积公式求得m的值，进而即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y（k≠0），
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y；
（2）在直线y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
设P（m，0），
∴PC＝|m﹣3|，
∵△APC的面积为6，
∴|m﹣3|×2＝6，
∴|m﹣3|＝6，
∴m＝﹣3或m＝9，
∴P（﹣3，0）或（9，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标．
2．（2025 广州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将A点坐标代入两个函数解析式求出m，k值即可；
（2）求得交点坐标，找出正比例函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）．
∴4＝2m，4，
∴m＝2，k＝8，
∴正比例函数解析式为：y＝2x；反比例函数解析式为：y；
（2）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4），
∴另一个交点为（﹣2，﹣4），如图，
由图象可知，当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的中心对称性，数形结合是解题的关键．
3．（2025 兴宁市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
4．（2025 雷州市一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y得：a＝3×4＝12，
∴y．
OA5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
5．（2025 黄埔区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）点N是直线AB上的一点，过点N作平行于x轴的直线MN交反比例函数的图象于点M，连接BM，3，求△BMN的面积．
【分析】（1）先将A（1，m）代入直线y＝2x+6，求出m的值，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入y（x＞0），利用待定系数法即可解决问题；
（2）设M（，n），N（，n），得到MN，求得S△AMNS△BMN，列方程得到n＝6，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（m，8），
∴8＝2m+6，
∴m＝1，
∴A（1，8），
把A（1，8）代入y得，8，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）如图，∵MN∥x轴，
∴M（，n），N（，n），
∴MN，
∵3，
∴S△AMNS△BMN，
∴8﹣nn，
解得，n＝6，
∴S△BMNMN yn（）×66＝4，
如图，∵3，
∴2，
∵MN∥x轴，
∴M（，n），N（，n），
∴MN，
∴S△AMN＝S△BMN，
∴n﹣8n，
解得，n＝12，
∴S△BMNMN yn（）×126＝14，
综上所述，△BMN的面积为4或14．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2025 潮阳区一模）如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数y（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
【分析】（1）根据正方形的性质得出CD＝4，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据勾股定理求得MG，即可求得OG，通过证得△EGM∽△GFN，求得GN，从而求得F的坐标．
【解答】解：（1）设DC与y轴的交于点M，
∵C（1，4），
∴BC＝4，MC＝1，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD＝BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴CECD＝2，
∴EM＝EC﹣MC＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数为y；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，
由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，
在Rt△GME中，∠GME＝90°，
∴MG．
∴OG＝OM﹣MG＝4，
∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，
∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠EGM＝∠GFN，
∴△EGM∽△GFN，
∴，
∴，
∴GN，
∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝44﹣2，
∴F（﹣3，4﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，（1）求得E的坐标，（2）求得MG和GN的长是解题的关键．
考向06:二次函数的图象
1．（2025 光明区二模）已知二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0，b≠0，c≠0），则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系进行判断后排除不符合条件的选项即可解决问题．
【解答】解：由a＞0，故可排除选项A、B；
由D中抛物线的顶点在y轴上，则b＝0，故可排除选项D；
由C中抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧ab＜0，与y轴的交点在正半轴，则c＞0，
故选项C符合题意，该函数的图象可能是C．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握它们之间的关系是解决问题的关键．
2．（2025 香洲区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分当k＞0，b＞0时，当k＞0，b＜0时，当k＜0，b＞0时，当k＜0，b＜0时，四种情况讨论即可．
【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象，
①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意；
④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k和b进行分类讨论．
3．（2025 深圳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+k（a≠0）的顶点坐标为（0，k）（k＞0），即它的顶点坐标在y轴正半轴上，即可判断得解．
【解答】解：∵y＝ax2+k（a≠0，k＞0），
∴二次函数的顶点坐标为（0，k），且其顶点坐标在y轴正半轴上，
∴只有A选项中的图象符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．
