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四川省绵阳市游仙区2024年中考三模数学试题
1．（2024·游仙模拟） (－3)2的平方根是(　　)
A．－3 B．3 C．3或－3 D．9
2．（2024·游仙模拟）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·游仙模拟）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·游仙模拟）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
5．（2024·游仙模拟）某校学生去参加活动，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·游仙模拟）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·游仙模拟）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（　　）
A． B．1 C．2 D．
8．（2024·游仙模拟）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
9．（2024·游仙模拟）若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（　　）
A． B． C． D．2
10．（2024·游仙模拟）如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·游仙模拟）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
12．（2024·游仙模拟）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是，设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图曲线OM为抛物线的一部分，则下列结论：；直线NH的解析式为；不可能与相似；当时，秒．其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·游仙模拟）在实数范围内分解因式： 　 　．
14．（2024·游仙模拟）已知，，则　 　.
15．（2024·游仙模拟）关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是　 　．
16．（2024·游仙模拟）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是　 　．
17．（2024·游仙模拟）如图，点A、B在反比例函数（，）的图像上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE．若OE＝1，，AC＝AE，则k的值为　 　．
18．（2024·游仙模拟）在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为　 　．
19．（2024·游仙模拟）（1）计算：．
（2）化简求值：，其中x还满足不等式的整数解．
20．（2024·游仙模拟）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会．某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：
经常参加的球类运动 A B C D
人数（单位：人） 9 　 18 6
所占百分比 　 　
（1）求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；
（2）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率．
21．（2024·游仙模拟）小华同学为了体验生活，决定在假期购进一批50克装的两种梵净山绿茶去梵净山景区门口摆地摊进行销售，其进价与标价如表：
　 梵净山翠峰茶 梵净山毛峰茶
进价（元/袋） 45 25
标价（元/袋） 60 30
（1）小华购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，求小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山毛峰茶各多少袋？
（2）由于景区游客较多，小华很快将两种绿茶销售完，若他计划再次购进这两种绿茶共120袋，且梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的．在不打折的情况下，如何进货，销售完这批绿茶时获利最多？求出此时这批绿茶的总利润为多少元？
22．（2024·游仙模拟）如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且＝，过点作交于点，交于点，连接．
（1）若＝，＝，求的周长；
（2）求证：＝＋．
23．（2024·游仙模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点是线段上一点，且，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标．
24．（2024·游仙模拟）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作．
（1）当时，
①如图1，若与相切于点P，连结，求的长；
②如图2，若经过点D，求的半径长．
（2）如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．
25．（2024·游仙模拟）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解： (－3)2 =9，9的平方根是±3，
故 (－3)2 的平方根是3或－3.
故答案为：C.
【分析】先计算（－3）2，再求平方根.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】
用科学记数法常把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n是为比原数的整数位数少1的正整数．
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱，
且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积，
所以，选项A符合题意．
故选：A．
【分析】
几何体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故选：D．
【分析】
平均数是一组数据的总和与样本容量的商；中位数是指把一组数据按照从小到大顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据；方差是指一组数据中每个数据与平均值差的完全平方的平均值．
5．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设计划调配30座客车辆，则只调配25座(不含司机)客车时，用车数量为辆，
由此列方程组．
故选：B．
【分析】
