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北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2019八上·柯桥月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
3．（2025八上·鄞州期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·嵊州期末）如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本特殊三角形单元复习课(1)） 如图，AB∥CD，E为直线AB上方一点，连结BD，DE，BE.若DE⊥CD，BE=DE，∠BDC=25°，则∠ABE的度数是(　　)
A．125° B．130° C．135° D．140°
8．（2023八上·建始期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·台州期末）若等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为　 　．
10．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是　 　．
11．（2024·武威）围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　 　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写中的一处即可，位于棋盘的格点上)
12．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则　 　．
13．（2025八下·余姚开学考）如图，在中，，，，垂直平分分别交边、于点、．点为线段上一动点，为边的中点，则周长的最小值是　 　．
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14． 如图，∠DAC=2∠C，AE平分∠DAC。判断AE与BC是否平行，并说明理由。
15．（2025八下·青秀开学考）如图，．
（1）作线段边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求的度数．
16．（2024八上·湖北期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，当时，，，求的长．
17．（2024八上·永吉期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在小正方形的顶点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为．
（1）画出与关于轴对称的．
（2）通过画图在轴上确定一点，使得的值最小，画出与，并直接写出点的坐标．
18．（2024七上·兰州期末）【问题背景】
已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分．
【问题再现】
（1）如图1，射线、均在直线上方．若，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，射线、均在直线下方．求的度数．
19．（2024七下·东平期末）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．
20．（2024八上·余杭月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝30°，则∠EDC＝ 　 　°；
②如图2，、如果∠BAD＝40°，则∠EDC＝ 　 　°．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形，
选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”解题即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
6．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： AB∥CD， ∠BDC=25°
DE⊥CD
BE=DE
故答案为：D
【分析】根据 AB∥CD， ∠BDC=25°可得，根据垂直的定义可得，则，根据等腰三角形的性质可得，则。
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹可得BH垂直平分线段AD，可判断A选项，S△ABC= BC AH，可判断C选项， 由题意不能B、D不一定正确，即可得解.
9．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：180°-70°-70°=110°-70°
=40°．
故答案为：40°．
【分析】因为三角形的内角和为180度，所以顶角的度数为180度减去两个底角的度数.
10．【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为；
故答案为：
【分析】根据轴对称图形性质即可求出答案.
11．【答案】A(答案不唯一，合理即可)
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，放在A或C处可以使所得的对弈图是轴对称图形.
故答案为：A(答案不唯一，合理即可).
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；三角形的高
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【分析】首先由三角形的内角和定理算出∠BAC=100°，然后由角平分线的定义算出∠BAF=50°，根据三角形高的定义及三角形的内角和定理算出∠BAD=40°，最后由角的和差，根据∠DAF=∠BAF-∠BAD列式计算即可.
13．【答案】7
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点P'，连接CP'，如图，
△P'CD周长即为最小值，
∵ EF垂直平分AC，
∴ AP'=CP'，
∴ △P'CD的周长=AD+CD，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，CD=2，
∵ ，
∴，即AD=5，
∴ △P'CD的周长=AD+CD=5+2=7.
故答案为：7.
【分析】根据轴对称的最短距离可知△P'CD周长即为最小值，根据等腰三角形的三线合一可得AD为高，再根据三角形的面积公式求得AD，即可求得.
14．【答案】解：∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到：，进而结合题意得到：，最后根据内错角相等，两直线平行，即可求解．
15．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，再过弧的两个交点作直线MN，交AC于点D，连接BD即可；
（）由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得DA=DB，由等边对等角得∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，最后利用角的和差关系，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可求解.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
16．【答案】（1）证明：，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；内错角的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等．
（1）根据 证明和全等即可；
（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．
（1）证明：，
，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，
如图，即为所求；
（2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时的值最小，点的坐标为．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先作点、、关于轴的对称点、、，再求解即可；
（2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再根据轴对称的性质可得：，最后根据两点之间线段最短求解即可。
（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到，
即为所求；
（2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时的值最小，点的坐标为．
18．【答案】解：（1）因为，
所以．
因为射线平分，
所以，
所以；
（2）．理由如下：
因为平分，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以；
（3）因为平分，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由，求得的度数，再由射线平分，得到的度数，结合，进行计算，即可得到答案；
（2）由平分，得到，得到，结合，即可得到与之间的数量关系， 得到答案；
（3）由平分，得到，再由，进行计算，即可得到答案.
19．【答案】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1=∠2=∠DCE，再结合等腰直角三角的性质和等量代换可得∠1=∠3，从而可证出AB//CF；
（2）利用三角形的内角和求出∠DFC的度数即可.
20．【答案】（1）15；20
（2）
（3）解：仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵，
∴
∴；
②∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵AD=AE，
∴
∴；
【分析】（1） ① 根据等腰三角形三线合一，可知∠DAE=30°，再根据AD=AE，可求∠ADE的度数，从而可知答案； ② 同理易知答案；
（2）通过（1）题的结论可知，
（3）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知容易证得∠BAD=2∠EDC.