4．（2025 汕头校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a＜0，可知该函数图象开口向下，再根据左同右异，可知对称轴在y轴右侧，根据c＜0，可知图象与y轴交于负半轴，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＜0，c＞0，
∴该函数图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，与y轴交于正半轴，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（2025 广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
考向07:二次函数的性质
1．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
2．（2025 香洲区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
3．（2025 天河区一模）如图，抛物线y1与直线y2相交于点A和点B，点A，B的横坐标分别为﹣2和4，则当y1＞y2时x的取值范围为（　　）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【分析】观察函数图象即可求解．
【解答】解：抛物线y1与直线y2相交于点A和点B，点A，B的横坐标分别为﹣2和4，
观察函数图象知，当y1＞y2时x的取值范围为﹣2＜x＜4，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数函数图象上点的坐标特征，解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
4．（2025 封开县一模）已知二次函数y＝x2+2x﹣1，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】求出对称轴，根据二次函数的增减性判断即可．
【解答】解：二次函数y＝x2+2x﹣1的对称轴为：，
∵函数图象开口向上，
∴x≤﹣1时，y随x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．
5．（2025 罗湖区模拟）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C． D．
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m）2，
∴当m时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
考向08:二次函数的图象与系数的关系
1．（2025 惠东县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4a﹣2b+c＜0
D．am2+bm≤4﹣c（m）为任意实数
【分析】由图象可知a＜0，b＜0，c＞0，从而可判断A；
由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣3，0），（1，0）可得对称轴为直线x＝﹣1，可判断B；
观察图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，从而可判断C；
当m为任意实数时，am2+bm+c≤4，从而可判断D．
【解答】解：由图象可知a＜0，b＜0，c＞0，
故abc＞0，A错误；
抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣3，0），（1，0），
故对称轴为直线x，即b＝2a，B错误；
观察图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，C错误；
当m为任意实数时，am2+bm+c≤4，从而m2+bm≤4﹣c，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握各项系数与图象的关系是解题关键．
2．（2025 电白区模拟）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b2＜4ac，②abc＞0，③3a+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　）
A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以分别判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①错误，不符合题意；
a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，故②正确，符合题意；
对称轴为直线x1，即b＝﹣2a，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＞0，故③正确，符合题意；
x＝2和x＝0时对应的函数值相等，则y＝4a+2b+c＝c＜0，故④错误，不符合题意；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2025 高州市一模）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+2b+c＞0；③abc＜0；④3a+c＜0，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可以对①进行判断；利用x＝2时，y＞0可以对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＜0，然后利用对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点可得到b、c的符号，可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，加上x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可以对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故③正确；
∵b＝﹣2a，
当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴的左边，当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴的右边；常数项c决定抛物线与y轴的交点；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ＞0抛物线与x轴有2个交点，Δ＝0，抛物线与x轴有1个交点，Δ＜0，抛物线与x轴没有交点．
4．（2025 惠州模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，且经过点（2，0），对称轴是直线，给出下列说法：①abc＜0；②x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③求得点关于直线的对称点的坐标，根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线，
∴，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根，故②正确；