先分别设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，再由选题关系“ 单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位 ” 列方程组即可．
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的侧面积为，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，
故选：C．
【分析】
根据圆锥的侧面积公式求解即可得．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【分析】
先由方位角的概念结合平行线的性质可得等于，则为等腰直角三角形且等于；再解可得是的倍，由已知AC的长并等量代换得关于PB的一元一次方程即可．
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
由圆周角定理可得等于，又和是公共角，则可证明；由于已知等于等于，由等于，利用相似比即可求出．
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
设
，
，，
，
解得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，y随a的增大而增大，
当时，y最小，即，
当时，y最大，即，
故选：B．
【分析】
先用含a的代数式表示出b，则代数式可转化为关于a的二次函数，再根据的取值范围可确定的取值范围，再根据二次函数的性质即可分别确定出m、n的值即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，和关于直线BC对称，
∴AB=AC=CD=BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，
∵，，
∴OC=OB=3，OA=OD=4，
在Rt△COD中，OC=3，OD=4，
∴DC=，
∴AB=AC=CD=BD =5，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由轴对称的性质结合AB等于AC可证四边形ABDC是菱形，再由菱形的对角线互相垂直平分可分别求菱形的边长及两条对角线的一半，再在和中利用勾股定理可得到关于OE的一元二次方程并解得OE的值，则AE的值求，最后代入到指定算式中即可．
11．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得，解得且为正数
∴，即
∵
∴，解得且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【分析】
先表示出关于x的不等式组的解集，再由不等式组有且只有3个整数解确定出a的范围，再解关于y的分式方程求出其解为正数时a的取值范围，再综合上述条件求出符合条件的a的所有整数解即可．
12．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：①据图(2)可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=10cm，S△BCE=BC·AB=30，
∴AB=6，故①正确；
②根据10 12秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=18，
故点H的坐标为(18，0)，
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H(18，0)，点N(12，30)代入可得：，
解得：．
故直线NH的解析式为：y= 5t+90，故②正确；
③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，
∴，
∵BQ=10，
∴PQ=7.5，
∴PQ＞CD，
∴△ABE与△QBP不可能相似，故③正确；
④t=13时，PQ=18-13=5，
此时tan∠PBQ==，
∴∠PBQ≠30°，故④错误，
综上可得①②③正确，共3个．
故选C．
【分析】
①据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，即当点P到达点E时且点Q到达点C时，的面积达到最大值30，即BE等于BC等于10，则由的面积公式可计算出AB等于6，故结论正确；
观察图（2）知，ED等于2，即N（12，30）；由于CD等于AB，即当点P从点D运动到点C时的用时为6秒，即H（18，0），利用待定系数法可求出直线NH的解析式为，故结论正确；
由①知，AB等于6、AE等于8，且是直角三角形；由于点P在BE上运动时，BP等于BQ，此时两三角形不可能相似；当点P在ED段运动时，点Q与点C重合，此时仍然不是直角三角形，故不可能相似；当点P在DC段运动时，点Q与点C重合，是直角三角形，但，而，即，所以两直角三角形不可能相似，故结论正确；
由于BE+ED等于12，因此当时，点P运动到线段DC上且DP等于1，则PQ等于5，此时tan∠PBQ等于等于，则不可能是，故结论错误．
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】利用提公式法和公式法进行因式分解。
14．【答案】12
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母得：
解得，
∵，
∴且，
解得且，
∴k的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】
解分式方程的一般步骤是去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，验根，再写根；本题由于已知了分式方程的解为非负数，可先去分母求出解，再利用已知条件解不等式，再结合分式有意义的条件即可确定字母k的取值范围．
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可分别连接AD、AE，则可将BD、CE、DE转化到同一个三角形中，由于三边已知，可利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形且为直角，此时可分别解和即可．
17．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD=OE=1，
把y=1代入，求得x=k，
∴B（k，1），
∴OD=k，
∵OC=OD，
∴OC=k，
∵AC⊥x轴于点C，
把代入得，，
∴
∵AE=AC，
∴，解得，
∵在第一象限，
∴，
故答案为：．
【分析】
由OE等于1得B（k，1），由CO等于得A，由两点距离公式结合AE等于AC可得到关于k的一元二次方程，解方程并结合双曲线的位置即可求得k的值．
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过点B作，且，连接，交BC于点，过点A作，交的延长线于点H，如图所示：
则，
在等腰直角中，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值即为的长，此时点E与点重合，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴取得最小值时，的长度为．
故答案为：．
【分析】
