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第讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
(对应人教版必修第一册相关内容及问题)
　第二章第4节图2.4 1，轻重不同的物体下落快慢的研究：在现实生活中人们看到物体下落的快慢不同的原因是什么？
提示：受到空气阻力的影响。
　第二章第4节观察“表　一些地点的重力加速度”，总结重力加速度的变化规律。
提示：从赤道到两极，重力加速度逐渐变大。
　第二章第4节[科学漫步]图2.4 6，伽利略的斜面实验中如何测量时间？如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律？
提示：当时只能靠滴水计时，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，“冲淡”了重力，使加速度变小，时间变长，更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
　第二章第4节[练习与应用]T6，如何制作一把“人的反应时间测量尺”？
提示：根据自由落体运动公式算出直尺下落的时间，即为人的反应时间。
考点一　自由落体运动
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2．运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝gt。
(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。
(3)速度与位移的关系式：v2＝2gh。
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。
应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，而从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例1 (2021·湖北高考)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．1.0 s D．1.4 s
[答案]　B
[解析]　陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝＝ s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1＝＝ s＝1 s，则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，B正确，A、C、D错误。
例2 对于自由落体运动(g＝10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
[答案]　B
[解析]　根据h＝gt2可知，在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δh＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；由v＝gt可知，在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。
考点二　竖直上抛运动
1．运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。
2．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。
(2)位移与时间的关系式：h＝v0t－gt2。
(3)速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh。
(4)上升的最大高度：H＝。
(5)上升到最高点所用时间：t上＝。
1．竖直上抛运动最高点速度为零而加速度不为零。(　　) 2．竖直上抛运动的上升阶段速度变化量的方向是向下的。(　　) 答案：1.√　2.√
1．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点。
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全过程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
例3 在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要重力加速度g的精确值，这可由实验精确测得。近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g转变为测量长度和时间，具体做法是：如图所示，将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点竖直上抛小球，测得小球从离开O点到落回O点所用的时间为T1，小球在运动过程中经过比O点高H的P点，小球从离开P点到落回P点所用的时间为T2，则g等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　将小球的运动分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运动，根据t上＝t下，则从最高点下落到O点所用时间为，设小球从O点上升的最大高度为h1，则h1＝g·，设小球从P点上升的最大高度为h2，同理有h2＝g·，依据题意有h1－h2＝H，联立解得g＝，故B正确，A、C、D错误。
例4气球以10 m/s的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
[答案]　7 s　60 m/s
[解析]　解法一：全程法
取全过程进行研究，设从重物自气球上掉落开始计时，经时间t落地，以初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示
重物在时间t内的位移x＝－h＝－175 m
根据匀变速直线运动规律有x＝v0t－gt2
解得t＝7 s(另一解t＝－5 s舍去)
所以重物落地时速度为v＝v0－gt＝－60 m/s
其中负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反。
解法二：分段法
设重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，上升的最大高度为h1，重物离地面的最大高度为H，则
t1＝
h1＝gt
H＝h1＋h
重物从最高处自由下落，设落地用时t2，落地速度大小为v′，则有
H＝gt
v′＝gt2
则重物从气球上掉落到落地的时间为t＝t1＋t2
联立解得t＝7 s，v′＝60 m/s。
考点三　匀变速直线运动的多过程问题
1．问题特点
一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动性质不同，满足不同的运动规律，交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。
2．解决多过程问题的基本思路
例5 某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为5 m/s。如果认为开始打开降落伞至落地前运动员在做匀减速运动，加速度大小为a＝8 m/s2，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)运动员打开降落伞时的速度大小；
(2)运动员离开飞机时距离地面的高度。
[答案]　(1)45 m/s　(2)226.25 m
[解析]　(1)设运动员距离地面h＝125 m时的速度大小为v0，到达地面时的速度大小为v，在匀减速阶段，有v2－v＝－2ah
代入数据解得v0＝45 m/s。
(2)设打开降落伞之前，运动员自由落体下落的高度为h1，则有v－0＝2gh1
运动员离开飞机时距离地面的高度H＝h1＋h
联立并代入数据解得H＝226.25 m。
例6 (2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA.＋ B.＋
C.＋ D.＋
[答案]　C
[解析]　分析可知，从正常行驶速率v0以大小为2a的加速度匀减速至速率为v，以速率v匀速通过隧道，之后以大小为a的加速度匀加速至正常行驶速率v0，所用时间最少。匀减速过程有v＝v0－2at1，解得t1＝，在隧道内匀速运动的时间t2＝，匀加速过程有v0＝v＋at3，解得t3＝，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝＋，故选C。
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第一章　运动的描述　
匀变速直线运动
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　自由落体运动
考点二　竖直上抛运动
考点三 匀变速直线运动的多过程问题
4
教材阅读指导
(对应人教版必修第一册相关内容及问题)
　 第二章第4节图2.4 1，轻重不同的物体下落快慢的研究：在现实生活中人们看到物体下落的快慢不同的原因是什么？
第二章第4节观察“表　一些地点的重力加速度”，总结重力加速度的变化规律。
提示：受到空气阻力的影响。
提示：从赤道到两极，重力加速度逐渐变大。
　 第二章第4节[科学漫步]图2.4 6，伽利略的斜面实验中如何测量时间？如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律？
　
第二章第4节[练习与应用]T6，如何制作一把“人的反应时间测量尺”？
提示：当时只能靠滴水计时，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，“冲淡”了重力，使加速度变小，时间变长，更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
提示：根据自由落体运动公式算出直尺下落的时间，即为人的反应时间。
考点一　自由落体运动
1．定义：物体只在_______作用下从_______开始下落的运动。
2．运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_____________运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝ _____。
(2)位移与时间的关系式：h＝ _____ 。
(3)速度与位移的关系式：v2＝ _____ 。
重力
静止
匀加速直线
gt
2gh
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过_____________的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和____________(包括数学演算)和谐地结合起来。
逻辑推理
逻辑推理
应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，而从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例1 (2021·湖北高考)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s 　　　　　B．0.4 s　　　　　C．1.0 s 　　　　　D．1.4 s
例2 对于自由落体运动(g＝10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
考点二　竖直上抛运动
1．运动特点：加速度为g，上升阶段做_____________运动，下降阶段做__________运动。
2．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝________。
(2)位移与时间的关系式：h＝________。
(3)速度与位移的关系式：v2－v＝________。
(4)上升的最大高度：H＝________。
(5)上升到最高点所用时间：t上＝______。
匀减速直线
自由落体
v0－gt
－2gh
1．竖直上抛运动最高点速度为零而加速度不为零。(　　)
2．竖直上抛运动的上升阶段速度变化量的方向是向下的。(　　)
√
√
1．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任
意两点，C为最高点。
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中
从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的
速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全过程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
例4 气球以10 m/s的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
答案　7 s　60 m/s
考点三　匀变速直线运动的多过程问题
1．问题特点
一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动性质不同，满足不同的运动规律，交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。
2．解决多过程问题的基本思路
例5 某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为5 m/s。如果认为开始打开降落伞至落地前运动员在做匀减速运动，加速度大小为a＝8 m/s2，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)运动员打开降落伞时的速度大小；
(2)运动员离开飞机时距离地面的高度。
答案　(1)45 m/s　(2)226.25 m

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