③∵点关于直线的对称点的坐标是，y1），
又∵当时，y随x的增大而减小，，
∴y1＞y2，故③正确；
综上所述，正确的结论是①②③共3个．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是关键．
5．（2025 潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＜0；③；
④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝2；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由图象函数与x轴有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＞0；由图象得a＜0，c＞0，由对称轴得b＝﹣2a＞0，2a+b＝0，bc＞0，则abc＜0；抛物线与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间，由对称性知另一个交点在（﹣1，0），（0，0）之间，得 y＝a﹣b+c＜0，于是；结合x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，得出，即x1+x2＝2．
【解答】解：由条件可知Δ＝b2﹣4ac＞0；
故①错误的；
由图象函数的开口向下，得a＜0，与y轴交于正半轴，c＞0，
对称轴为直线x＝1，b＝﹣2a＞0，
则bc＞0，
∴abc＜0，
故②正确；
抛物线与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间，对称轴为x＝1，故知另一个交点在（﹣1，0），（0，0）之间，故x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，得，
故③正确；
由，a＜0，c＞0知，
∵x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，
∴得出，
即x1+x2＝2．
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
考向09:二次函数的实际应用问题
1．（2025 连州市模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据“用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个”，求解即可；
（2）根据利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得
50，
解得x＝2，
经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意，
∴2x＝2×2＝4，
答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元；
（2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得，
y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当t＝10时，y的最大值是720，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用和分式方程的应用，解题的关键：（1）准确找出等量关系；（2）利用了利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式．
2．（2025 化州市一模）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动n米再射门，足球恰好经过OC区域（含点O和C），求n的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当x＝0时，y4+32.44，即可求解；
（3）移动后的抛物线为y（x﹣2﹣n）2+3，把点（0，2.25）代入上式求出n，同理把（0，0）代入函数表达式求出n，进而求解．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a，
∴抛物线的函数表达式为y（x﹣2）2+3；
（2）当x＝0时，
y4+32.44，
∴球不能射进球门；
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y（x﹣2﹣n）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25（0﹣2﹣n）2+3，
解得 n＝﹣5（舍去）或n＝1，
把点（0，0）代入得：0（0﹣2﹣n）2+3，
解得：n＝﹣8（舍去）或n＝4，
即1≤n≤4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
3．（2025 江海区一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　 　 m；
（2）设自行车车棚面积为S（m2），车棚宽度AB为x（m），求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
【分析】（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个1m的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边BC的长；
（2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为S（m2）关于车棚宽度AB为x（m）的一次函数，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可．
【解答】解：（1）∵搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度AB为xm，左右两侧各开一个1m的出口，
不锈钢栅栏总长70m，不锈钢栅栏状如“山”字形，
∴BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝72﹣3x（m），
故答案为：（72﹣3x）；
（2）由（1）可得，车棚面积为：S＝x（72﹣3x）＝﹣3x2+72x，
由题意得到，
解得4≤x≤8，
∴S＝﹣3x2+72x（4≤x≤8）；
（3）不能，理由如下：
由（1）可得，
x（72﹣3x）≥405，
即x（72﹣3x）≥405，
整理得到，x2﹣24x+135≤0，
∴（x﹣15）（x﹣9）≤0，
即或，
解得9≤x＜15，
当x＝9时，BC＝72﹣3x＝45，
∴机动车停车位EF向外移动1m；
答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位EF向外移动1m．
【点评】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键．
4．（2025 坪山区模拟）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元kg） 10 11 12
y（kg） 4000 3900 3800
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　 　 ；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝10，y＝4000和x＝11，y＝3900代入得：，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