由于BE等于AD，可过点B作BF垂直BC且BF等于AC，则可证，从而把转化到，显然当A、E、F三点共线时有最小值即线段AF的长，此时可过点A作BF的垂线段AH，构造直角三角形AHF再利用勾股定理即可求出AF．
19．【答案】解：（1）
；
（2）原式
，
，
x是满足不等式的整数解，
0或1或2，
0或1时，原式无意义，
当时，
原式 ．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的特殊解；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减；运算时先分别根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别计算即可；
（2）分式的化简求值，必须先化简，再代入字母的值进行计算；化简时注意先利用通分把括号内异分母分式减法转化为同分母分式的减法，再化除法运算为乘法运算，同时对分子分母分别分解因式，再约分化原式为整式或最简分式；下来再解不等式并结合分式有意义的条件求出字母x的值，最后再代入计算即可．
20．【答案】（1）解：参与调查的学生总人数为人，∴参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为人；
（2）解：根据题意，可列表格如下，
男1 男2 女1 女2
男1
男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1
男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2
女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
根据表格可知共有12种等可能得情况，其中抽取到的两名学生恰好是相同性别的情况有4种，
∴抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）观察扇形统计图和统计表，可利用D类球运动的人数除以其所占百分比，得出样本容量，再用样本容量乘以B类球运动的人数所占百分比即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时要明确对角线栏目上是否填写数据．
21．【答案】（1）设小华同学购进梵净山翠峰茶x袋，梵净山毛峰茶y袋，根据题意得： ，
解得 ： ，
答：小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山200袋，毛峰茶100袋；
（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，根据题意得：
w＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600，
∵梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的 ，
∴a≤（120﹣a）× ，
解得a≤75，
∵k＝10＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴a＝75时，利润最大，最大值为10×75+600＝1350，此时购进梵净山毛峰茶（120﹣75）＝45（袋）．
答：小华购进梵净山翠峰茶75袋，购进梵净山毛峰茶45袋获利最多，此时这批绿茶的总利润为1350元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先分别设购进翠峰茶x袋，毛峰茶y袋，根据等量等量关系“购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，”列出方程组并求解即可；
（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，根据题意可得w是关于a的一次函数，然后由不等关系“梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的”可列不等式可求出a的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可求解．
22．【答案】（1）解：四边形和四边形都是平行四边形，
，，，
，
，
．
，，
，即．
，
，，
．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，
，
．
，
，即．
，
，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的对边平行且相等可得AB等于CD等于EF等于5，则BF等于AE等于2，由于AC垂直CD知则AC垂直AB，则利用勾股定理可分别求出BC与FC的长，则周长可求．
（2）由于平行四边形的对边平行且相等，则AD等于BC，因此可在上截取，连接，则由两直线平行内错角相等得等于都是，再由同角的余角相等可得等于，则可利用证明，则等于等于，则等于等于，再利用可证，则EG等于DM。等量代换即可得出结论．
23．【答案】（1）解：如图，作轴于点，
由点可知在反比例函数上，，
，，，
又，
，
．
即，
∴，
则，
所以反比例函数与一次函数关系为，；
（2）解：设
点D在线段AC上
和中：
即：
解得：
即：
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）过作交轴于，
则的面积与的面积相等，
；
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
当点在轴的正半轴上时，，，
综上所述，，或，．
【分析】
（1）先利用待定系数法求出m，即将代入可求出的值；由于直线AC与x轴的夹角为，因此可过点A作轴，垂足为，则，且等于，根据等腰直角三角形的性质得出等于等于，即，然后再应用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）由于点D在线段AC上，可设出点D的坐标为，则两点距离公式分别求出或表示出OA、CA及DA的长，又因为和中两组角对应相等，则可证两三角形相似，从而利用相似比可得出关于m的一元一次方程，解方程即可；
（3）过作交轴于，则的面积与的面积相等，先利用点D的坐标可得直线的解析式为，由于可设直线的解析式为，利用点A的坐标可求得直线的解析式为，令即可求出P的一个坐标，相应地，其关于y轴的对称点亦满足条件，故点P有两个，分别在x轴的正、负半轴上，且到原点距离相等．
24．【答案】（1）解：①，即，
是的直径，
与相切于点，
．
，，
，
根据勾股定理，得；
②如图，连接，，
，
∴是的直径，，
四边形是平行四边形，
∴，，，，
，，，，
，
根据勾股定理，得，
．
的半径长为。
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接，，记于交于点，
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
，即．
为平行四边形边上的高，
，
又，
．
设，则，，
，
，
根据勾股定理，得，即，
解得，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．（1）①利用切线的性质可得：，进而可推出CP是的直径，再根据AB与相切于点，利用切线的性质可得，利用余弦的定义可得：，代入数据可求出BP，再利用勾股定理可求出CP．
②连结，，根据，可推出是的直径，，利用平行四边形的性质可得：，，，，，，利用余弦的定义可得：，代入数据可求出AP，利用勾股定理可求出，进而可求出PC.
