资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
黑龙江省2025年中考模拟考试数学押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）四个数中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）如图所示的几何图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：）、（单位：），图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．（本题3分）常温下的溶度积约为0.0000000478，将数据0.0000000478用科学记数法表示为 ．
12．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（本题3分）计算： ．
14．（本题3分）分解因式： ．
15．（本题3分）二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是 ．
16．（本题3分）不等式组的解集为 ．
17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ．
18．（本题3分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
19．（本题3分）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
20．（本题3分）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本题7分）先化简，再求值：，其中．
22．（本题7分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
(1)在图1中，作的高线；
(2)在图2中，①在上画一点E，使平分的面积；
②点M是边上任意一点，在①的条件下，在上画一点N，使；
(3)在图3中，在上画一点F，使．
23．（本题8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程．
【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“60”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．
【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示：
【分析数据】
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
第1小组 4 5
第2小组 5
第3小组 3
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)①请直接补全第1小组得分条形统计图；
②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为___________度；
(2)直接写出___________，___________；
(3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24．（本题8分）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
25．（本题10分）学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等．
(1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？
(2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可购买多少套科技书？
26．（本题10分）已知：为圆O的直径，点C、D在圆上，连接、，且；
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接交于点M，点E、G在上，点F在上，连接、交于点H，若H为的中点，且，求的值；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接，且，连接并延长交于点P，若，，求线段的长．
27．（本题10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，抛物线顶点T的坐标为．

(1)求a的值；
(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，连接，交y轴于点D，设．若．求d与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，轴，交线段于点E，F为的中点，点G在的延长线上，，点H在线段上，线段、交于点K，线段、交于点L，连接，若．求t的值及面积．中小学教育资源及组卷应用平台
黑龙江省2025年中考模拟考试数学押题卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）四个数中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查正数和负数，求绝对值，有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先将各项数化简，再根据负数一定小于0，进行判断即可．
【详解】解：A、|－3.14|=3.14，为正数，故此选项不符合题意；
B、当为负数时，是正数，故此选项不符合题意；
C、为负数，故此选项符合题意；；
D、为正数，故此选项不符合题意；．
故选：C．
2．（本题3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（本题3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
4．（本题3分）如图所示的几何图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图的定义：从正面看得到的视图是主视图是解题的关键．根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
【详解】解：从正面看，从左起第一列有个小正方形，第二列有个小正方形，第三列有个小正方形，第四列有个小正方形，如图：
故选：B．
5．（本题3分）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，先根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
故选：D．
6．（本题3分）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可．
【详解】解：原式去分母，方程两边乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
故选：．
7．（本题3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
8．（本题3分）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了利用列表法求事件的概率．根据列表的情况可知，李佳购买车票的位置共有种等可能的情况出现，其中两张票都靠近窗户的情况只有种，从而可得“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是．
【详解】解：列表如下，
从表中可以看出共有种等可能的情况出现，
其中两张票都靠近窗户的情况只有种，
“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是．
故选：C ．
9．（本题3分）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的判定方法得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到结论．
【详解】解：、，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
故选：A．
10．（本题3分）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：）、（单位：），图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
根据图象可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度可以判断①，
根据图象可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；
设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③；
待定系数法求得解析式，根据：Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④．
【详解】解：由图象可得，轿车行驶千米，则车的速度为：，故①正确；
由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误；
由题意可得所在直线为关于x的正比例函数，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得，
∴直线的解析式为；
在中，当时，，
∴点的坐标为，
∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，
∴轿车行驶后需．
∴点坐标为：．
设线段所在直线的函数表达式为，
将点代入得：，
解得，
∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确；
在中，当，，
∴相遇前二者在前内存在某个时间段相距，
设段的函数解析式为，
将代入得：，
解得，
∴段的函数解析式为，
当轿车休息前与货车相距时，有，
解得；
当轿车休息后与货车相距时，有，
解得．
即两车出发小时或小时后相距． 故④错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．（本题3分）常温下的溶度积约为0.0000000478，将数据0.0000000478用科学记数法表示为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【难度】0.65
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求自变量的取值范围
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴且；
故答案为：且．
13．（本题3分）计算： ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
14．（本题3分）分解因式： ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式因式分解的运用；根据提取公因式法和平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（本题3分）二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h） +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则是解答的关键．先将原二次函数解析式化为顶点式，再根据函数图象的平移规则“上加下减”求得平移后的函数解析式，进而可得顶点坐标．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数的解析式为，即，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
16．（本题3分）不等式组的解集为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
过点作于点，结合题意可得，通过平行四边形的面积可得，因为点A的坐标为，进而得出点的坐标，代入反比例图像即可得解．
【详解】解：过点作于点，
，
则，
的面积为6，
，即，
，
，
点A的坐标为，
点的坐标为即，
把代入反比例函数的图象，
可得，，
．
故答案为：．
18．（本题3分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题考查圆锥的计算，解题关键是理解扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．
根据扇形弧长公式求出弧长，即圆锥底面圆的周长，再根据圆的周长公式求出圆锥底面半径．
【详解】解：扇形弧长为：，
则圆锥的底面半径．
故答案为：．
19．（本题3分）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
【答案】3或．
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】分两种情况，先证明，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，点在的右边，
与都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形的边长为3，
如图，点在的左边，
同上，，
，，
，
过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在中，，
，
，
或（舍去），
，
等边三角形的边长为，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．
20．（本题3分）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值
【分析】根据正方形的性质得到，，运用勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于点，可证明得到，则是的中线，得到，，在中由正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
如图所示，连接，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴是的中线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的正切值为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本题7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查三角函数以及分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
先对分式括号内进行化简，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后代入的值计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
22．（本题7分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
(1)在图1中，作的高线；
(2)在图2中，①在上画一点E，使平分的面积；
②点M是边上任意一点，在①的条件下，在上画一点N，使；
(3)在图3中，在上画一点F，使．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、矩形性质理解、画轴对称图形、无刻度直尺作图
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）取格点P，连接，延长交于点D，线段即为所求；
（2）①取的中点E，连接即可；
②作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于点N，连接即可；
（3）取格点R，构造等腰直角三角形，取格点T，Q，连接交于点J，连接，延长交于点F，点F即为所求，
【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；
（2）解：①如图2中，线段即为所求；
②如图2中，点N即为所求；
（3）解：如图3中，点F即为所求．
23．（本题8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程．
【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“60”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．
【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示：
【分析数据】
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
第1小组 4 5
第2小组 5
第3小组 3
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)①请直接补全第1小组得分条形统计图；
②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为___________度；
(2)直接写出___________，___________；
(3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【答案】(1)①图见解析，②；
(2)；
(3)该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分．
【难度】0.65
【知识点】折线统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、求中位数
【分析】本题考查了统计图表，中位数和众数，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出第一小组中得分记为分的学生人数，补全条形统计图即可；
②用第2小组“得分为4分”所占的百分比；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用学生意人数乘以三个小组中成绩不低于分的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：①第一小组中得分记为分的学生人数有：（人），
补全条形统计图如下：
②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为：
，
故答案为：；
（2）解：第小组得分为分所占的百分比为：
，
∴将第小组名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为和，
∴第小组名学生成绩的中位数为：，
第小组学生成绩得分出现次数最多的是分，
∴第小组学生成绩的众数为：，
故答案为；
（3）解：第组学生成绩不低于分的人数为：
（人），
∴（人）
∴该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分．
24．（本题8分）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
（2）
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
25．（本题10分）学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等．
(1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？
(2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可购买多少套科技书？
【答案】(1)学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元
(2)120套
【难度】0.65
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设去年购买文学书的单价为每套x元，根据用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等，列出方程进行求解即可；
（2）设今年学校购买科技书m本，根据题意，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为每套x元，则每套科技书的单价为元．
由题意得： 解得：，
检验：当时，，且符合题意，
则每套科技书的单价为：（元），
答：学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元．
（2）解：设今年学校购买科技书m本．
由题意得：，
∴，m为整数，
答：学校今年至多可购买120套科技书．
26．（本题10分）已知：为圆O的直径，点C、D在圆上，连接、，且；
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接交于点M，点E、G在上，点F在上，连接、交于点H，若H为的中点，且，求的值；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接，且，连接并延长交于点P，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)
【难度】0.15
【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）连接、，由圆周角定理推出，进而得到，从而证明，即可证明结论；
（2）过点G作，交于点K，证明，得出，证明，推出，从而得到，再结合平行线的性质，得到，即可求解；
（3）证明，进而证明为等腰三角形，设，，则，，，设，根据三角形内角和定理和外角的性质，得到，延长交于点T，连接、、、，，根据全等三角形的判定性质，以及等腰三角形的判定和性质，证明四边形为正方形，从而推出，得到，
，证明，得到，再结合勾股定理，求出，过点P作于K点，设，利用正切值，求出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，过点G作，交于点K，
，
，，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知，为等腰三角形，，，，
，
，，
，
，，
，
，
为等腰三角形，
设，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
延长交于点T，连接、、、，，
直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
为的中线，
，
，为等腰直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在等腰中，，
，
，
四边形为正方形，
，
在和中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，勾股得，
，
或（舍去），
，，
如抽图，过点P作于K点，
，
设，则，
，
．
在中，勾股得．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线，掌握圆的相关性质以及三角形的相关性是解题关键．
27．（本题10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，抛物线顶点T的坐标为．

