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2025年广西高考数学冲刺试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.的展开式中的系数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.已知抛物线E：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，满足，线段AB的中点为M，M到抛物线E的准线的距离为d，则的最大值为( )
A. 1 B. C. D. 2
6.已知，则( )
A. B. 5 C. D.
7.设正四面体ABCD的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体不计厚度的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知任意正实数x，y满足，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若为C的离心率，则( )
A. B. C的虚轴长为
C. D. C的一条渐近线的斜率为
10.环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则( )
A. 过定点
B. 在污染物浓度区间上单调递增
C. 关于对称
D. 取定x的值，灵敏度越高，监测值越大
11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，，则( )
A. 任意交换，，的顺序，不影响X的取值
B. 满足及的排列有20个
C. 的概率为
D. 的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则______.
13.如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，连接AD，BC，若四边形ABCD为平行四边形，且其面积为，则______.
14.已知实数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
16.本小题15分
设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列.
证明：是等比数列；
求的通项公式以及；
设，若，，求m的取值范围.
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，
若M，F分别是PA，BC的中点，证明：；
求二面角的余弦值.
18.本小题17分
已知函数
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数a的值；
若证明：
19.本小题17分
已知椭圆E的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，，连接，，1，…，
若直线的斜率为，求椭圆E的离心率；
证明的面积为定值，并求多边形…的面积用n表示；
若，，线段的中点为M，证明：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合或，，
故
故选：
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：复数，
则，
故
故选：
结合复数的几何意义，以及复数的四则运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
因为A，，
所以两边同时除以得：，
所以，可得，
又因为，
由余弦定理得：，
即，因式分解可得，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：
由正弦定理边化角和余弦定理计算即可；
本题考查正余弦定理的应用，充分必要条件的判断，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：二项式的通项为，，1，2，3，4，
令，得二项式的展开式中，
令，得二项式的展开式中，
所以的展开式中的系数为
故选：
利用二项式定理求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
设，，因为M为AB中点，则由抛物线的性质知，，且，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为
故选：
设，，则根据抛物线的性质以及平面向量的模，可将d和均用m、n表示，求出，利用基本不等式求出最大值．
本题主要考查抛物线的焦点弦及焦半径，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
所以，
即，
所以，即
故选：
结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设正四面体ABCD的内切球半径为r，
则，解得，
如图所示，S为AC的中点，连接BS，DS，
过点D作于点M，则平面ABC，
设正四面体ABCD的内切球球心为O，则O在DM上，
过点O作于点P，则，
设正四面体ABCD的棱长为a，则，
则，，
其中，
故，
故，
因为∽，故，
即，解得，
将正四面体按照如图所示的方式放入正方体中，
即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，
此时为能装下该正四面体的最小正方体，
设正方体的棱长为t，则，解得，
故此正方体的体积为
故选：
先求出内切球半径，进而得到正四面体ABCD的棱长，正四面体的每条边均为正方体的面对角线时，为能装下该正四面体的最小正方体，从而求出最小正方体的棱长和体积．
本题考查球的表面积公式，考查几何体与球的位置关系，考查正四面体性质，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为任意正实数x，y满足，，
所以令，可得，所以，
所以，进而推出对于正整数n，
下面验证更一般情况：
假设，代入条件得代入不等式得：