（2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，据此可推出，利用余弦的定义可求出和的长，再利用勾股定理求得．再根据NE为平行四边形边上的高，利用正弦的定义可求出NE，设，利用线段的运算可得：，，，利用勾股定理列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：令得，即点，
∴把坐标代入中得直线解析式是、且，
∵，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，
∴点，
∴，
若时，，
∴，即点，
若时，，
∴，
即点，
综上，点或．
（3）答：是定点，理由如下：由题意，的坐标为，
设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)，
∴把的坐标代入中得，
直线的解析式为：，
同理：直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
∴，
则，
同理可得，，
∴，
∴，
即，
∴直线的解析式为：，
当时，总有
在对称轴上
为定点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1） 抛物线与x轴交于，两点 ，
，
，
，
抛物线的表达式为：；
【分析】
（1）由于知道了抛物线与x轴两个交点坐标，可设解析式为交点式，再代入点A或B的坐标即可；
（2）由于两直线平行内错角相等，可知与中总有，又BC、BE、AE、AB都可计算，则两三角形相似时可利用SAS 来讨论对应边的情况，即分为两种情况：①若时，若时，分别利用相似比求出PB的长即可；
（3）由于由于抛物线解析式已知，则顶点D及对称轴与x轴交点E的坐标都可得，又因为点都在抛物线上，可分别设出点的坐标为：，再利用待定系数法分别表示出直线GH、DG、DH的解析式，则可表示直线DH、DG与x轴的交点M、N的坐标，则线段E同、EN均可表示，再结合已知可得m与n的数量关系，再代入直线DG的解析式中可发现直线DG总经过点，则T为定点.
1 / 1四川省绵阳市游仙区2024年中考三模数学试题
1．（2024·游仙模拟） (－3)2的平方根是(　　)
A．－3 B．3 C．3或－3 D．9
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解： (－3)2 =9，9的平方根是±3，
故 (－3)2 的平方根是3或－3.
故答案为：C.
【分析】先计算（－3）2，再求平方根.
2．（2024·游仙模拟）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】
用科学记数法常把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n是为比原数的整数位数少1的正整数．
3．（2024·游仙模拟）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱，
且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积，
所以，选项A符合题意．
故选：A．
【分析】
几何体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．（2024·游仙模拟）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故选：D．
【分析】
平均数是一组数据的总和与样本容量的商；中位数是指把一组数据按照从小到大顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据；方差是指一组数据中每个数据与平均值差的完全平方的平均值．
5．（2024·游仙模拟）某校学生去参加活动，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设计划调配30座客车辆，则只调配25座(不含司机)客车时，用车数量为辆，
由此列方程组．
故选：B．
【分析】
先分别设计划调配30座客车辆，该大学共有名大学生志愿者，再由选题关系“ 单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位 ” 列方程组即可．
6．（2024·游仙模拟）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的侧面积为，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，
故选：C．
【分析】
根据圆锥的侧面积公式求解即可得．
7．（2024·游仙模拟）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【分析】
先由方位角的概念结合平行线的性质可得等于，则为等腰直角三角形且等于；再解可得是的倍，由已知AC的长并等量代换得关于PB的一元一次方程即可．