(1)求a的值；
(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，连接，交y轴于点D，设．若．求d与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，轴，交线段于点E，F为的中点，点G在的延长线上，，点H在线段上，线段、交于点K，线段、交于点L，连接，若．求t的值及面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【难度】0.15
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据抛物线顶点T的坐标为，得出，，求出a的值即可；
（2）根据，得出，根据，，得出，得出，求出函数解析式为：，得出，，，求出，得出，过点P作轴于点E，得出，，证明，得出，即，整理得出答案即可；
（3）过点F作轴，交于点M，延长交轴于点Q，过点M作轴于点N，求出直线的解析式为，得出点，求出点F的坐标为，设点H的坐标为，则，，求出，根据勾股定理得出，再根据，得出，求出，根据点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，得出，求出直线的解析式为：，联立，求出点L的坐标为，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点T的坐标为，
∴，，
∴，
把代入得：
，
解得：；
（2）解：根据解析（1）可得：抛物线解析式为：，
令，
设，是的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴函数解析式为：，
令，
解得：，，
∴，，
∴，
∵点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，
∴点P的坐标为：，且，
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
过点P作轴于点E，如图所示：

则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点F作轴，交于点M，延长交轴于点Q，过点M作轴于点N，如图所示：

∵轴，
∴轴，
∴，
根据解析（2）可知：，抛物线解析式为：，，，，，
∴顶点T的坐标为，，
∴点G的坐标为：，
设直线的解析式为，把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴点，
∵点F为的中点，
∴点F的坐标为，
∴，
设点H的坐标为，则，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
即，
解得：，
∵，，
∴，
∵轴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
，
∴
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
∵点P在第一象限，横坐标为t，
∴，
∴，
∴
，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴点L的坐标为，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求一次函数解析式，三角形面积计算，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．

展开更多......

收起↑