故答案为：y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）＝﹣100x2+5600x﹣30000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∵6≤x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值为48400元，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，
有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
解得：x1＝20或x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w＞42000，
又∵6≤x≤32，
∴当20≤x≤32时，日获利w不低于42000元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．（2025 东莞市校级一模）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
【分析】（1）依据题意得二次函数的顶点坐标为（2，3），设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，再结合经过原点，求出a即可得解；
（2）依据题意，由（1）知二次函数的解析式为y（x﹣2）2+3，从而可得当x＝3.5时，而可以判断得解；
（3）先求出A（3.5，0），B的坐标为（6，﹣5），再设AB的解析式为y1＝kx+b（k≠0），建立方程组可得k，b，进而可得直线AB，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为（2，3），
设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0），二次函数经过原点，
∴4a+3＝0，
解得a，
∴该二次函数的解析式为y（x﹣2）2+3；
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当x＝3.5时，
∵1.3125＞1.2，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（其中i＝tan∠ABE），
∴AE：BE＝1：0.5，
即BE＝2.5，
则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣5），
又∵点A的坐标为（3.5，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的表达式为：y1＝﹣2x+7（3.5≤x≤6），
∴﹣2x+7（x﹣2）2+3，
解得x1＝2（不合题意，舍去），x2，
当x，时，y，
即河水离地平面AD距离为米时，水柱刚好落在水面上；
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
考向10:函数的综合压轴题
1．（2025 化州市一模）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a+b+3）2＝0， ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y经过C、D两点．
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）求反比例函数解析式；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，则xD＝1，设D（1，t），由DC∥AB，则C（2，t﹣2），即可求解；
（3）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MNHT由此即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
故答案为：﹣1，﹣2；
（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4，
故函数的表达式为：y；
（3）结论：的值不变，理由：
如图，连NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，
而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
∴∠ATN+∠AHN＝180°，
∵四边形ATNH内角和为360°，
∴∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MNHT，
∴．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2025 清城区一模）【问题背景】
矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E．
【构定联系】
（1）请连接AB，则　 　 ，　 　 ，AB与EF的位置关系为　 　 ；
（2）当k为何值时，以EF为直径的圆与AB相切；
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，点P为线段CF上一动点（包含端点），连接EP，以线段EP为边，在EP所在的直线的右上方作等边△EPQ，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离．
【分析】（1）连接AB，由题意设点F（8，a），得出E（2a，4），进一步得出CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，并根据三角函数定义得出tan∠EFC＝tan∠ABC，进一步分析即可得出答案；
（2）由题意分别过EF的中点，即圆心D，以及点E作DG⊥AB，EH⊥AB，分别交AB于点H，G，在Rt△ABC中，由勾股定理得，并根据，列出，从而得出答案；
（3）由题意将△ECF绕点E逆时针旋转60°得到ΔEC'F'，C'F'所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，点E到点Q运动路径的最短距离为EC的长度，随后进行分析求解即可．
【解答】解：（1）连接AB，由题意设点F（8，a），
∵点F在反比例函数上，
∴k＝8a，
∵四边形AOBC是矩形，
∴E（2a，4），
∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，
在Rt△ACB中，，
在Rt△ECF中，，
∴tan∠EFC＝tan∠ABC，
∴∠EFC＝∠ABC，
∴AB∥EF．
故答案为：2，2，AB∥EF；
（2）如图，当以EF为直径的圆与AB相切，分别过EF的中点，即圆心D，以及点E作DG⊥AB，EH⊥AB，分别交AB于点H，G，
由切线性质可得以EF为直径的圆与AB相切时，，
由（1）设点F（8，a），E（2a，4），CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∵∠EFC＝∠ABC，
∴，
∴，DG（4﹣a），
∵DG⊥AB，EH⊥AB，AB∥EF，
∴EH＝DG（4﹣a），
∵∠EAH+∠HEA＝∠EAH+∠ABC＝90°，
∴∠HEA＝∠ABC，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）由题意将△ECF绕点E逆时针旋转60°得到△EC′F′，如图，