8．（2024·游仙模拟）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
由圆周角定理可得等于，又和是公共角，则可证明；由于已知等于等于，由等于，利用相似比即可求出．
9．（2024·游仙模拟）若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
设
，
，，
，
解得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，y随a的增大而增大，
当时，y最小，即，
当时，y最大，即，
故选：B．
【分析】
先用含a的代数式表示出b，则代数式可转化为关于a的二次函数，再根据的取值范围可确定的取值范围，再根据二次函数的性质即可分别确定出m、n的值即可．
10．（2024·游仙模拟）如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，和关于直线BC对称，
∴AB=AC=CD=BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，
∵，，
∴OC=OB=3，OA=OD=4，
在Rt△COD中，OC=3，OD=4，
∴DC=，
∴AB=AC=CD=BD =5，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由轴对称的性质结合AB等于AC可证四边形ABDC是菱形，再由菱形的对角线互相垂直平分可分别求菱形的边长及两条对角线的一半，再在和中利用勾股定理可得到关于OE的一元二次方程并解得OE的值，则AE的值求，最后代入到指定算式中即可．
11．（2024·游仙模拟）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得，解得且为正数
∴，即
∵
∴，解得且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【分析】
先表示出关于x的不等式组的解集，再由不等式组有且只有3个整数解确定出a的范围，再解关于y的分式方程求出其解为正数时a的取值范围，再综合上述条件求出符合条件的a的所有整数解即可．
12．（2024·游仙模拟）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是，设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图曲线OM为抛物线的一部分，则下列结论：；直线NH的解析式为；不可能与相似；当时，秒．其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：①据图(2)可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=10cm，S△BCE=BC·AB=30，
∴AB=6，故①正确；
②根据10 12秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=18，
故点H的坐标为(18，0)，
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H(18，0)，点N(12，30)代入可得：，
解得：．
故直线NH的解析式为：y= 5t+90，故②正确；
③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，
∴，
∵BQ=10，
∴PQ=7.5，
∴PQ＞CD，
∴△ABE与△QBP不可能相似，故③正确；
④t=13时，PQ=18-13=5，
此时tan∠PBQ==，
∴∠PBQ≠30°，故④错误，
综上可得①②③正确，共3个．
故选C．
【分析】
①据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，即当点P到达点E时且点Q到达点C时，的面积达到最大值30，即BE等于BC等于10，则由的面积公式可计算出AB等于6，故结论正确；
观察图（2）知，ED等于2，即N（12，30）；由于CD等于AB，即当点P从点D运动到点C时的用时为6秒，即H（18，0），利用待定系数法可求出直线NH的解析式为，故结论正确；
由①知，AB等于6、AE等于8，且是直角三角形；由于点P在BE上运动时，BP等于BQ，此时两三角形不可能相似；当点P在ED段运动时，点Q与点C重合，此时仍然不是直角三角形，故不可能相似；当点P在DC段运动时，点Q与点C重合，是直角三角形，但，而，即，所以两直角三角形不可能相似，故结论正确；
由于BE+ED等于12，因此当时，点P运动到线段DC上且DP等于1，则PQ等于5，此时tan∠PBQ等于等于，则不可能是，故结论错误．
13．（2024·游仙模拟）在实数范围内分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】利用提公式法和公式法进行因式分解。
14．（2024·游仙模拟）已知，，则　 　.