1 / 1北师大版（2024）数学七下第五章 图形的轴对称 单元测试A卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2019八上·柯桥月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断。
2．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
3．（2025八上·鄞州期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
4．（2025八上·嵊州期末）如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形，
选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”解题即可．
5．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
6．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
7．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本特殊三角形单元复习课(1)） 如图，AB∥CD，E为直线AB上方一点，连结BD，DE，BE.若DE⊥CD，BE=DE，∠BDC=25°，则∠ABE的度数是(　　)
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】D
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： AB∥CD， ∠BDC=25°
DE⊥CD
BE=DE
故答案为：D
【分析】根据 AB∥CD， ∠BDC=25°可得，根据垂直的定义可得，则，根据等腰三角形的性质可得，则。
8．（2023八上·建始期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹可得BH垂直平分线段AD，可判断A选项，S△ABC= BC AH，可判断C选项， 由题意不能B、D不一定正确，即可得解.
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·台州期末）若等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：180°-70°-70°=110°-70°
=40°．
故答案为：40°．
【分析】因为三角形的内角和为180度，所以顶角的度数为180度减去两个底角的度数.
10．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为；
故答案为：
【分析】根据轴对称图形性质即可求出答案.
11．（2024·武威）围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　 　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写中的一处即可，位于棋盘的格点上)
【答案】A(答案不唯一，合理即可)
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，放在A或C处可以使所得的对弈图是轴对称图形.
故答案为：A(答案不唯一，合理即可).
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此解答即可.
12．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；三角形的高
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【分析】首先由三角形的内角和定理算出∠BAC=100°，然后由角平分线的定义算出∠BAF=50°，根据三角形高的定义及三角形的内角和定理算出∠BAD=40°，最后由角的和差，根据∠DAF=∠BAF-∠BAD列式计算即可.
13．（2025八下·余姚开学考）如图，在中，，，，垂直平分分别交边、于点、．点为线段上一动点，为边的中点，则周长的最小值是　 　．
【答案】7
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点P'，连接CP'，如图，
△P'CD周长即为最小值，
∵ EF垂直平分AC，
∴ AP'=CP'，
∴ △P'CD的周长=AD+CD，
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，CD=2，
∵ ，
∴，即AD=5，
∴ △P'CD的周长=AD+CD=5+2=7.
故答案为：7.
【分析】根据轴对称的最短距离可知△P'CD周长即为最小值，根据等腰三角形的三线合一可得AD为高，再根据三角形的面积公式求得AD，即可求得.
三、解答题（本题共7小题，第14题7分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题12分，共61分）
14． 如图，∠DAC=2∠C，AE平分∠DAC。判断AE与BC是否平行，并说明理由。
【答案】解：∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到：，进而结合题意得到：，最后根据内错角相等，两直线平行，即可求解．
15．（2025八下·青秀开学考）如图，．
（1）作线段边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，再过弧的两个交点作直线MN，交AC于点D，连接BD即可；
（）由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得DA=DB，由等边对等角得∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，最后利用角的和差关系，由∠DBC=∠ABC-∠ABD即可求解.
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
16．（2024八上·湖北期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，当时，，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；内错角的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等．
（1）根据 证明和全等即可；
（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．
（1）证明：，
，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
17．（2024八上·永吉期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在小正方形的顶点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为．
（1）画出与关于轴对称的．
（2）通过画图在轴上确定一点，使得的值最小，画出与，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，
如图，即为所求；
（2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时的值最小，点的坐标为．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先作点、、关于轴的对称点、、，再求解即可；
（2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再根据轴对称的性质可得：，最后根据两点之间线段最短求解即可。
（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到，
即为所求；
（2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时的值最小，点的坐标为．
18．（2024七上·兰州期末）【问题背景】
已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分．
【问题再现】
（1）如图1，射线、均在直线上方．若，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，射线、均在直线下方．求的度数．
【答案】解：（1）因为，
所以．
因为射线平分，
所以，
所以；
（2）．理由如下：
因为平分，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以；
（3）因为平分，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由，求得的度数，再由射线平分，得到的度数，结合，进行计算，即可得到答案；
（2）由平分，得到，得到，结合，即可得到与之间的数量关系， 得到答案；
（3）由平分，得到，再由，进行计算，即可得到答案.
19．（2024七下·东平期末）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．
【答案】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1=∠2=∠DCE，再结合等腰直角三角的性质和等量代换可得∠1=∠3，从而可证出AB//CF；
（2）利用三角形的内角和求出∠DFC的度数即可.
20．（2024八上·余杭月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝30°，则∠EDC＝ 　 　°；
②如图2，、如果∠BAD＝40°，则∠EDC＝ 　 　°．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】（1）15；20
（2）
（3）解：仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵，
∴
∴；
②∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴
∵AD=AE，
∴
∴；
【分析】（1） ① 根据等腰三角形三线合一，可知∠DAE=30°，再根据AD=AE，可求∠ADE的度数，从而可知答案； ② 同理易知答案；
（2）通过（1）题的结论可知，
（3）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知容易证得∠BAD=2∠EDC.
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