可知动点P从点F运动到点C时，点Q从点F'运动到点C′，
即C'F'所在直线为点Q的运动路径，
由点到直线的垂线段最短可得，点E到点Q运动路径的最短距离为EC′的长度，
由（2）知，
即点E到点Q运动路径的最短距离为．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及到圆的切线性质以及锐角三角函数的应用以及勾股定理和全等三角形的旋转应用．考查学生对相关知识的综合应用能力，特别是最后一问，学生还需要掌握主从联动点的相关解题思路，整体难度较大．
3．（2025 东莞市模拟）如图1，矩形ABCD的两个顶点A，B分别落在x，y轴上，顶点C，D位于第一象限，对角线AC，BD交于点G，OA＝6，OB＝4，若双曲线经过点C，G．
（1）求k的值；
（2）点M，N分别在射线AB、射线DA上，满足CM⊥MN，CN⊥DM，求∠MCN的度数；
（3）如图2，若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点P是线段AC上一动点，与x轴交于点K，L，过点P作PH⊥x轴于点H，当KL2﹣PH2取得最大值时，求此时△CHG的面积．
【分析】（1）作CE⊥y轴于点E，利用矩形的性质推出△BCE∽△ABO，得到，设CE＝2a，则C（2a，3a+4），表示出，再代入C、G到双曲线解出a的值，即可得出k的值；
（2）根据垂直的定义和矩形的性质得到∠CMN＝∠CDN＝90°，得出C，D，N，M四点共圆，记圆心为Q，且CN为圆Q的直径，利用垂径定理得出CN垂直平分DM，则有△CMN≌△CDN，得到，再通过证明△ADM∽△DCN得到，在Rt△AMN中利用正弦的定义得出，求出∠MNA的度数，再利用圆内接四边形的性质即可求解；
（3）根据二次函数的性质得到顶点，，结合PH⊥x轴得到，则有，可知当时，KL2﹣PH2取得最大值，再利用三角形的面积公式即可求出此时△CHG的面积．
【解答】（1）解：如图1，作CE⊥y轴于点E，
由题意可得：A（6，0），B（0，4），∠ABC＝90°，AG＝CG，
∴∠CBE+∠ABO＝90°，
∵CE⊥y轴，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABO，
又∵∠CEB＝∠BOA＝90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴，即，
∴，
设CE＝2a，则BE＝3a，
∴C（2a，3a+4），
又∵AG＝CG，A（6，0），
∴，
∴，
解得：a1＝1，（舍去），
∴C（2，7），，
代入C（2，7）到得，k＝2×7＝14，
∴k的值为14．
（2）解：由（1）得，A（6，0），B（0，4），C（2，7），
∴，，
∵矩形ABCD，
∴∠DAB＝∠CDA＝90°，，，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠CMN＝∠CDN＝90°，
∴C，D，N，M四点共圆，记圆心为Q，且CN为圆Q的直径，
又∵CN⊥DM，
∴CN平分DM，
∴CN垂直平分DM，
∴CM＝CD，MN＝DN，
又∵∠CMN＝∠CDN＝90°，
∴△CMN≌△CDN（SAS），
∴，
∵∠CDM+∠ADM＝90°，∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠ADM＝∠DCN，
又∵∠CDN＝∠DAM＝90°，
∴△ADM∽△DCN，
∴，
∵在Rt△AMN中，，
∴∠MNA＝30°，
∵C，D，N，M四点共圆，
∴∠MCD＝180°﹣∠MNA＝180°﹣30°＝150°，
∴，
∴∠MCN的度数为75°．
（3）解：A（6，0），C（2，7），，
∵抛物线，
∴顶点，
∵顶点P是线段AC上一动点，
∴，
∵PH⊥x轴，
∴，
令y＝0，则，
则，，
由题意可得：，
∴
，
当时，KL2﹣PH2有最大值4，此时PH＝2，
∴此时S△CHG＝S△CPH﹣S△GPH
＝2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、解直角三角形、求抛物线与x轴的交点、熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生．
4．（2025 番禺区一模）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2+2mx﹣m﹣1（m为常数）的图象记为G，点P的坐标为（2m，m2﹣m﹣2）．
（1）当点（1，0）在图象G上时，试解答以下问题：
①求函数G的解析式；
②将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x＝1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象F，若函数y＝n与图象F至少有三个交点，求n的取值范围；
（2）当m＞0时，将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
【分析】（1）①将（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m﹣1，利用待定系数法即可求解；
②y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1当y＝0时，﹣（x﹣2）2+1＝0解得x＝1或x＝2，作出图象F，如图，由轴对称可知，图象最高点的函数值为1，此时x＝0或2，可知直线y＝1与图象F有两个交点，直线y＝0与图象F有三个交点，由此可得答案；
（2）由题意可得N（2m，m2﹣m﹣1），M（2m﹣2，m2﹣m﹣1），Q（2m﹣2，m^{2}﹣m﹣2），图象G的顶点坐标T（m，m2﹣m﹣1）在直线MN上，分情况：当T在线段MN上时，当T在M重合时，当T在点M左侧，且点Q在图象G下方时，当T在点M左侧，且点Q在图象G上及下方时，结合图形即可求得答案．
【解答】解：（1）①将（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m﹣1，得﹣12+2m﹣m﹣1＝0，
解得m＝2，
∴函数G的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
②y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+1＝0，
解得x＝1或x＝3，
将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x＝1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象F，如图，
由轴对称可知，图象最高点的函数值为1，
此时x＝0或2，
∴直线y＝1与图象F有两个交点，直线y＝0与图象F有三个交点；
∵函数y＝n与图象F至少有三个交点，
∴0≤n＜1；
（2）∵点P的坐标为（2m，m2﹣m﹣2），
将点P向左平移2个单位长度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上方作矩形PQMN，使PN＝1，m＞0，
∴N（2m，m2﹣m﹣1），M（2m﹣2，m2﹣m﹣1），Q（2m﹣2，m2﹣m﹣2），
∵y＝﹣x2+2mx﹣m﹣1＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m﹣1，
∴则图象G的顶点坐标T（m，m2﹣m﹣1）在直线AN上，
当T在线段MN上时，2m﹣2＜m＜2m，即0＜m＜2，此时，图象G与矩形PQMN有三个公共点，不符合题意；