【答案】12
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
15．（2024·游仙模拟）关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母得：
解得，
∵，
∴且，
解得且，
∴k的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】
解分式方程的一般步骤是去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，验根，再写根；本题由于已知了分式方程的解为非负数，可先去分母求出解，再利用已知条件解不等式，再结合分式有意义的条件即可确定字母k的取值范围．
16．（2024·游仙模拟）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可分别连接AD、AE，则可将BD、CE、DE转化到同一个三角形中，由于三边已知，可利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形且为直角，此时可分别解和即可．
17．（2024·游仙模拟）如图，点A、B在反比例函数（，）的图像上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE．若OE＝1，，AC＝AE，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD=OE=1，
把y=1代入，求得x=k，
∴B（k，1），
∴OD=k，
∵OC=OD，
∴OC=k，
∵AC⊥x轴于点C，
把代入得，，
∴
∵AE=AC，
∴，解得，
∵在第一象限，
∴，
故答案为：．
【分析】
由OE等于1得B（k，1），由CO等于得A，由两点距离公式结合AE等于AC可得到关于k的一元二次方程，解方程并结合双曲线的位置即可求得k的值．
18．（2024·游仙模拟）在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过点B作，且，连接，交BC于点，过点A作，交的延长线于点H，如图所示：
则，
在等腰直角中，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值即为的长，此时点E与点重合，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴取得最小值时，的长度为．
故答案为：．
【分析】
由于BE等于AD，可过点B作BF垂直BC且BF等于AC，则可证，从而把转化到，显然当A、E、F三点共线时有最小值即线段AF的长，此时可过点A作BF的垂线段AH，构造直角三角形AHF再利用勾股定理即可求出AF．
19．（2024·游仙模拟）（1）计算：．
（2）化简求值：，其中x还满足不等式的整数解．
【答案】解：（1）
；
（2）原式
，
，
x是满足不等式的整数解，
0或1或2，
0或1时，原式无意义，
当时，
原式 ．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的特殊解；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减；运算时先分别根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别计算即可；
（2）分式的化简求值，必须先化简，再代入字母的值进行计算；化简时注意先利用通分把括号内异分母分式减法转化为同分母分式的减法，再化除法运算为乘法运算，同时对分子分母分别分解因式，再约分化原式为整式或最简分式；下来再解不等式并结合分式有意义的条件求出字母x的值，最后再代入计算即可．
20．（2024·游仙模拟）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会．某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：
经常参加的球类运动 A B C D
人数（单位：人） 9 　 18 6
所占百分比 　 　
（1）求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；
（2）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率．
【答案】（1）解：参与调查的学生总人数为人，∴参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为人；
（2）解：根据题意，可列表格如下，
男1 男2 女1 女2
男1
男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1
男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2
女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
根据表格可知共有12种等可能得情况，其中抽取到的两名学生恰好是相同性别的情况有4种，
∴抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）观察扇形统计图和统计表，可利用D类球运动的人数除以其所占百分比，得出样本容量，再用样本容量乘以B类球运动的人数所占百分比即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时要明确对角线栏目上是否填写数据．
21．（2024·游仙模拟）小华同学为了体验生活，决定在假期购进一批50克装的两种梵净山绿茶去梵净山景区门口摆地摊进行销售，其进价与标价如表：
　 梵净山翠峰茶 梵净山毛峰茶
进价（元/袋） 45 25
标价（元/袋） 60 30
（1）小华购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，求小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山毛峰茶各多少袋？
（2）由于景区游客较多，小华很快将两种绿茶销售完，若他计划再次购进这两种绿茶共120袋，且梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的．在不打折的情况下，如何进货，销售完这批绿茶时获利最多？求出此时这批绿茶的总利润为多少元？
【答案】（1）设小华同学购进梵净山翠峰茶x袋，梵净山毛峰茶y袋，根据题意得： ，
解得 ： ，
答：小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山200袋，毛峰茶100袋；
（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，根据题意得：
w＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600，
∵梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的 ，
∴a≤（120﹣a）× ，
解得a≤75，
∵k＝10＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴a＝75时，利润最大，最大值为10×75+600＝1350，此时购进梵净山毛峰茶（120﹣75）＝45（袋）．