因此，且因
例如，取，则，满足，但，
说明选项A不一定成立，但B成立．
若，满足，且对有：
此时，选项B成立，但，选项C不成立．
因为任意正实数x，y满足，，
所以令，，则，
所以
递推可得，所以选项B正确．
综上可得只有选项在所有情况下成立．
故选：
利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数和进行验证，结合递推关系进行严格证明即可．
本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：双曲线C：的左、右焦点分别为，，若，可得，即，
所以，，，，渐近线的斜率为，所以A、C、D正确，B不正确．
故选：
利用已知条件求解a，求解虚轴长，求解离心率，渐近线的斜率，判断选项的正误即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法等知识，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，在中，令，
则，
所以过定点，故A正确；
对于B，因为，
当，，
则为单调递增，故B正确；
对于C，由B选项知为单调递增，
故不存在对称轴，故C错误；
对于D，以a为自变量，
设为，
则，
因为，故，
所以的正负取决于，
当，即时，，随着a的增大，减小；
当，即时，，随着a的增大，增大，故D正确．
故选：
对于A，令，可求得定点，即可判断A；
对于B，对求导，判断导函数在时的正负，即可判断B；
对于C，由B即可判断；
对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了导数的综合运用及分类讨论思想，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，由，可知，任意交换，，的顺序，不影响X，Y的取值，
任意交换，，的顺序，不影响X，Y的取值，故选项A正确；
对于选项B，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，
因此满足条件的排列组数即满足条件的，，的组数，
即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即种取法，故选项B正确；
对于选项C、选项D，因此不妨设及
注意到，整体交换，，和，，也不影响X，Y的取值，
因此不妨设，即，，
将满足以上条件的排列列举如下：
，， ，， X Y ，， ，， X Y
123 456 3 4 135 246 5 2
124 356 4 3 136 245 5 2
125 346 5 3 145 236 5 2
126 345 5 3 146 235 5 2
134 256 4 2 156 234 4 2
总情况数共10种，除第一种外均满足，
因此，，故选项C正确，选项D错误．
故选：
由X的定义判断A选项；满足条件的排列数即满足条件的，，的组数，计算数据判断选项B；列举符合条件的取法，计算相应的概率判断选项
本题考查了排列组合的应用，随机变量的概率分布，是中档题．
12.【答案】5
【解析】解：因为向量，，且，
所以，解得，
故，
故
故答案为：
根据向量垂直的性质求得m，进而求解结论．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：已知直线与曲线T交于A，B两点，直线与曲线T交于C，D两点，
则平行四边形ABCD的高
平行四边形ABCD的面积，由平行四边形面积公式，可得底边，
直线与T交于A，B两点，设，，
则平行四边形底边为，
根据余弦型函数性质知道，，，
两式相减，得到，即，
解得
故答案为：
根据平行四边形面积公式来计算面积，求出底，再找出平行四边形的底与函数的关系，进而求解的值．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，①
令，
若，则以及，，；
由①式消去c，得，
即，即或；
所以，解得，
时“=”成立，
故；
若，则以及，，；
由①式消去c，整理得，②
当时，②式成立；
当时，由②式得或，
所以，
解得，
故，时“=”成立，
所以，
若，则，，，，
由①式消去a，整理得或，
所以，即，时“=”成立，
故
综上所述，，取“=”成立时或
故
故答案为：
令，分、、三种情况，结合一元二次方程的解法分别求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法、考查了分类讨论思想，属于中档题．
15.【答案】依据的独立性检验，认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
，
其意义为已知观众为男性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率高于已知观众为女性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率，
这意味着男性更倾向于喜欢机器人团体舞蹈表演节目．
【解析】解：补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，
则，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
由题意可知，，，
所以，
其意义为已知观众为男性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率高于已知观众为女性的条件下，其喜欢机器人团体舞蹈表演节目的概率，
这意味着男性更倾向于喜欢机器人团体舞蹈表演节目．
补全列联表，计算的值，与临界值比较即可；
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
16.【答案】证明见解析；
，；

【解析】证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，即，①
则，②
②-①得：，
即，可得，
又，
是等比数列；
解：由知，
则；
解：由，且，得，
当时，，当时，，
，
若，则，
若，则，可得，
因此数列的最大项为，
由，，得，
即，整理得，则，即
的取值范围是
根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证；
利用的信息求出，；
求出并求出其最大项，建立不等式求解．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．
17.【答案】证明见解答；
【解析】解：证明：如图，取AD的中点E，连接ME，FE，
因为M，F分别是PA，BC的中点，
所以，，
又因为，，
所以平面平面PDC，
因为，，
所以，
所以，又因为，
所以平面PDC，
所以平面MFE，
又因为平面MFE，
所以，
在平面PDC内过点D作，交PC于点H，
因为平面PDC，平面PDC，平面PDC，
所以，，所以AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，
设平面PBC的法向量为，
则，
即，
令，则，，
所以，
易知平面ABCD的一个法向量为，
所以，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
则二面角的余弦值为
取AD的中点E，连接ME，FE，由中位线性质得到，，进而证出平面平面PDC，再结合线面垂直的性质定理即可得证；
建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
1；
证明见解析．
【解析】解：函数的定义域为，，
ⅰ当时，由解得，所以在上单调递增；
由解得，所以在上单调递减．
ⅱ当时，恒成立，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知：ⅰ当时，在上单调递减，在上单调递增．
故
令，依题意①
又，
由，得，由，得
所以在上单调递增，在单调递减，
因此在处取得最大值，即，故②
由①②得，
又因为在上单调递增，在单调递减，且
所以有且仅有一个解，即
ⅱ当时，在上单调递增且，
所以时，不符合题意．
综上，是实数a的值为1；
证明：要证，即证，
令
则
令，
所以
又
所以，
所以使得，即，
所以，
所以当，，单调递减；当单调递增．
所以，
又知当时，恒成立，
所以，
所以，
所以，
又所以，
故
即：，即得证．
先求出导函数，结合定义域分类讨论，时的单调性；
由知，分别求出最小值即可算出实数a的取值范围，根据恒成立即可求出a；
要证，即证，令，根据导数分析的单调性，即可证明．
本题考查了含有参量的函数问题，考查导数的综合运用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，所以直线的斜率为，所以，
所以椭圆C的离心率
证明：直线的方程为，
化简得，
所以原点O到直线的距离，
而，
所以，
同理可得
，
所以多边形的面积为
证明：设，所以，，
所以，即，
所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦点，
设，，，
点，的坐标可化为，，
所以，，
又因为，，
所以，
，
因为，所以，
所以
【解析】根据直线的斜率为，得出，即可求解；
表示出直线的方程，求出原点O到直线的距离d，代入面积公式即可得证；
利用向量法求出，，即可得证．
本题考查椭圆方程与向量法的综合应用，属于难题．

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