当T在M重合时，2m﹣2＝m，即m＝2，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符合题意；
当T在点M左侧，且点Q在图象G下方时，，
即2＜m＜3，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符合题意；
当T在点M左侧，且点Q在图象G上及下方时，﹣（2m﹣2﹣m）2+m2﹣m﹣1≤m2﹣m﹣2，
即m≥3，此时，图象G与矩形PQMN最多只有一个公共点，不符合题意；
综上，图象G与矩形PQMN有两个公共点，m的取值范围为2≤m＜3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，特别是考查了含参数的二次函数的最值，以及含参数的二次函数图象与几何图形的交点个数问题，利用二次函数图象解不等式问题，掌握数型结合是解题的核心关键．
5．（2025 广东一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OB＝OC且OB OC＝64．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值；
（3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在△MNE与△BOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点P作PQ∥AB交BC于点Q．证明△PDQ∽△ADB，得出．设点C到直线PA的距离为h，则．再用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+8．设，则．所以．然后求得AB＝10，代入得出，最后利用二次函数的最值求解即可；
（3）分三种情况：①当∠NEM＝90°时，即ME∥AB；②当∠ENM＝90°时，即MN∥AB；③当∠NME＝90°时，过点M作MM1⊥EF于M1，则MM1∥AB分别 求解即可．
【解答】解：（1）∵OB＝OC且OB OC＝64，
∴OB＝OC＝8．
∴B（8，0），C（0，8）．
将B（8，0），C（0，8）代入抛物线解析式得：
，解得．
∴该抛物线的函数解析式为．
（2）如图4，过点P作PQ∥AB交BC于点Q．
∵PQ∥AB，
∴△PDQ∽△ADB．
∴．
设点C到直线PA的距离为h，
∴．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，由条件可得：
，解得．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
设，则．
∴．
令，解得x1＝﹣2，x2＝8．
∴A（﹣2，0）．
∴AB＝10，
∴．
∴当a＝4时，有最大值，最大值为．
（3）由条件可知抛物线的对称轴为x＝3，
把x＝3代入y＝﹣x+8，得y＝5，
∴E（3，5）．
∵△MNE与△BOC相似，△BOC为等腰直角三角形，
∴△MNE为等腰直角三角形．
设，
①如图5，当∠NEM＝90°时，ME∥AB，
令，解得，（舍去）．
∴；
②如图6，当∠ENM＝90°时，MN∥AB，
∴，MN＝NE．
∴，解得m3＝﹣2（舍去），m4＝6．
∴M（6，8）；
③如图7，当∠NME＝90°时，过点M作MM1⊥EF于M1，
∴MM1∥AB，
由条件可知MM1＝M1E，
由②可得M（6，8）．
综上所述，或M（6，8）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，二次函数的最值，三角形相似的判定性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握构造二次函数求最值、三角形相似的判定性质是解题的关键．
6．（2025 广东模拟）已知直线l过点P（0，2），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，与x轴负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点．
（1）当A是PM中点时，求直线l的解析式；
（2）若点M的横坐标为m，（m＜0），AB中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式；
（3）以AB为直径的圆C交直线OB于D，OD OB是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）根据P（0，2），设直线l的解析式为y＝kx+2，则，根据点A是PM中点，得到，结合点A在抛物线y＝x2，且点A在第二象限解答即可；
（2）根据P（0，2），设直线l的解析式为y＝kx+2，结合M（m，0），得到km+2＝0，于是，得到直线的解析式为，设A（x1，y1）B（x2，y2），根据题意，得x1，x2是方程x2x+2的两个根，利用中点坐标公式解答即可；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）根据题意，得x1，x2是方程x2x+2的两个根，则x1+x2，x1 x2＝﹣2，y1+y2，y1 y2 4．设C（x0，y0），过点O作圆的切线OQ，切点为Q，连接OC，CQ，DQ，AQ，BQ，延长OQ到点N，利用中点坐标公式，根与系数关系定理，勾股定理，切线性质定理，三角形相似的判定和性质，解答即可．
【解答】解：（1）∵P（0，2），设直线l的解析式为y＝kx+2，
则M（，0），
∵点A是PM的中点，
∴A（，1），
∵点A在抛物线y＝x2上且点A在第二象限，
∴k2＝1，
解得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故直线l的解析式为y＝x+2；
（2）∵P（0，2），设直线l的解析式为y＝kx+2，
∵M（m，0），得到km+2＝0，
解得k，
故直线l的解析式为y，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据题意，得x1，x2是方程x2x+2的两个根，
∴，
∴，
∵AB中点C的纵坐标为y，
∴；
（3）∵P（0，2），设直线l的解析式为y＝kx+2，
∵M（m，0），得到km+2＝0，
解得，
故直线的解析式为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据题意，得x1，x2是方程的两个根，
∴，x1 x2＝﹣2，
∴，，
设C（x0，y0），
∵AB为直径的圆C交直线OB于D，A（x1，y1），B（x2，y2），
∴∠ADB＝90°，，，
∴，
∴，
∴圆C的半径为，
过点O作圆的切线OQ，切点为Q，连接OC，CQ，DQ，AQ，BQ，延长OQ到点N，
则OQ⊥CQ，，，，
∴，
∵OQ是圆的切线，
∴∠CQN＝90°，
∴∠BQN＝90°﹣∠CQB，
∵CQ＝CB，
∴∠CBQ＝∠CQB，
∴∠BQN＝90°﹣∠CBQ，
∵AB为直径，
∴∠AQB＝90°，
∴∠BAQ＝90°﹣∠CBQ，
∴∠BAQ＝∠BQN，
∵∠BAQ＝∠BDQ，
∴∠BDQ＝∠BQN，
∴180°﹣∠BDQ＝180°﹣∠BQN，
∴∠ODQ＝∠OQB，
∵∠DOQ＝∠QOB，
∴△ODQ∽△OQB，
∴，
∴OQ2＝OD OB，
∵OD OB＝2，
故OD OB是定值，且为2．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式的变形应用，切线的性质定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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