答：小华购进梵净山翠峰茶75袋，购进梵净山毛峰茶45袋获利最多，此时这批绿茶的总利润为1350元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先分别设购进翠峰茶x袋，毛峰茶y袋，根据等量等量关系“购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，”列出方程组并求解即可；
（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，根据题意可得w是关于a的一次函数，然后由不等关系“梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的”可列不等式可求出a的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可求解．
22．（2024·游仙模拟）如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且＝，过点作交于点，交于点，连接．
（1）若＝，＝，求的周长；
（2）求证：＝＋．
【答案】（1）解：四边形和四边形都是平行四边形，
，，，
，
，
．
，，
，即．
，
，，
．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，
，
．
，
，即．
，
，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的对边平行且相等可得AB等于CD等于EF等于5，则BF等于AE等于2，由于AC垂直CD知则AC垂直AB，则利用勾股定理可分别求出BC与FC的长，则周长可求．
（2）由于平行四边形的对边平行且相等，则AD等于BC，因此可在上截取，连接，则由两直线平行内错角相等得等于都是，再由同角的余角相等可得等于，则可利用证明，则等于等于，则等于等于，再利用可证，则EG等于DM。等量代换即可得出结论．
23．（2024·游仙模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点是线段上一点，且，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，作轴于点，
由点可知在反比例函数上，，
，，，
又，
，
．
即，
∴，
则，
所以反比例函数与一次函数关系为，；
（2）解：设
点D在线段AC上
和中：
即：
解得：
即：
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）过作交轴于，
则的面积与的面积相等，
；
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
当点在轴的正半轴上时，，，
综上所述，，或，．
【分析】
（1）先利用待定系数法求出m，即将代入可求出的值；由于直线AC与x轴的夹角为，因此可过点A作轴，垂足为，则，且等于，根据等腰直角三角形的性质得出等于等于，即，然后再应用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）由于点D在线段AC上，可设出点D的坐标为，则两点距离公式分别求出或表示出OA、CA及DA的长，又因为和中两组角对应相等，则可证两三角形相似，从而利用相似比可得出关于m的一元一次方程，解方程即可；
（3）过作交轴于，则的面积与的面积相等，先利用点D的坐标可得直线的解析式为，由于可设直线的解析式为，利用点A的坐标可求得直线的解析式为，令即可求出P的一个坐标，相应地，其关于y轴的对称点亦满足条件，故点P有两个，分别在x轴的正、负半轴上，且到原点距离相等．
24．（2024·游仙模拟）如图，在中，∠B是锐角，，，在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作．
（1）当时，
①如图1，若与相切于点P，连结，求的长；
②如图2，若经过点D，求的半径长．
（2）如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．
【答案】（1）解：①，即，
是的直径，
与相切于点，
．
，，
，
根据勾股定理，得；
②如图，连接，，
，
∴是的直径，，
四边形是平行四边形，
∴，，，，
，，，，
，
根据勾股定理，得，
．
的半径长为。
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接，，记于交于点，
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
，即．
为平行四边形边上的高，
，
又，
．
设，则，，
，
，
根据勾股定理，得，即，
解得，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．（1）①利用切线的性质可得：，进而可推出CP是的直径，再根据AB与相切于点，利用切线的性质可得，利用余弦的定义可得：，代入数据可求出BP，再利用勾股定理可求出CP．
②连结，，根据，可推出是的直径，，利用平行四边形的性质可得：，，，，，，利用余弦的定义可得：，代入数据可求出AP，利用勾股定理可求出，进而可求出PC.
（2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，据此可推出，利用余弦的定义可求出和的长，再利用勾股定理求得．再根据NE为平行四边形边上的高，利用正弦的定义可求出NE，设，利用线段的运算可得：，，，利用勾股定理列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
25．（2024·游仙模拟）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：令得，即点，
∴把坐标代入中得直线解析式是、且，
∵，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，
∴点，
∴，
若时，，
∴，即点，
若时，，
∴，
即点，
综上，点或．
（3）答：是定点，理由如下：由题意，的坐标为，
设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)，
∴把的坐标代入中得，
直线的解析式为：，
同理：直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
∴，
则，
同理可得，，
∴，
∴，
即，
∴直线的解析式为：，
当时，总有
在对称轴上
为定点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1） 抛物线与x轴交于，两点 ，
，
，
，
抛物线的表达式为：；
【分析】
（1）由于知道了抛物线与x轴两个交点坐标，可设解析式为交点式，再代入点A或B的坐标即可；
（2）由于两直线平行内错角相等，可知与中总有，又BC、BE、AE、AB都可计算，则两三角形相似时可利用SAS 来讨论对应边的情况，即分为两种情况：①若时，若时，分别利用相似比求出PB的长即可；
（3）由于由于抛物线解析式已知，则顶点D及对称轴与x轴交点E的坐标都可得，又因为点都在抛物线上，可分别设出点的坐标为：，再利用待定系数法分别表示出直线GH、DG、DH的解析式，则可表示直线DH、DG与x轴的交点M、N的坐标，则线段E同、EN均可表示，再结合已知可得m与n的数量关系，再代入直线DG的解析式中可发现直线DG总经过点，则T为定点.
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